數(shù)學(xué)選修2-1直線與橢圓位置關(guān)系

1、復(fù)習(xí)回顧.判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法有哪些？ 法一法一：幾何法，幾何法，。利用圓心到直線的距離。利用圓心到直線的距離d d與與圓半徑圓半徑r r之間的關(guān)系判斷之間的關(guān)系判斷 即即 當(dāng)當(dāng)drdr時(shí)時(shí) 直線與圓相離直線與圓相離 當(dāng)當(dāng)d=rd=r時(shí)時(shí) 直線與圓相切直線與圓相切 當(dāng)當(dāng)drd0 0 直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn) 相交相交 =0 =0 直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)直線與圓有一個(gè)交點(diǎn) 相切相切 0 0 直線與圓沒(méi)有交點(diǎn)直線與圓沒(méi)有交點(diǎn) 相離相離xyxyxy直線和橢圓的位置關(guān)系的判斷直線和橢圓的位置關(guān)系的判斷xyyxyxxyxy .直線直線y=kx+b與橢圓的位置關(guān)系種類(lèi)：與橢圓的位置關(guān)系種類(lèi)

2、： . 相離相離 .相切相切 .相交相交xy2222xy+=1ab橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 直線與橢圓的位置關(guān)系的判定直線與橢圓的位置關(guān)系的判定mx2+nx+p=0（m 0）Ax+By+C=0由方程組：由方程組：0相交相交方程組有兩解方程組有兩解兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)代數(shù)方法代數(shù)方法= n2-4mp12222 byax直線與橢圓位置的關(guān)系直線與橢圓位置的關(guān)系 圍繞直線與橢圓的公共點(diǎn)展開(kāi)的，將直線圍繞直線與橢圓的公共點(diǎn)展開(kāi)的，將直線方程與橢圓方程組成方程組，消元后得到方程與橢圓方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，一個(gè)一元二次方程， 當(dāng)當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相切；時(shí)，直線與橢圓相切； 當(dāng)當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓

3、相交；時(shí)，直線與橢圓相交； 當(dāng)當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相離。時(shí)，直線與橢圓相離。 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系弦長(zhǎng)公式弦長(zhǎng)公式),(),(0),(2211yxByxAmkxyyxf兩兩點(diǎn)點(diǎn)相相交交于于與與直直線線二二次次曲曲線線 :0),(整整理理得得消消去去聯(lián)聯(lián)立立方方程程ymkxyyxf 02 cbxaxakxxxxkxxkyyxxAB 221221221222122114)(11)()(思考：思考：如果消去如果消去x x， 你將得到弦長(zhǎng)你將得到弦長(zhǎng) 公式是什么呢？公式是什么呢？弦長(zhǎng)的求法：弦長(zhǎng)的求法：12|lyy當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，212122114yyy yk（）22221xyaby

4、kxm（1）聯(lián)立方程組：）聯(lián)立方程組：2212121)4lkxxx x（）(（2）消去一個(gè)未知數(shù)）消去一個(gè)未知數(shù);（3）利用弦長(zhǎng)公式）利用弦長(zhǎng)公式:特別地：過(guò)左焦點(diǎn)特別地：過(guò)左焦點(diǎn)F的弦長(zhǎng)：的弦長(zhǎng)：再結(jié)合韋達(dá)定理求解再結(jié)合韋達(dá)定理求解|AB| |AF|BF|12122()aexaexae xx弦長(zhǎng)的求法：弦長(zhǎng)的求法：1、直線與圓相交的弦長(zhǎng)、直線與圓相交的弦長(zhǎng)A（x1,y1）結(jié)論：直線與二次曲線相交弦長(zhǎng)的求法結(jié)論：直線與二次曲線相交弦長(zhǎng)的求法dr2、直線與其它二次曲線相交的弦長(zhǎng)、直線與其它二次曲線相交的弦長(zhǎng)（1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組（2）消去一個(gè)未知數(shù)）消去一個(gè)未知數(shù)（3）利用弦長(zhǎng)公式）利用弦

5、長(zhǎng)公式:|AB| =212212xx4xxk1）（12122114yyy yk2（） k 表示弦的斜率，表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端點(diǎn)表示弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，一般由韋達(dá)定理求得坐標(biāo)，一般由韋達(dá)定理求得 x1+ x2 與與 y1+ y2通法通法B（x2,y2） = 設(shè)而不求設(shè)而不求 例例1：已知直線：已知直線y=x- 與橢圓與橢圓x2+4y2=2 ，判斷它們的位置關(guān)系。，判斷它們的位置關(guān)系。2121 xyx2+4y2=2解：聯(lián)立方程組解：聯(lián)立方程組消去消去y01452 xx0因?yàn)橐驗(yàn)樗?，方程（）有兩個(gè)根，所以，方程（）有兩個(gè)根，那么，相交所得的弦的弦長(zhǎng)是多少？那么，相交所得的弦的弦

6、長(zhǎng)是多少？弦長(zhǎng)公式：弦長(zhǎng)公式：|1|2BAxxkABBABAxxxxk4)122（則原方程組有兩組解則原方程組有兩組解.- (1)由韋達(dá)定理由韋達(dá)定理51542121xxxx 弦中點(diǎn)、弦斜率問(wèn)題弦中點(diǎn)、弦斜率問(wèn)題的兩種處理方法：的兩種處理方法： （2）點(diǎn)差法：設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入）點(diǎn)差法：設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入 曲線方程相減后分解因式，便可與曲線方程相減后分解因式，便可與 弦所在直線的斜率及弦的中點(diǎn)聯(lián)系弦所在直線的斜率及弦的中點(diǎn)聯(lián)系 起來(lái)。起來(lái)。 （1）聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利）聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利 用韋達(dá)定理解決；用韋達(dá)定理解決； .)0()0(1)(02012122220

7、0exaMFexaMFacecFcFbyaxyxM ，求證：求證：為離心率為離心率分別是橢圓兩焦點(diǎn)，分別是橢圓兩焦點(diǎn)，、，上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，是橢圓是橢圓，設(shè)設(shè)例例Mll1xyF2F1O，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為，證證明明：與與caxcF21)0( 注注： 是橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距是橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，常把它們叫做離，常把它們叫做焦半徑焦半徑。0201exaMFexaMF ，0020222)(exaexcaexcaeedMF ，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為，又與又與caxcF22)0( ，aexcaeexcaxeedMF 0202011)(1、求橢圓、求橢圓 被過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于被過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸

8、軸 的直線所截得的弦長(zhǎng)。的直線所截得的弦長(zhǎng)。1422 yx通徑通徑ab222、中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為、中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（0， ）的橢圓被）的橢圓被 直線直線 y=3x-2所截得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是所截得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是1/2，求橢圓，求橢圓 方程。方程。50練習(xí)練習(xí)例例: :已知點(diǎn)已知點(diǎn)12FF、分別是橢圓分別是橢圓22121xy的左、右的左、右例例 3.(3.(課本例課本例 7)7) 已知橢圓已知橢圓221259xy, ,直線直線45400 xy, ,橢圓上是橢圓上是否存在一點(diǎn)否存在一點(diǎn), ,到直線到直線l的距離最小的距離最小? ?最小距離是多少最小距離是多少? ? lmm3311162

9、522yx35例例. 已知橢圓已知橢圓 C: C: 內(nèi)有一點(diǎn)內(nèi)有一點(diǎn)A（2，1），），F(xiàn)是橢圓是橢圓C的左焦點(diǎn)，的左焦點(diǎn)，P為橢圓為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求上的動(dòng)點(diǎn)，求PA + PFPA + PF的最小值。的最小值。PAPF變式變式: 已知橢圓已知橢圓 內(nèi)有一點(diǎn)內(nèi)有一點(diǎn)A（2，1），），F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值與最小值。的最大值與最小值。102。最大值為： 最小值為：1021162522yx中點(diǎn)弦問(wèn)題中點(diǎn)弦問(wèn)題2211,11642xyyxA BAB例、橢圓設(shè)直線與橢圓交于、 兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。)20(16201616)16(2042222mm

10、mm直線與橢圓相交時(shí),52m52即 0時(shí),當(dāng)直線與橢圓相切時(shí),52即m 0時(shí),當(dāng)22416xy例：例：當(dāng)當(dāng)m m取何值時(shí)直線取何值時(shí)直線y=x+my=x+m與橢圓與橢圓 相交，相切，相離？相交，相切，相離？解：將解：將y=x+my=x+m代入代入 整理得整理得5x5x2 2+2mx+m+2mx+m2 2-16=0-16=0時(shí)時(shí)，直直線線與與橢橢圓圓相相離離或或時(shí)時(shí)，即即當(dāng)當(dāng)52520 mm 如圖，如圖， 橢圓橢圓 =1 =1 （a ab b0 0）與過(guò)點(diǎn)）與過(guò)點(diǎn)A A（2 2，0 0）B B(0,1)(0,1)的直線有且的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn)T T，且橢圓的離心率，且橢圓的離心

11、率e= e= ()()求橢圓方程；求橢圓方程；()()設(shè)設(shè)F F、F F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M M為線段為線段的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：ATMATM=AFTAFTbyax22223ABFFMTOyx 例例題題，使，使 與橢圓與橢圓 相交所成弦的中點(diǎn)恰好是相交所成弦的中點(diǎn)恰好是 ，若有，求，若有，求出此直線方程。出此直線方程。)21, 1 (PllP例例 ：已知橢圓：已知橢圓 ， 1422 yx過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) 能否作直線能否作直線解：依題意設(shè)直線解：依題意設(shè)直線 的方程為：的方程為：l21)1(xky1421)1(22yxxky聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組消去 得 ： y0344

12、)48()41(2222kkxkkxk設(shè)設(shè)A（x1,y1），），B（x2,y2）則）則AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為A（x1,y1）B（x2,y2）xy0)2,2(2121yyxx則,241482221kkkxx解得21k0)344(4)48(222kkkk當(dāng)經(jīng)檢驗(yàn)， 滿足21k0直線直線 方程：方程：l21)1(21xy思思考考: : 橢橢圓圓xy22941的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)為為FF12、，點(diǎn)點(diǎn) P P 為為其其上上的的動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)， 當(dāng)當(dāng)F PF12為為鈍鈍角角時(shí)時(shí)， 則則點(diǎn)點(diǎn) P P 的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)的的取取值值范范圍圍是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 思考思考:

13、: 若過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓若過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓C C： 交于不同兩點(diǎn)交于不同兩點(diǎn)A,B, A,B, 求弦求弦ABAB長(zhǎng)度最小值長(zhǎng)度最小值. .14822yx思考思考: : 若過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓若過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓C C： 交于不同兩點(diǎn)交于不同兩點(diǎn)A,B, A,B, 求弦求弦ABAB長(zhǎng)度最小值長(zhǎng)度最小值. .14822yx解解: :由由 得：得：148)2(22yxxky得：得：, 0888)21 (2222kxkxk2221124|kkAB)21 (2121242k. 22 例例 已知橢圓已知橢圓 與直線與直線 相交于相交于 兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， 是的是的 中中點(diǎn)若點(diǎn)若 ， 斜率為斜率為 （為原

14、點(diǎn)），（為原點(diǎn)），求橢圓方程求橢圓方程122nymx1 yx22AB ABc ccABoc22分析：分析：本例是一道綜合性比較強(qiáng)的問(wèn)題，求解本例是一道綜合性比較強(qiáng)的問(wèn)題，求解本題要利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得的斜本題要利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得的斜率，另外還要用到弦長(zhǎng)公式：率，另外還要用到弦長(zhǎng)公式：2121ABkxx解：由方程組解：由方程組1122yxnymx消去消去 整理得：整理得：y012)(2nnxxnm112233(,)(,)(,)A xyB xyCxy設(shè)、1212121212120021,222()2,22nnxxxxmnmnnmyyxxmnmnxxyynmxymnmn則22m

15、n則 由 題 設(shè) 得 :22212121221(1) ()424(1)2 ()22ABkxxkxxx xnnmnmn又即：即：1nmmnnm解解得得.32,31nm132322yx所求的橢圓方程為所求的橢圓方程為【練習(xí)練習(xí)】112222 byaxP是是橢橢圓圓設(shè)設(shè)(ab0)上一點(diǎn)，上一點(diǎn)， 是兩個(gè)焦點(diǎn)，半焦距是兩個(gè)焦點(diǎn)，半焦距21FF、為為c，則，則 的最大值與最小值之差一定是（的最大值與最小值之差一定是（ ）.21PFPF A. 1 B. C. D.2a2b2cxOyPFQDBA122222 byaxO的的橢橢圓圓如如圖圖，中中心心為為(ab0)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，為焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線l交交x軸于軸于B，P，Q在在橢圓上，且橢圓上，且PDl于于D，QFAO，則橢圓，則橢圓其中正確的個(gè)數(shù)是其中正確的個(gè)數(shù)是；的離心率是的離心率是.AOFOABAFBOAOBFQFPDPF（ ）A. 1個(gè)個(gè) B. 3個(gè)個(gè) C. 4個(gè)個(gè) D. 5個(gè)個(gè)DD3、中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種處理方法：、中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種處理方法： （1）聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用韋達(dá)定理；）聯(lián)立方程組，消去