微分方程穩(wěn)定性理論簡介

1、這里簡單介紹下面將要用到的有關(guān)內(nèi)容：一、 一階方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性設(shè)有微分方程 （1）右端不顯含自變量t，代數(shù)方程 （2）的實(shí)根稱為方程（1）的平衡點(diǎn)（或奇點(diǎn)），它也是方程（1）的解（奇解）如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程（1）的解都滿足 （3）則稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的（穩(wěn)定性理論中稱漸近穩(wěn)定）；否則，稱是不穩(wěn)定的（不漸近穩(wěn)定）。判斷平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定通常有兩種方法，利用定義即（3）式稱間接法，不求方程（1）的解，因而不利用（3）式的方法稱直接法，下面介紹直接法。將在做泰勒展開，只取一次項(xiàng)，則方程（1）近似為： （4） （4）稱為（1）的近似線性方程。也是（4）的平衡點(diǎn)。關(guān)于平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性有如下的結(jié)論

2、：若，則是方程（1）、（4）的穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。若，則不是方程（1）、（4）的穩(wěn)定的平衡點(diǎn)對于方程（4）的穩(wěn)定性很容易由定義（3）證明，因?yàn)椋?）的一般解是 （5）其中C是由初始條件決定的常數(shù)。二、 二階（平面）方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性方程的一般形式可用兩個(gè)一階方程表示為 （6）右端不顯含t，代數(shù)方程組 （7）的實(shí)根稱為方程（6）的平衡點(diǎn)。記為如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程（6）的解都滿足 （8）則稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的（漸近穩(wěn)定）；否則，稱P0是不穩(wěn)定的（不漸近穩(wěn)定）。為了用直接法討論方法方程（6）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，先看線性常系數(shù)方程 （9）系數(shù)矩陣記作并假定A的行列式于是原點(diǎn)是方程（9）的唯一平衡點(diǎn)

3、，它的穩(wěn)定性由的特征方程的根（特征根）決定，上方程可以寫成更加明確的形式： （10）將特征根記作，則 （11）方程（9）的解一般有形式（）或（）為任意實(shí)數(shù)。由定義（8），當(dāng)全為負(fù)數(shù)或有負(fù)的實(shí)部時(shí)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，反之，當(dāng)有一個(gè)為正數(shù)或有正的實(shí)部時(shí)是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)微分方程穩(wěn)定性理論將平衡點(diǎn)分為結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)、中心等類型，完全由特征根或相應(yīng)的取值決定，下表簡明地給出了這些結(jié)果，表中最后一列指按照定義（8）式得下馬看花關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論。表1 由特征方程決定的平衡點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性平衡點(diǎn)類型穩(wěn)定性穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定鞍點(diǎn)不穩(wěn)定穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定中心不

4、穩(wěn)定 由上表可以看出，根據(jù)特征方程的系數(shù)的正負(fù)很容易判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，準(zhǔn)則如下：若 （12）則平衡點(diǎn)穩(wěn)定，若 （13）則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定以上是對線性方程（9）的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的結(jié)論，對于一般的非線性方程（6），可以用近似線性方法判斷其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，在點(diǎn)將和作泰勒展開，只取一次項(xiàng)，得（6）的近似線性方程 (14)系數(shù)矩陣記作特征方程系數(shù)為,顯然，點(diǎn)對于方程（14）的穩(wěn)定性由表1或準(zhǔn)則（12）、（13）決定，而且已經(jīng)證明了如下結(jié)論:若方程（14）的特征根不為零或?qū)嵅坎粸榱?，則點(diǎn)對于方程（6）的穩(wěn)定性與對于近似方程（14）的穩(wěn)定性相同。這樣，點(diǎn)對于方程（6）的穩(wěn)定性也由準(zhǔn)則（12）、（13）決定。第六

5、節(jié) 種群的相互競爭與相互依存當(dāng)某個(gè)自然環(huán)境中只有一種生物的群體（生態(tài)學(xué)上稱為種群）生存時(shí)，人們常用Logistic模型來描述這個(gè)群數(shù)量的演變過程，即 (1)x（t）是種群在時(shí)刻t的數(shù)量，是固有增長率，N是環(huán)境資源容許的種群最大數(shù)量，在前面我們曾應(yīng)用過這種模型，由方程（1）可以直接得到，=N是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，即t時(shí)x(t)N，從模型本身的意義看這是明顯的結(jié)果。如果一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)或兩個(gè)以上種群生存，那么它們之間就要存在著或是相互競爭，或是相互依存，或是弱肉強(qiáng)食（食餌與捕食者）的關(guān)系。這里將從穩(wěn)定狀態(tài)的角度分別討論這些關(guān)系。一、種群的相互競爭當(dāng)兩個(gè)種群為了爭奪有限的食物來源和生活空間而進(jìn)行生存競爭

6、時(shí)，最常見的結(jié)局是競爭力較弱的種群滅絕，競爭力較強(qiáng)的種群達(dá)到環(huán)境容許的最大數(shù)量。人們今天可以看到自然界長期演變成的這樣的結(jié)局，例如一個(gè)小島上雖然有四種燕子棲息，但是它們的食物來源各不相同，一種只在陸地上覓食，另兩種分別在淺水的海灘上和離岸稍遠(yuǎn)的海中捕魚，第四種則飛越寬闊的海面到遠(yuǎn)方攫取海味，每一種燕子在它各自生存環(huán)境中的競爭力明顯地強(qiáng)于其它幾種，這里我們建立一個(gè)模型解釋類似的現(xiàn)象，并分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。模型建立 有甲乙兩個(gè)種群，當(dāng)它們獨(dú)自在一個(gè)自然環(huán)境中生存時(shí)，數(shù)量的演變均遵從Logistic規(guī)律，記是兩個(gè)種群的數(shù)量，是它們的固有增長率，N1、N2是它們的最大容量， 于是對于種群甲有 其中

7、因子反映由于甲方有限資源的消耗導(dǎo)致的對它本身增長的阻滯作用，可解釋為相對于N1而言單位數(shù)量的甲消耗的供養(yǎng)甲的食物量（設(shè)食物總量為1）。當(dāng)兩個(gè)種群在同一自然環(huán)境中生存時(shí)，考察由于乙消耗同一種有限資源對甲的增長產(chǎn)生的影響，可以合理地在因子中再減去一項(xiàng)，該項(xiàng)與種群乙的數(shù)量（相對于N2而言）成正比，得到種群甲方增長的方程 (2)這里的意義是，單位數(shù)量乙（相對N2而言）消耗的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲（相對N1）消耗的供養(yǎng)甲的食物量的倍。類似地，甲的存在也影響了乙的增長，種群乙的方程應(yīng)該是 (3)對可作相應(yīng)的解釋。在兩種群的相互競爭中、是兩個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)，從上面對它們的解釋可知，1表示在消耗供養(yǎng)甲的資源中，

8、乙的消耗多于甲，因而對甲增長的阻滯作用乙大于甲，即乙的競爭力強(qiáng)于甲，對1可作相應(yīng)的理解。一般地說，與之間沒有確定的關(guān)系，但是可以把下面這種特殊情況作為較常見的一類實(shí)際情況的典型代表，即兩個(gè)種群在消耗資源中對甲增長的阻作用對乙增長的阻滯作用相同，具體地說就是，因?yàn)閱挝粩?shù)量的甲和乙消耗的供養(yǎng)甲方食物量之比是1：，消耗的供養(yǎng)甲方食物量之比是：1，所謂阻滯作用相同即 1：=：1，所以這種特殊情形可以定量地表示為=1 （4）即、互為倒數(shù)，可以簡單地理解為，如果一個(gè)乙消耗的食物是一個(gè)甲的=倍，則一個(gè)甲消耗的食物是一個(gè)乙的=1/。下面我們?nèi)匀挥懻摗⑾嗷オ?dú)立的一般情況，而將條件（4）下對問題的分析留給大家討論

9、。穩(wěn)定性分析 為了研究兩個(gè)種群相互競爭的結(jié)局，即t時(shí)的趨向，不必要解方程（2）、（3）,只需對它的平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。首先根據(jù)微分方程（2）、（3）解代數(shù)方程組 （5）得到4個(gè)平衡點(diǎn)：因?yàn)閮H當(dāng)平衡點(diǎn)們于平面坐標(biāo)系的第一象限時(shí)（）才有實(shí)際意義，所以對而言要求、同時(shí)小于1，或同時(shí)大于1。按照判斷平衡點(diǎn)性的方法（見前面）計(jì)算將4個(gè)平衡點(diǎn)p、q的結(jié)果及穩(wěn)定條件列入下表*）表1 種群競爭模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性平衡點(diǎn)pq穩(wěn)定條件不穩(wěn)定注：表中最后一列“穩(wěn)定條件”除了要求p>0,q>0以外，還有其他原因，見下面的具體分析。為了便于對平衡點(diǎn)P1、P2、P3的穩(wěn)定條件進(jìn)行分析，在相平面上討論它們。在

10、代數(shù)方程組（5）中記對于、的不同取值范圍，直線=0和=0在相平面上的相對位置不同，下面給出它們的4種情況;并對這4種情況進(jìn)行分析1、。由表1知對于有0，0，穩(wěn)定；的穩(wěn)定性還可以從t時(shí)相軌線的趨向來分析，圖1中 =0和 =0兩條直線將相平面（）劃分為3個(gè)區(qū)域：O（1）穩(wěn)定圖1 穩(wěn)定 (6) (7) (8)可以證明，不論軌線從哪個(gè)區(qū)域出發(fā)，t時(shí)都將趨向P1（N1，0）。若軌線從S1出發(fā)，由（6）可知隨著t的增加軌線向右上方運(yùn)動，必然進(jìn)入S2；若軌線從S2出發(fā)，由（7）可知軌線向右下方運(yùn)動，那么它或者趨向點(diǎn)，或者進(jìn)入S3，但是進(jìn)入S3是不可能的，因?yàn)?，如果設(shè)軌線在某時(shí)刻t1經(jīng)直線=0進(jìn)入S3，則(t

11、1)/=0,由方程（2）不難算出由（7）、（8）知0, 故，表明(t)在t1達(dá)到極小值，而這是不可能的，因?yàn)樵赟2中0,即(t)一直是增加的；若軌線從S3出發(fā)，由（8）可知軌線向左下方運(yùn)動，那么它或者趨向點(diǎn)，或者進(jìn)入S2，而進(jìn)入S2后，根據(jù)上面的分析最終也將趨向。綜上分析可以畫出軌線示意圖（圖1），因?yàn)橹本€=0上d=0，所以在=0上軌線方向垂直于軸；在=0上d=0,軌線方向平行于軸。2、，類似的分析可知穩(wěn)定。O（2）穩(wěn)定圖2 穩(wěn)定3、，由表1知對于點(diǎn)0，0，故穩(wěn)定，對軌線趨勢的分析見圖3。O（3）穩(wěn)定圖3 穩(wěn)定4、，由表1知對于點(diǎn)0，故不穩(wěn)定（鞍點(diǎn)），軌線或者趨向，或者趨向，由軌線的初始位置決

12、定，示意圖見圖4，在這種情況下和都不能說是穩(wěn)定的，正因?yàn)檫@樣，所以穩(wěn)定（與初始條件無關(guān)）的條件需要加上，穩(wěn)定的條件加上。O（4）不穩(wěn)定圖4不穩(wěn)定結(jié)果解釋 根據(jù)建模過程中的含義，說明、點(diǎn)穩(wěn)定在生態(tài)上的意義。1、，意味著在對供養(yǎng)甲的資源的競爭中乙弱于甲，意味著在對供養(yǎng)乙的資源的競爭中甲強(qiáng)于乙，于是種群乙終滅絕，種群甲趨向最大容量，即趨向平衡點(diǎn)2、，情況與1正好的相反。3、，因?yàn)樵诟偁幖椎馁Y源中乙較弱，而在競爭乙的資源中甲較弱，于是可以達(dá)到一個(gè)雙方共存的穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，這是種群競爭中很少出現(xiàn)的情況。4、，請大家作出解釋。生態(tài)學(xué)中有一個(gè)競爭排斥原理；若兩個(gè)種群的單個(gè)成員消耗的資源差不多相同，而環(huán)境能承

13、受的種群甲的最大容量比種群乙大，那么種群乙終將滅亡，用本節(jié)的模型很容解釋這個(gè)原理。將方程（2）、（3）改寫為原理的兩個(gè)條件相當(dāng)于從這3個(gè)式子顯然可得，這正是穩(wěn)定，即種群乙滅絕的條件。二、種群的相互依存自然界中處于同一環(huán)境下兩個(gè)種群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的，植物可以獨(dú)立生存。昆蟲的的授粉作用又可以提高植物的增長率，而以花粉為食物的昆蟲卻不能離開植物單獨(dú)存活，人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也有類似的關(guān)系，這種共生現(xiàn)象可以描述如下。設(shè)種群甲可以獨(dú)立存在，按Logistic規(guī)律增長，種群乙為甲提供食物，有助于甲的增長，類似于前面的方程（2），種群甲的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作（r1、N1、N2的意義同前）

14、(9)前面的號這里變成+號，表示乙不是消耗甲的資源而是為甲提供食物，的含義是:單位數(shù)量乙（相對于N2）提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲（相對于N1）消耗的供養(yǎng)甲食物量的倍。種群乙沒有甲的存在會滅亡，設(shè)其死亡率為r2，則乙單獨(dú)存在時(shí)有 (10)甲為乙提供食物，于是（2）式右端應(yīng)加上甲對乙增長的促進(jìn)作用，有 (11)顯然僅當(dāng)時(shí)種群乙的數(shù)量才會增長，與此相同乙的增長又會受到自身的阻滯作用，所以93）式右端還要添加Logistic項(xiàng)，方程變?yōu)?(12)方程（9）、（12）構(gòu)成相互依存現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，下面利用平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析，討論時(shí)間足夠長以后兩個(gè)種群的變化趨向。類似于前面的作法將方程（9）、（12）

15、的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析的結(jié)果列入表2表2 種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定顯然，點(diǎn)穩(wěn)定才表明兩個(gè)種群在同一環(huán)境里相互依存而共生，我們著重分析穩(wěn)定的條件。由的表達(dá)式容易看出，要使平衡點(diǎn)有實(shí)際意義，即位于相平面第一象限 ()，必須滿足下面兩個(gè)條件中的一個(gè)：而由表2中點(diǎn)的、可知，僅在條件下才是穩(wěn)定的（而在下是鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定），圖5畫出了條件下相軌線的示意圖，其中,。直線和將相平面（）劃分為4個(gè)區(qū)域：；。從這4個(gè)區(qū)域中的正負(fù)不難看出其相軌線的趨向如圖5所示。O圖5 在條件A1下穩(wěn)定的相軌線 分析條件的實(shí)際意義，其關(guān)鍵部分是1，考慮到的含義，這表示種群甲要為乙提供足夠的食物維持其生長，而&