冪級數(shù)及泰勒展開習題解答

1、一、求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間1. 解： 當時，因， 所以收斂，當時， 絕對收斂，收斂區(qū)間為。2.解： 當時，為收斂的交錯級數(shù)，當時， 發(fā)散， 收斂區(qū)間為。 3. 解：， 當時，通項不趨于零， 收斂區(qū)間為。 4. 解：故當，即時級數(shù)絕對收斂。當時，發(fā)散，當時， 為收斂的交錯級數(shù)， 收斂區(qū)間為。 5. 解：故當，即時級數(shù)絕對收斂。當時，因為，所以收斂，當時，因為當時所以發(fā)散， 收斂區(qū)間為。 6. 解：故當，即時級數(shù)絕對收斂。當時，為收斂的交錯級數(shù)，當時， 為收斂的交錯級數(shù)， 收斂區(qū)間為。二、求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間并求和函數(shù)1. 解：故當時級數(shù)絕對收斂，當時，級數(shù)發(fā)散。當時， 為收斂的交錯級數(shù)，當時，

2、 為收斂的交錯級數(shù)， 收斂區(qū)間為。令2. 解：故當時級數(shù)絕對收斂，當時，級數(shù)發(fā)散。當時， 發(fā)散，當時， 發(fā)散， 收斂區(qū)間為。令3. 解： 當時，發(fā)散；當時，發(fā)散， 收斂區(qū)間為。 令4. 解：故當時級數(shù)絕對收斂，當時，級數(shù)發(fā)散。當時， （通項不趨于零）發(fā)散， 收斂區(qū)間為。令故另解 三、求下列級數(shù)的和1.也可以考慮利用冪級數(shù)2. 四、利用直接展開法將下列函數(shù)展開成冪級數(shù)1.解：，故該級數(shù)的收斂區(qū)間為。再由因有界，是收斂級數(shù)的一般項，所以對任意的上式均成立。2.解：，由 故該級數(shù)的收斂區(qū)間為。再由因為絕對收斂級數(shù)的一般項，所以對任意的上式均成立。五、使用間接展開法將下列函數(shù)展開成冪級數(shù)常用冪級數(shù)展式

3、：（1）（2）（3）（4）（6）（7）基本方法：代數(shù)法，即代換；利用冪級數(shù)性質(zhì). 對復雜函數(shù)可以先求導看是否為冪級數(shù)展式已知的簡單函數(shù)，再積分可得原函數(shù)的冪級數(shù)展式。1解：由，令得。2. 解：由，令得。3. 解：由，及令得。4. 解：時，均為收斂的交錯級數(shù)。5. 解：由及，令得6. 解：由，得7. 解：。六、在指定點處將下列函數(shù)展開成冪級數(shù)1.解：由及，令得。2. 解：。七、求函數(shù)在處的階導數(shù)解：。八、設(shè)有兩條拋物線和，記它們的交點橫坐標的絕對值為（1）求的表達式（2）求這兩條拋物線所圍成的圖形的面積（3）求級數(shù)的和解：（1）;（2）;（3）由，得冪級數(shù)部分習題課常用冪級數(shù)展式：（1）（2）（3）（4）（6）（7）基本方法：代數(shù)法，即代換；利用冪級數(shù)性質(zhì). 對復雜函數(shù)可以先求導看是否為冪級數(shù)展式已知的簡單函數(shù)，再積分可得原函數(shù)的冪級數(shù)展式。補充例題一、 把下列函數(shù)展成的冪級數(shù)1. 解：。2. 解：由及。3. 解：由及。4. 解：而 故。二、 把下列函數(shù)在指定點展成冪級數(shù)1. 在處解：2. 在處解：故3. 在處解： 。4. 在處解：由及三、 冪級數(shù)求和步驟：1. 求出給定級數(shù)的收斂區(qū)間； 2. 兩種途徑：適當變形逐項積分 常見函數(shù)之冪級數(shù)（幾何級數(shù)等）逐項求導得和函數(shù)適當變形逐項求導常見函數(shù)之冪級數(shù)（幾何級數(shù)等）逐項積分得和函數(shù)1解：由，可知，故收斂區(qū)間為，設(shè)，逐項積分得。2.