數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2人教A版選修ppt課件

1、 在數(shù)學(xué)研討中，人們會(huì)遇到這樣的情 況，對(duì)于恣意正整數(shù)n或不小于某個(gè)數(shù)n0 的恣意正整數(shù)n，都有某種關(guān)系成立。對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的證明我們將運(yùn)用又一種重要的數(shù)學(xué)推理方法對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的證明我們將運(yùn)用又一種重要的數(shù)學(xué)推理方法-數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法與正整數(shù)有關(guān)與正整數(shù)有關(guān)的命題的命題例如：例如： 14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2 (nN+) n21+nx (x-1,nN+).n=5,a5=25問(wèn)題情境一問(wèn)題情境一問(wèn)題問(wèn)題 1:大球中有大球中有5個(gè)小球，如何驗(yàn)證它們都是綠色的？個(gè)小球，如何驗(yàn)證它們都是綠色的？ 完全歸納法完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法 模模 擬擬 演演 示示問(wèn)題問(wèn)題3: 知

2、：知： 13= 2 135= 3 1357= 4 1+3579=5可猜測(cè)：1+35 1n2n1問(wèn)題問(wèn)題2：假設(shè)：假設(shè)an=(n2- 5n+5)2 ，那么，那么an=1。對(duì)嗎？。對(duì)嗎？1 1 1 1 當(dāng)當(dāng)n=1,a1= ;n=2,a2= ;n=3,a3= ; n=4,a4= ;1n n0123422222213215211 7212 5 7216 5 5 3 7.費(fèi) 馬 觀 察 到 ：猜測(cè)：都是質(zhì)數(shù)法國(guó)的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬法國(guó)的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬Pierre de Fermat (1601年年1665年年) 。 十七世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，十七世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的奉獻(xiàn)，他在數(shù)學(xué)許

3、多領(lǐng)域中都有極大的奉獻(xiàn)，由于他的本行是專業(yè)的律師，由于他的本行是專業(yè)的律師，為了表?yè)P(yáng)他的數(shù)學(xué)造詣，為了表?yè)P(yáng)他的數(shù)學(xué)造詣，世人冠以世人冠以“業(yè)余王子之美稱，業(yè)余王子之美稱，221()nnFnN歸納法：由一系列有限的特殊事例得出普通結(jié)論的推理方法。歸納法：由一系列有限的特殊事例得出普通結(jié)論的推理方法。 結(jié)論一定可靠，但需逐一核對(duì)，實(shí)施較難結(jié)論一定可靠，但需逐一核對(duì)，實(shí)施較難結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，構(gòu)成猜測(cè)結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，構(gòu)成猜測(cè)1 1完全歸納法：調(diào)查全體對(duì)象，得到普通結(jié)論的推理方法。完全歸納法：調(diào)查全體對(duì)象，得到普通結(jié)論的推理方法。2 2不完全歸納法不完全歸納法, ,調(diào)

4、查部分對(duì)象調(diào)查部分對(duì)象, ,得到普通結(jié)論的推理方法。得到普通結(jié)論的推理方法。歸納法分為歸納法分為 完全歸納法完全歸納法 和和 不完全歸納法。不完全歸納法。歸納法歸納法如何處理不完全歸納法如何處理不完全歸納法存在的問(wèn)題呢？存在的問(wèn)題呢？必需尋覓一種用有限個(gè)步驟，就必需尋覓一種用有限個(gè)步驟，就能處置完無(wú)限多個(gè)對(duì)象的方法。能處置完無(wú)限多個(gè)對(duì)象的方法。 問(wèn)題情境三問(wèn)題情境三 多米諾骨牌操作實(shí)驗(yàn)多米諾骨牌操作實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法我們常采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：由不完全歸納法我們常采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性. . 1

5、 1證明當(dāng)證明當(dāng)n n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n0(n0(例如例如n0=1) n0=1) 時(shí)命題成立時(shí)命題成立 2 2假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(k Nn=k(k N ,k n0 ) ,k n0 )時(shí)命題成立時(shí)命題成立 證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)命題也成立。時(shí)命題也成立。 這種證明方法叫做這種證明方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法k=2,k+1=2+1=3k=2,k+1=2+1=3k=3,k+1=3+1=4k=3,k+1=3+1=4k=10,k+1=10+1=1k=10,k+1=10+1=11 1下面我們來(lái)證明前面問(wèn)題下面我們來(lái)證明前面問(wèn)題3中猜測(cè)的正確性中猜測(cè)的正確性證明證明: (1): (1)當(dāng)當(dāng)

6、n=1n=1時(shí)時(shí), ,左邊左邊= =1,1,右邊右邊= =1,1, 左邊左邊= =右邊右邊, , 當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，式時(shí)，式* *成立成立 (2) (2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)，式時(shí)，式* *成立，成立， 即即 1+31+35 5 1 1k k2k2k1 11 1k k k k在這個(gè)假設(shè)下再思索當(dāng)在這個(gè)假設(shè)下再思索當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，式時(shí)，式* *的左右兩邊的左右兩邊 能否成立能否成立. .例例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)、用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN+時(shí)，時(shí)，1+35 1n2n11n n *當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)等式左邊等式左邊 1+35 1k2k11k1 2(k+1)11k1 2(k+1)

7、1 1k1 (k+1)右邊所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式*成立。由12可知， 1+35 1n2n11n n 利用利用假設(shè)假設(shè)湊結(jié)論湊結(jié)論從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化 1k k 1k1 k2(k+1)11驗(yàn)證：驗(yàn)證：n=n0n0N+時(shí)命題成立。時(shí)命題成立。2證明：假設(shè)證明：假設(shè)n=kkn0時(shí)命題成立，時(shí)命題成立，那么那么n=k+1時(shí)命題也成立。時(shí)命題也成立。對(duì)一切的對(duì)一切的n n0N+， nn0命題成立命題成立奠基奠基假設(shè)與假設(shè)與遞推遞推數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論主要

8、有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論: : 第一步：驗(yàn)證當(dāng)?shù)谝徊剑候?yàn)證當(dāng)n n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n0n0如如 n0=1 n0=1或或2 2等時(shí)結(jié)論正確等時(shí)結(jié)論正確第二步：假設(shè)第二步：假設(shè)n=k (kNn=k (kN ， 且且k n0)k n0)時(shí)結(jié)論正確，時(shí)結(jié)論正確， 證明證明n=k+1n=k+1時(shí)結(jié)論也正確時(shí)結(jié)論也正確結(jié)論：由結(jié)論：由1 1、2 2得出結(jié)論正確得出結(jié)論正確找準(zhǔn)起點(diǎn)奠基要穩(wěn)用上假設(shè)遞推才真寫(xiě)明結(jié)論才算完好數(shù)學(xué)歸納法主要步驟數(shù)學(xué)歸納法主要步驟:例例2用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明14411此時(shí)此時(shí)n0=_左左_ 右右= _ 2假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即時(shí)命題成立，即 當(dāng)當(dāng)n=k時(shí)，等式左邊

9、共有時(shí)，等式左邊共有_項(xiàng)，項(xiàng)，第第(k1)項(xiàng)是項(xiàng)是_。k(K1)3(k1)11(11)2 =414+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2 14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2 3當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)，命題的方式是時(shí)，命題的方式是4此時(shí)，左邊添加的項(xiàng)是此時(shí)，左邊添加的項(xiàng)是5)從左到右如何變形？從左到右如何變形？ 14+27+310+k(3k+1) +(k+1)3(k+1)+1 =(k+1)(k+1)+12(k+1)3(k+1)+1證明：證明：1當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊144，右邊，右邊1224，等，等式成立。式成立。 2假設(shè)假設(shè) n= k時(shí)時(shí) 命題成立，命題成立，即即 1 4

10、+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2 這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。時(shí)等式也成立。根據(jù)根據(jù)1和和2，可知等式對(duì)任何，可知等式對(duì)任何nN都成都成立立 當(dāng)n=k+1時(shí)左邊=14+27+310+k(3k+1) +(k+1)(3(k+1)+1)= k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1)= (k+1)k(k+1)+3(k+1)+1= (k+1)k2+4k+4=(k+1)(k+1)+12 右邊練習(xí)穩(wěn)定練習(xí)穩(wěn)定 Nnnnnnnn,12312121.1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：在驗(yàn)證在驗(yàn)證n=1成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是22.某個(gè)命

11、題與正整數(shù)某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，假設(shè)當(dāng)有關(guān)，假設(shè)當(dāng) 時(shí)命題成時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)立，那么可推得當(dāng) n=k+1 時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立. 現(xiàn)知當(dāng)現(xiàn)知當(dāng)n=5時(shí)該命時(shí)該命題不成立，那么可推得題不成立，那么可推得 A當(dāng)當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立時(shí)該命題不成立 B當(dāng)當(dāng)n=6時(shí)該命題成立時(shí)該命題成立C當(dāng)當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立時(shí)該命題不成立 D當(dāng)當(dāng)n=4時(shí)該命題成立時(shí)該命題成立)(NkknC3.如下用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)嗎？如下用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)嗎？21證明：當(dāng)證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊右邊等式成立。假設(shè)n=k時(shí)等式成立，有那么，當(dāng)那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有時(shí)，有即即n=k+1時(shí)，命題成立。時(shí)，命題成立

12、。根據(jù)可知，對(duì)根據(jù)可知，對(duì)nN，等式成立。，等式成立。nn)21(2121212132-111122kk)21(12121212132-211211)21(1 21212121211112kkkk）（留意留意:用上假設(shè)用上假設(shè)遞推才真遞推才真第二步證明中沒(méi)有用到假設(shè)，這不是數(shù)學(xué)歸納法證明第二步證明中沒(méi)有用到假設(shè)，這不是數(shù)學(xué)歸納法證明既然不對(duì)，如何矯正？既然不對(duì)，如何矯正？3111121111221111 2( )111111 ( )2222-(222)2kkkkkkk-三留意：三留意：1、有時(shí)、有時(shí) n0不一定等于不一定等于1 2、項(xiàng)數(shù)不一定只添加一項(xiàng)。、項(xiàng)數(shù)不一定只添加一項(xiàng)。 3、一定要用上

13、假設(shè)、一定要用上假設(shè)分析分析4.用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 122334n(n1) ) 2n)(1n( n31+練習(xí)穩(wěn)定練習(xí)穩(wěn)定 從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化利用利用假設(shè)假設(shè)湊結(jié)論湊結(jié)論證明證明:2)假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)命題成立時(shí)命題成立,即即122334k(k+1)2)(1(31kkk)2)(1() 1(.4332211kkkkkn時(shí)，左邊則當(dāng))2)(1()2)(1(31kkkkk)2)(1)(131(kkk右邊 1)2(1) 1)(1(31kkk1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊=12=2,右邊右邊= =2. 命題成立命題成立1 11 12 23 33 3 n

14、=k+1時(shí)命題正確。時(shí)命題正確。 由由(1)和和(2)知，當(dāng)知，當(dāng) ，命題正確。，命題正確。Nn用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式本卷須知：用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式本卷須知：數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論: : 1 1證明當(dāng)證明當(dāng)n n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n0n0如如 n0=1 n0=1或或2 2等時(shí)結(jié)論正確等時(shí)結(jié)論正確2 2假設(shè)假設(shè)n=k (kNn=k (kN ， 且且k n0)k n0)時(shí)結(jié)論正確，時(shí)結(jié)論正確， 證明證明n=k+1n=k+1時(shí)結(jié)論也正確時(shí)結(jié)論也正確 由由1 1、2 2得出結(jié)論正確得出結(jié)論正確遞推根底不可少遞推根底不可少歸納假設(shè)要用到歸納假設(shè)要用到結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉歸納法歸納法完全歸納法完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法窮舉法窮舉法能夠錯(cuò)誤如何防止？ 數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法 ，它是在可靠的根底上，利用命題本身具有的傳送