MATLAB優(yōu)化工具箱在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用-

1、 文章編號(hào):1002-6886(200906-0011-03MATLAB 優(yōu)化工具箱在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用曹保金,秦小嶼(西華大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,四川成都610039作者簡(jiǎn)介:曹保金(1982-,男,山東人,碩士研究生,主要研究方向:計(jì)算機(jī)輔助工程。秦小嶼(1959-,男,副教授,主要研究方向:現(xiàn)代機(jī)械設(shè)計(jì)理論、機(jī)械CAD 、基于網(wǎng)絡(luò)化的工程設(shè)計(jì)。收稿日期:2009-6-1摘要:研究了以人字架機(jī)構(gòu)的質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù),應(yīng)用現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計(jì)理論技術(shù)建立其優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的方法,詳細(xì)論述了MAT -LAB 優(yōu)化工具箱在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用,特別是對(duì)MATLAB 優(yōu)化工具箱中的有約束規(guī)劃應(yīng)用給出了比較

2、詳細(xì)的介紹。優(yōu)化結(jié)果表明該設(shè)計(jì)方法對(duì)于解決機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題非常有效。關(guān)鍵詞:優(yōu)化設(shè)計(jì) MATLAB 非線性約束 機(jī)械 人字架中圖分類號(hào):TP202+.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:BApplicati onMAT LAB Optimizati on Toolb ox inMechanic al Opti m iz ati on Desi gnCAO Baoji n ,QIN X i ao yuAbstract :Thi s paper ,regardi ng them i n m i u m m ass of propeller strut structure as the objecti ve funct

3、i on ,uses the theory and techni que of modern optm i al desi gn to buil d t heway of optm i all y desi gni ngm odels and i n detaild i scusses the app licati on ofMATLAB Optm i izati on Tool boxto the optm i al design ofm achi ne ,especiall y discussi ng amore detailed constrai ned p l anni ng app

4、licati on ofMATLAB Optm i izati on Tool box .The res u lt s ho w s that t h i s optm i al desi gn method is very effecti ve to solve t he optm i al desi gn of mach i ne .Key words :optm i al desi gn ;MATLAB ;non -li near constrai n ;m achi nery ;propell er strut0 前言機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì),就是在給定的載荷或環(huán)境條件下,在對(duì)機(jī)械產(chǎn)品的形態(tài)、幾何

5、尺寸關(guān)系以及其他因素的限制(約束范圍內(nèi),以機(jī)械系統(tǒng)的功能、強(qiáng)度和經(jīng)濟(jì)性等為優(yōu)化對(duì)象,選取設(shè)計(jì)變量,建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件,并使目標(biāo)函數(shù)獲得最優(yōu)值的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法1。目前,已有很多成熟的優(yōu)化方法程序可供選擇,但它們各有自己的特點(diǎn)和適用范圍;實(shí)際應(yīng)用時(shí)必須注意因?yàn)閮?yōu)化方法或初始參數(shù)選擇而帶來的收斂性問題及機(jī)時(shí)問題。而MATL AB 語言的優(yōu)化工具箱則選用最佳方法求解,初始參數(shù)輸入簡(jiǎn)單,語法符合工程設(shè)計(jì)語言要求,編程工作量小,優(yōu)越性明顯。1 MATL AB 語言及其優(yōu)化工具箱簡(jiǎn)介MATL AB 是由美國(guó)M at h W or ks 公司開發(fā)的集科學(xué)計(jì)算、數(shù)據(jù)可視化和程序設(shè)計(jì)為一體的工程應(yīng)用軟件,被

6、廣泛應(yīng)用于自動(dòng)控制、機(jī)械設(shè)計(jì)、流體力學(xué)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等工程領(lǐng)域。工程技術(shù)人員通過使用MATL AB 提供的工具箱,可以高效的求解復(fù)雜的工程問題,并可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)的仿真,用強(qiáng)大的圖形功能對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行顯示。其中優(yōu)化工具箱的應(yīng)用包括:線性、非線性最小化,方程求解,曲線擬合,二次規(guī)劃等問題中大型課題的求解方法,為優(yōu)化方法在工程中的實(shí)際應(yīng)用提供了更方便、快捷的途徑。2 MATLAB 優(yōu)化工具箱中有約束規(guī)劃應(yīng)用工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題絕大多數(shù)屬于約束非線性規(guī)劃問題3。目前,對(duì)于非線性約束優(yōu)化問題的解法很多,但這些算法僅僅能解決一類特殊的非線性規(guī)劃問題。早期的方法通常是通過構(gòu)造懲罰函數(shù)來將有約束的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)

7、化為無約束最優(yōu)化問題進(jìn)行求解?，F(xiàn)在,這些方法已經(jīng)被更有效的基于K-T(Kuhn Tucker方程解的方法所取代。K -T 方程是有約束最優(yōu)化問題求解的必要條件,是非線性規(guī)劃算法的基礎(chǔ),這些算法直接計(jì)算拉格朗日乘子。通過擬牛頓法更新過程,給K T 方程積累二階信息,可以保證有約束擬牛頓法的線性收斂。這些方法稱為序列二次規(guī)劃法(S QP 法,因?yàn)樵诿看沃饕牡卸记蠼庖淮味我?guī)劃問題。MATL AB 優(yōu)化工具箱的命令函數(shù)f m i nc on 可以處理有約束非線性多元函數(shù)的優(yōu)化問題。多變量約束非線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型可表示為:m i nf(x S .t C (x 0(非線性不等式約束ce q(x

8、 =0(非線性等式約束Ax b (線性不等式約束Aeq x =beq (線性等式約束L b x U b (邊界約束f m i ncon 函數(shù)的使用格式如下:xop,t f xop,t exitflag ,ou-t pu,t gr ad ,hessi on=f m i nco n(f un ,x0,A ,b ,Aeq ,beq ,Lb ,Ub ,.#11#設(shè)計(jì)#研究#分析N lc .,opti ons ,P1,P2,其中,輸出參數(shù):xopt 為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解;f xopt 為目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)點(diǎn)X 的函數(shù)值;e xitflag 是返回算法的終止標(biāo)志;o utpu t 負(fù)責(zé)返回優(yōu)化結(jié)果信息,主要有迭

9、代次數(shù)、最后一次迭代計(jì)算次數(shù)、步長(zhǎng)、算法、一階導(dǎo)數(shù)等;grad 返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)點(diǎn)X 的梯度值,hessia n 返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)點(diǎn)X 的hessia n 矩陣。輸入?yún)?shù):f un 是調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件名;x 0為初始點(diǎn);A 和b 分別為線性不等式約束條件的系數(shù)矩陣與常數(shù)矩陣;Aeq 和beq 分別為線性等式約束條件的系數(shù)矩陣與常數(shù)矩陣;L b 為設(shè)計(jì)變量X 的下界向量,U b 為上界向量;-N lc .是定義非線性約束條件的函數(shù)名;o ptio ns 為設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù);P 1、P 2等是傳遞給函數(shù)fun 的附加參數(shù)。利用MATL AB 解決工程中的實(shí)際問題,其具體步驟如下:1根據(jù)設(shè)

10、計(jì)要求和目的定義優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,判斷優(yōu)化問題的類型。分析時(shí)要區(qū)分:單目標(biāo)與多目標(biāo)問題;線性與非線性問題;是否為線性規(guī)劃問題等幾種情況;2根據(jù)優(yōu)化問題的類型建立數(shù)學(xué)模型,選定優(yōu)化函數(shù)。例如,本例屬于單目標(biāo)多變量非線性約束優(yōu)化問題,故選定f m inc on 優(yōu)化模塊;3確定必要的數(shù)據(jù)和設(shè)計(jì)初始點(diǎn);4根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的性態(tài),預(yù)設(shè)優(yōu)化選項(xiàng);5在所有的輸入?yún)?shù)定義后,調(diào)用優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化程序調(diào)試;6根據(jù)優(yōu)化過程的具體提示信息,修改優(yōu)化選項(xiàng)的設(shè)置,直到達(dá)到滿足優(yōu)化函數(shù)所需的優(yōu)化條件為止;7對(duì)所得優(yōu)化數(shù)據(jù)和設(shè)計(jì)方案進(jìn)行合理性和適應(yīng)性分析。3 采用MATL AB 軟件進(jìn)行優(yōu)化分析311優(yōu)化問題示例如圖1所示的人字

11、架由兩個(gè)鋼管組成, 其頂點(diǎn)受外力2F =3105N 。已知人字架跨度2B =152c m,鋼管壁厚T=0.25c m,鋼管材料的彈性模量E =2.1105M Pa ,材料密度Q =7.8103kg /m 3,許用壓應(yīng)力R y =420M Pa 。求鋼管壓應(yīng)力R 不超過許用壓應(yīng)力R y 和失穩(wěn)臨界應(yīng)力R e 的條件下,人字架的高h(yuǎn) 和鋼管平均直徑D 使鋼管總質(zhì)量m 為最小3-4。根據(jù)以上描述可以把人字架的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為:求x =D,hT,使結(jié)構(gòu)質(zhì)量m (x y m i n 但是應(yīng)滿足強(qiáng)度約束條件R (x R y 和穩(wěn)定約束條件R (x R e 。1確定設(shè)計(jì)變量由于需求人字架的高h(yuǎn) 和鋼管的平

12、均直徑D 才能求出鋼管的質(zhì)量,所以可把人字架的高h(yuǎn) 和鋼管的平均直徑D 作為設(shè)計(jì)的變量:X =x 1,x 2T=D,h T2確定目標(biāo)函數(shù)要求鋼管的質(zhì)量m 最小,則可建立如下的目標(biāo)函數(shù):m (D,h =2P Q TD (B 2+h 21/23確定約束條件強(qiáng)度約束條件R y R ,即:F (B 2+h 21/2P TD h R y穩(wěn)定性約束條件R R e ,即:F (B 2+h 21/2P TD hP 2E (T 2+D 28(B 2+h 2根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可以設(shè)置D 和h 的取值范圍為10D 120和200D 1000,即邊界約束條件:0D -100120-D 0h -20001000- h 4數(shù)學(xué)模型

13、由以上條件分析可知,這是一個(gè)含有六個(gè)約束的二維非線性優(yōu)化問題,將所有函數(shù)表達(dá)式規(guī)范化并代入已知數(shù)據(jù),得優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型為:X =x 1,x 2T=D,hTm i n f (x=122.522410-3x 1577600+x 22s #t #g 1(x=420-6104577600+x 22P x 1x 20g 2(X =259078.3272(x 21+6.25577600+x 22-v w6104577600+x 221x 20g 3(X =x 1-100g 4(X =120-x 10g 5(X =x 2-2000g 6(X =1000-x 20312用MATLAB 實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型求解1編寫

14、目標(biāo)函數(shù)的M 文件(rzj qh .m functi on f=rzjqh(x;B =1520;T=2.5;Q =7.8e-3;#12#現(xiàn)代機(jī)械 2009年第6期f=2*p*i Q*x(1*T*sqrt(B/22+x(22;2編寫約束函數(shù)的M文件(rzjyh.mfuncti ong,ceq=rzjy h(x;B=1520;T=2.5;P=300000;E=2.1e5;F1=420;Q=0.5*P*sqrt(B/22+x(22/x(2;st=Q/(p*i T*x(1;g(1=st-F1;F2=0.125*p i2*E*(x(12+T2/(B/22+x(22;g(2=st-F2;ceq=;3在命令

15、窗口中編寫調(diào)用主程序x0=100;700;lb=10;200;ub=120;1000;a=zeros(4,2;a(1,1=-1;a(2,1=1;a(3,2=-1;a(4,2=1;b=-10;120;-200;1000;op ti ons=optm i set(c d i sp lay c,c iter c,c largescale c,c off c;x,f va,l exitfl ag,outpu t=f m i ncon(rz j zh,x0,a,b, ,l b,ub,rzj yh,opti ons;g=r z j yh(xd isp c人字架質(zhì)量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)解cfpri ntf(1,c鋼

16、管平均直徑D=%3.4f mm/n c,x(1fpri ntf(1,c人字架高度h=%3.4f mm/n c,x(2fpri ntf(1,c人字架質(zhì)量m=%3.4f g/n c,fval4運(yùn)行結(jié)果表1迭代次數(shù)、函數(shù)值表迭代次數(shù)k012,1011 f(X12659.69923.059098.35,8468.578468.57人字架質(zhì)量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)解:鋼管平均直徑D=64.3083mm人字架高度h=760.0000mm人字架質(zhì)量m=8468.5714g根據(jù)上面的計(jì)算結(jié)果可以得到,優(yōu)化程序經(jīng)過11次迭代計(jì)算收斂于最優(yōu)解。所以,當(dāng)人字架的高h(yuǎn)和鋼管的平均直徑D分別取760.0000mm、64.3083

17、mm時(shí)人字架質(zhì)量最小為8468.5714g。把所得到的參數(shù)代入各約束條件,可以證明各穩(wěn)定約束條件都能得到滿足,而且,計(jì)算精度比參考文獻(xiàn)3高,所以D和h在設(shè)計(jì)平面的可行域內(nèi),且是使機(jī)構(gòu)最佳的參數(shù)。4結(jié)論通過以上實(shí)例可以看出,應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱能很好地實(shí)現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)的算法過程,且求解方便快捷,程序簡(jiǎn)明,結(jié)果穩(wěn)定可靠、精度高,收斂效率高,大大提高了工作效率,有著較大的優(yōu)越性,是解決機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的重要工具。尤其是對(duì)于某些人工無法解決的問題, MATLAB無疑是設(shè)計(jì)人員的有利工具。參考文獻(xiàn)1王鳳岐,張連洪,邵宏宇.現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法M.天津:天津大學(xué)出版社,20042張志涌,徐彥琴等.MATLAB教程M.北京:北京航空航天大學(xué)出版社,20053孫靖民,梁迎春.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)M(4版.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,20074郭仁生.基于MATLAB和Pro/ENGI NEER優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例解析M.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2007(上接第10頁靠性,可以考慮在支架兩側(cè)面增加支撐板,以改善支架拐角處的