考研微分方程知識(shí)歸納

1、重點(diǎn)內(nèi)容1、變量可分離的微分方程 （1）形式 或 （2）通解 或2、齊次方程（1）形式 或 （2）通解 （令，則，）或（令，則，）3、一階線性微分方程（1）形式 （2）通解4、可降階的高階微分方程 （1），其中為已知函數(shù) 積分次可得其通解（2）（不顯含）令，則。于是，原方程可化為（一階）設(shè)的通解為，即（一階）由可得通解（3）（不顯含）令，則。于是，原方程可化為（一階）設(shè)的通解為，即（一階）由可得通解5、二階線性微分方程（1）形式 非齊次 （1） 齊次 （2）（2）解的結(jié)構(gòu)定理1 若為（2）的兩個(gè)解，則為（2）的解。 定理2 若為（2）的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則為（2）的通解。線性無關(guān)常數(shù)。 定理3

2、 若為（1）的兩個(gè)解，則為（2）的解。定理4 若為（2）的解，為（1）的解，則為（1）的解。 定理5 若為（2）的通解，為（1）的一個(gè)特解解，則（1）通解為6、二階常系數(shù)線性微分方程 二階常系數(shù)齊次線性微分方程（為常數(shù)）的通解：特征方程的判別式（，有兩相異實(shí)根）（，有兩相等實(shí)根）（，有一對(duì)共軛復(fù)根）二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（為常數(shù)，為已知函數(shù)，稱為自由項(xiàng)）特解的表示： （1）若（其中為次多項(xiàng)式），則可設(shè)特解其中為（系數(shù)待定的）次多項(xiàng)式，注意 當(dāng)即時(shí)，也要考慮其是否為特征根！ （2）若或，則可設(shè)特解其中為（待定）常數(shù)， （3）若，且為的特解，為的特解，則為的特解（特解的可疊加性）。7、高于二

3、階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程（1）三階 特征方程三個(gè)相異實(shí)根時(shí)的通解兩個(gè)為二重實(shí)根，另一個(gè)為單實(shí)根時(shí)通解三個(gè)為三重實(shí)根時(shí)的通解一個(gè)為單實(shí)根，另兩個(gè)為共軛復(fù)根時(shí)的通解（2）四階 特征方程四個(gè)相異實(shí)根時(shí)的通解兩個(gè)為二重實(shí)根，另兩個(gè)也為二重實(shí)根時(shí)的通解三個(gè)為三重實(shí)根，另一個(gè)為單實(shí)根時(shí)通解四個(gè)為四重實(shí)根時(shí)通解兩個(gè)為二重實(shí)根，另兩個(gè)為相異實(shí)根時(shí)的通解兩個(gè)為二重實(shí)根，另兩個(gè)為共軛復(fù)根時(shí)的通解兩個(gè)為相異實(shí)根，另兩個(gè)為共軛復(fù)根時(shí)的通解例題選講例1 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為。（2007數(shù)學(xué)二） 解 特征方程 特征根 余函數(shù) 設(shè)特解 ，代入非齊次方程可得得通解 例2 求微分方程滿足初始條件的特解。（

4、2007數(shù)學(xué)二）解 （可降階，不顯含）令，則。于是，原方程可化為變形為 （將作為的函數(shù)，這點(diǎn)很關(guān)鍵！）則即由，得，則有，又由知，應(yīng)取解得由，得故方程滿足初始條件的特解為例3 在下列微分方程中，以為通解的微分方程是（ ）A、 B、C、 D、（2008數(shù)學(xué)二）解特征根為特征方程為，故應(yīng)選D。例4 設(shè)是區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且。對(duì)任意，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體，若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)的表達(dá)式。（2008數(shù)學(xué)二）解由題設(shè)，有（旋轉(zhuǎn)體側(cè)面面積公式，要記?。。┘捶匠虄蛇厡?duì)求導(dǎo)，得解得，由，得。所以，或。例5設(shè)非負(fù)函數(shù)滿足微分方程，當(dāng)

5、曲線過原點(diǎn)時(shí)，其與直線及所圍成平面區(qū)域的面積為2，求繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。（2009數(shù)學(xué)二）解 將微分方程變形為（不顯含）（1）注意到方程（1）為關(guān)于及的一階線性微分方程，則于是，有由過原點(diǎn)，得，則。 又由，得，從而所求函數(shù)為于是。注意 1 用公式要簡(jiǎn)便得多！（）注意 2 可降階的高階微分方程07年也考到，07、09都為（不顯含）型。例6 三階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為。（2010數(shù)學(xué)二）解特征方程為因式分解得特征根為通解為注意與08年類似。例7 設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且。已知，求函數(shù)。（2010數(shù)學(xué)二）解又，則變形為（這是關(guān)于及的一階線性微分方程）則由，得，則于是由，得，所以有注意 1 一階線性微分方程是考試重點(diǎn)注意 2 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也是考試的重點(diǎn)其中公式可與曲率公式聯(lián)系起來記。例8 微分方程的特解的形式為（ ）A、 B、C、D、 （2011數(shù)學(xué)二）解特征方程為 特征為（單根）的特解可設(shè)為，的特解可設(shè)為于是，應(yīng)選C。注意特解的可疊加性例9 微分方程滿足條件的解。（2011數(shù)學(xué)二）解由，得，則滿足條件的解注意1 應(yīng)檢驗(yàn)是否為的解注意2 進(jìn)一步說明：一階線性微分方程是考試重點(diǎn)例10 設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線與直線相切于原點(diǎn)，記為曲線在點(diǎn)外切線的傾角，若，求的表達(dá)式。（2011數(shù)學(xué)二）解由，有，從而又由，得即（不顯含）令