振動的數(shù)學(xué)分析

1、簡諧振動的運動學(xué)本節(jié)主要講解 ：根據(jù)簡諧振動的動力學(xué)方程求其運動學(xué)方程，并討論簡諧運動的運動學(xué)特征。 一 . 簡諧振動的運動學(xué)方程 由牛頓第二定律知： 即： 再令得：方程的通解為 ： 式就是簡諧振動的運動學(xué)方程， 該式又是周期函數(shù)，故簡諧振動是圍繞平衡位置的周期運動。 二 . 描述簡諧振動的物理量 1 . 周期（ T ） 完成一次全振動所用的時間： 對彈簧振子：2. 頻率（ ） 單位時間內(nèi)完成的全振動的次數(shù)： 的含義： 個單位時間內(nèi)完成的全振動的次數(shù)，即： 圓頻率 。 3. 振幅 物體離開平衡位置的最大位移。 振幅可以由初始條件決定。如： t=0 時刻， ， 由式可得：, 4.  

2、位相和初位相 振動系統(tǒng)的狀態(tài)指：任意瞬時的位移和速度。但僅知振幅頻率還不夠，還須知道才能完全決定系統(tǒng)的運動狀態(tài)。 叫簡諧振動的相位 。 當(dāng) 時， 叫 初相位 。 由： 若：已知初始條件： ，則 式有： ，式中的任意一個即可確定初位相。 相位差 ：兩振動相位之差 。 討論 ： 若 是 的整數(shù)倍，則振動同相位； 若 是 奇數(shù)倍，則振動相位相反； 若 ，則稱 超前 ； 若 ，則稱 落后 。 相位差的不同，表明二振動有不同程度的參差錯落，振動步調(diào)不同。 例 1 ：一彈簧振子， 時， 求振動的初位相 。 解 ： 在第一象限， 例 2 ：討論振動的位移，速度和加速度之間的關(guān)系。 解 ： 設(shè)：，則： 所以：

3、速度的位相比位移的位相超前 加速度的位相比速度的位相超前； 加速度的位相比位移的位相超前 。 理解 ： 加速度對時間的積累才獲得速度，速度對時間的積累獲得位移。 總結(jié) ： 簡諧振動是周期性運動； 簡諧振動各瞬時的運動狀態(tài)由振幅 A 圓頻率 及初相位 決定，或者說，由振幅和相位決定。 簡諧振動的頻率是由振動系統(tǒng)本身固有性質(zhì)決定的，而振幅和初相位不僅決定于系統(tǒng)本身性質(zhì)，而且取決于初始條件。 三 . 簡諧振動的圖象 ： 圖線 描述：質(zhì)點在各個時刻的偏離平衡位置的位移。 中學(xué)里經(jīng)常做正弦、余弦函數(shù)的圖象，故不再多講，請看書。 四 . 簡諧振動的矢量表示法 ： 用旋轉(zhuǎn)矢量的投影表示簡諧振動。 如圖示：

4、為一長度不變的矢量， 的始點在坐標(biāo)軸的原點處，記時起點 t=0 時，矢量 與坐標(biāo)軸的夾角為 ，矢量 以角速度 逆時針勻速轉(zhuǎn)動。 由此可見：勻速旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影即表示一特定的簡諧振動的運動學(xué)方程。 矢端的速度大小為 ，在 x 軸上的投影為： 矢端沿圓周運動的加速度即向心加速度的大小為： ，在 x 軸上的投影： 總結(jié) ： 旋轉(zhuǎn)矢量、旋轉(zhuǎn)矢量端點沿圓周運動的速度和加速度在坐標(biāo)軸上的投影等于特定的簡諧振動的位移、速度和加速度。因此，用旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影描述簡諧振動的方法叫簡諧振動的矢量表示法。 一 . 同方向同頻率簡諧振動的合成 設(shè)質(zhì)點參與同方向同頻率的兩個簡諧振動： 合位移： 令： 上

5、式 = 式表明：同方向同頻率的兩個簡諧振動合成后仍為一簡諧振動，其頻率和分振動頻率相同。 或者：由簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量法表示： 、 以 頻率旋轉(zhuǎn)， 、 之間的夾角不變， 也以 旋轉(zhuǎn)，平行四邊形的形狀不變。 討論 ：若相位差 ，即同相位，則： ，振幅最大； 若相位差 ，即反相位，則： ，振幅最??； 一般情況下，振幅 A 介于 與 之間。 同方向同頻率簡諧振動的原理，在光波、聲波等的干涉和衍射中很有用。 二 . 同方向不同頻率簡諧振動的合成 若：兩振動的周期之比： ， n ， m 有最小公倍數(shù)，則：二振動合成后仍有周期，但不是簡諧振動 , 由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知。 若：周期之比 , 不是整數(shù)比（如：無理數(shù)

6、之比 ) ，則合振動沒有周期性。 為了簡單方便，設(shè)： 假如： ，則： 的周期遠大于 的周期。 令： 則 式就成為： 式可以看作：振幅按照 緩慢變化的，而圓頻率等于 的準(zhǔn)簡諧振動。即：振幅有周期變化的簡諧振動。 令： 叫 平均圓頻率 ， 叫 調(diào)制圓頻率 。 式就成為： 式即：合振動為圓頻率等于平均圓頻率的“簡諧振動”，其振幅作緩慢的周期變化。 拍 ：振動方向相同，頻率之和遠大于頻率之差的兩個簡諧振動合成時，合振動振幅周期變化的現(xiàn)象叫拍。 合振動變化一個周期叫一 拍 ；單位時間內(nèi)拍出現(xiàn)的次數(shù)叫 拍頻 。 不論 達到正的最大或負的最大，對加強振幅來說，都是等效的，因此拍的圓頻率為調(diào)制圓頻率的兩倍：

7、拍頻為： 問題 ：若二分振動的振幅不同，但初位相 仍都為零，則合振動仍會形成拍嗎 ?三 . 互相垂直相同頻率簡諧振動的合成 二分振動方程如下： 合成的振動表示：質(zhì)點既沿 軸運動，又沿 軸運動，實際上在 平面上運動。式中消去時間 t ，得質(zhì)點運動的軌跡： 此為一橢圓的軌跡方程，橢圓的形狀大小及長短軸方位由振幅 和 以及初位相差 所決定。 討論 ： （）分振動相位相同或相反時 . 相位相同，即： 或 則式成為： 則式即為：合振動的軌跡為過原點且在一、三象限的直線。合振動任意一點的位移 r 為： 上式表明合振動也是簡諧振動，與分振動頻率相同，但振幅為 。 . 相位相反，即： ， k 為奇數(shù) 則式成為

8、： 則式即為：合振動的軌跡為過原點，且在二、四象限的直線。合振動任一點的位移為： 上式表明：合振動也是簡諧振動，與分振動頻率相同。 （） 相位差為時，式成為： 則式表明：合振動的軌跡為以 和 軸為軸的橢圓。 若，即 方向的振動比 方向的振動超前，即： 如某一瞬間， ，則： 。經(jīng)過很短的時間后， 略大于 0 ， y 將略小于 為正，而 大于 ， 為負，故質(zhì)點運動到第二象限，即質(zhì)點沿橢圓逆時針方向運動。反之，若質(zhì)點沿橢圓順時針方向運動。（）振幅相等，頻率相同，相位差為時 合振動的軌跡為一圓周運動： 總之 ：兩振動方向垂直、頻率相同的簡諧振動，合振動的軌跡為直線、圓或橢圓，軌跡的形狀和運動方向由分振

9、動的振幅和相位差決定。 四 . 互相垂直、不同頻率簡諧振動的合成 利薩如圖形 一般來說，互相垂直的分振動頻率不同的條件下，合振動的軌跡不能形成穩(wěn)定的圖案。但如果分振動的頻率成整數(shù)比，則合振動的軌跡為穩(wěn)定的曲線，曲線的花樣和分振動的頻率比、初位相有關(guān)，得出的圖形叫利薩如圖形。 利薩如圖形的應(yīng)用：利用利薩如圖形的花樣判斷二分振動的頻率比，再由已知頻率測量未知頻率。 例題 ： 彈簧下面懸掛物體，不計彈簧質(zhì)量和阻力，證明在平衡位置附近的振動是簡諧振動。 解：以彈簧和物塊靜止時的位置為原點 ，此時彈簧的伸長長度為 ，設(shè)物塊處于任一位置 時： 此為簡諧振動的動力學(xué)微分方程。阻尼振動振動系統(tǒng)因受阻力而作振幅

10、減小的運動叫 阻尼振動 。 一 . 阻尼振動的動力學(xué)方程 假設(shè)：振動速度較小時，摩擦力正比于質(zhì)點的速率。即： 對物塊應(yīng)用牛頓第二定律： 令 為二階線性常系數(shù)齊次方程，即阻尼振動的動力學(xué)方程。 二 . 阻尼振動方程的解 上述式方程的特征根： 1.   欠阻尼時 即： ，則： ， 通解為： (2) 說明由于阻力作用振動變慢（與無阻力時相比） 振幅為 隨時間的推移，呈指數(shù)遞減， 越大，振動衰減越快； 越小，振幅衰減越慢。 定義：表示阻尼大小的標(biāo)志，稱對數(shù)減縮，即經(jīng)過一個周期后，振幅的衰減系數(shù)。 2. 過阻尼狀態(tài) 即： ，則方程的通解為： 其中： 、 由初始條件決定。 隨時間的推移，質(zhì)點坐標(biāo)

11、單調(diào)地趨于零。質(zhì)點運動是非周期的，甚至不是往復(fù)的。將質(zhì)點移開平衡位置后釋放，質(zhì)點便慢慢回到平衡位置停下來，即過阻尼狀態(tài)。 3. 臨界阻尼狀態(tài) 即： ，則方程的通解為： 其中： 、 由初始條件決定。此種狀態(tài)，質(zhì)點仍不往復(fù)運動。由于阻力較前者小，質(zhì)點移開平衡位置釋放后，質(zhì)點很快回到平衡位置并停下來。 如圖示。應(yīng)用 ：例如：天平的指針最好處于臨界阻尼狀態(tài)。（理想） 電流表、電壓表的指針最好處于臨界阻尼狀態(tài)，有時處于欠阻尼狀態(tài)。 練習(xí)題 ：某阻尼振動的振幅經(jīng)過一周期后減為原來的，問振動頻率比振動系統(tǒng)的固有頻率少幾分之幾？（弱阻尼狀態(tài)）受迫振動振動系統(tǒng)在連續(xù)的周期性外力作用下進行的振動叫 受迫振動 。

12、一 . 受迫振動的動力學(xué)方程 設(shè)質(zhì)點受到：彈性力，阻尼力，周期性外力（驅(qū)動力）。 由牛二定律得：令： 上式變?yōu)椋菏骄褪鞘芷日駝拥膭恿W(xué)方程形式 ，是一個二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 。 二 . 受迫振動動力學(xué)方程的解 1. 方程的通解（齊次方程的通解） 設(shè)：，欠阻尼狀態(tài)，則與受迫振動動力學(xué)方程對應(yīng)的齊次微分方程的通解為： 其中：， 和 由初始條件（初位置與初速度）決定。 2. 特解（非齊次方程） 其中： 、 待定，方法是將代入方程來確定；而 、 是由初始條件來確定的參數(shù)。 3. 非齊次方程的通解： 下面來確定 和 ： 代入非齊次方程中得： 利用兩角和的正、余弦公式展開得： ； (3) 討論 ：

13、受迫振動方程式的解：式由二項之和組成。第一項表示阻尼振動隨著時間的增加而趨于零；第二項是簡諧振動，振幅為，頻率為。隨著時間的增加，第一項的阻尼振動可忽略不計，質(zhì)點進行由第二項所決定的與驅(qū)動力同頻率的振動（稱為受迫振動），不是固有的簡諧振動?！疽驗?不是系統(tǒng)固有的頻率，而是策動力(即：驅(qū)動力)的頻率】，（3）式中的是受迫振動的振幅，是受迫振動的位移相位與驅(qū)動力相位之差（因驅(qū)動力的初位相為0，這里表示為受迫振動位移初相）另外，用矢量圖法也可求得和：由圖可知相位矢量落后于，而，故，且有： 4. 穩(wěn)態(tài)解的位相 由上圖可知： （ 左右等號分別為和時的極限情況）討論 ： 策動力頻率 時： 即：穩(wěn)定狀態(tài)振動

14、的位移與驅(qū)動力的相位差為零，二者同步。 時，在第四象限，即：位移的相位落后于驅(qū)動力的相位 時，即：位移的相位落后于驅(qū)動力的相位。 時，在第三象限。位移的相位落后于驅(qū)動力的相位時，即：位移的相位落后于驅(qū)動力的相位，即二者相位相反。 0關(guān)于受迫振動位移與驅(qū)動力的相位差和驅(qū)動力頻率的關(guān)系如圖所示。 三 . 位移共振 利用微分法關(guān)于極大值的判據(jù)： 對于可導(dǎo)函數(shù)在某處，若一階導(dǎo)數(shù)等于 0 ，二階導(dǎo)數(shù)小于 0 ，則該點為函數(shù)的極大值點。若一階導(dǎo)數(shù)等于 0 ，二階導(dǎo)數(shù)大于0 ，則該點為函數(shù)的極小值點。由（3）式中的，考慮隨的變化規(guī)律，兩邊對求導(dǎo)得： 兩邊對再求導(dǎo)得：令可得駐點或討論：若的欠阻尼情況，駐點對應(yīng)

15、的，為極小值；而駐點對應(yīng)的，為極大值這種振動系統(tǒng)受迫振動時，振幅達極大值的現(xiàn)象叫位移共振。綜上所述：位移共振條件：驅(qū)動力的圓頻率為：共振的振幅：由此可知：位移共振頻率小于（并不等于）系統(tǒng)的固有頻率，越大則越?。ㄒ苍叫。?，僅當(dāng)阻尼無限小時，共振頻率無限接近于固有頻率。當(dāng)時，產(chǎn)生極激烈的位移共振。共振時，位移與驅(qū)動力的相位差（）：將反代入（3）式可得： （5）由（5）式知：當(dāng)時的共振，即位移比驅(qū)動力落后，而位移比速度也落后，則驅(qū)動力與速度同相位，驅(qū)動力做功的功率恒為正。對于的一般情況下的共振，故即 ，又因為 聯(lián)立可得：即共振時速度相位比驅(qū)動力相位超前一個銳角（并非想象中的始終同相位）。若定要保證驅(qū)

16、動力與速度始終同相位，即令（3）式中可得反代入（3）式可得，顯然，此時反倒算不上共振了。事實上能量補充的多少不能只考慮驅(qū)動力與速度相位關(guān)系，還應(yīng)考慮振幅大小（關(guān)系到力程長短）、周期的長短、還有耗散阻力做功的情況，共振時雖然驅(qū)動力與速度不總是同方向（功率時正時負）但且，周期長，總的看做功多（由數(shù)學(xué)分析知），這沒有實質(zhì)性的矛盾！若（仍屬于欠阻尼）情況，則只有一個駐點且對應(yīng)的考察時故為減函數(shù)。在時，函數(shù)取最大值若（仍屬于欠阻尼）情況，也只有一個駐點（因根號下為負數(shù)不能開方），對應(yīng)的，為極大值若的臨界阻尼情況，仍然也只有一個駐點（因根號下為負數(shù)不能開方），對應(yīng)的，為極大值若的過阻尼情況，仍然還是只有一個駐點（因根號下為負數(shù)不能開方），對應(yīng)的，為極大值；以上的情況函數(shù)的單調(diào)性類似，都為減函數(shù)，只不過對于同樣的、而言，越大，應(yīng)該越小。綜上所作的討論，可以定性畫出各種（不同）情況下的函數(shù)圖象如下所示：四 . 受迫振動的能量轉(zhuǎn)換 由于彈簧彈性力是保守力，動能和勢能互相