四邊形中考題

1、考點(diǎn)1 特殊的平行四邊形的性質(zhì)與判定1矩形的定義、性質(zhì)與判定（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。（2）矩形的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線_；矩形的四個(gè)角都是_角。矩形具有_的一切性質(zhì)。矩形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有_條，矩形也是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為_的交點(diǎn)。矩形被對(duì)角線分成了_個(gè)等腰三角形。（3）矩形的判定有一個(gè)是直角的平行四邊形是矩形；有三個(gè)角是_的四邊形是矩形；對(duì)角線_ _的平行四邊形是矩形。溫馨提示：矩形的對(duì)角線是矩形比較常用的性質(zhì)，當(dāng)對(duì)角線的夾角中，有一個(gè)角為60度時(shí)，則構(gòu)成一個(gè)等邊三角形；在判定矩形時(shí)，要注意利用定義或?qū)蔷€來判定時(shí)，必須先證明此四邊形為平行四邊形，然后再一個(gè)角

2、為直角或?qū)蔷€相等。很多同學(xué)容易忽視這個(gè)問題。2菱形的定義、性質(zhì)與判定（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（2）菱形的性質(zhì)菱形的_都相等；菱形的對(duì)角線互相_ _，并且每一條對(duì)角線_一組對(duì)角；菱形也具有平行四邊形的一切性質(zhì)。菱形即是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有_ _條。（3）菱形的面積菱形的面積=底×高，菱形的面積=ab，其中a，b分別為菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)。菱形被對(duì)角線分成了4個(gè)全等的直角三角形。（4）菱形的判定：_都相等的四邊形是菱形；對(duì)角線_的平行四邊形是菱形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。溫馨提示：在利用菱形的判定時(shí)，也要注意所要證明的四邊形是不是平行

3、四邊形，而你用的判定定理需不需要證明它是平行四邊形，有對(duì)角線時(shí)，通?？紤]利用對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形來證明，否則一般不利用此定理。3正方形的性質(zhì)及判定方法（1）正方形的性質(zhì)：正方形的四個(gè)角都是_，四條邊都_；正方形的兩條對(duì)角線_，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形即是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形。正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（2）正方形的判定方法：有一組鄰邊相等的_ _是正方形；對(duì)角線互相_的矩形是正方形；有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；對(duì)角線_的菱形是正方形。溫馨提示：無論是正方形的性質(zhì)還是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都從這個(gè)

4、出發(fā)，則一切的性質(zhì)與判定就都有了。但要注意在利用對(duì)角線判定正方形時(shí)，“平分”這個(gè)前提，因?yàn)橹挥袑?duì)角線平分了，此四邊形才是平行四邊形了，然后再證明是矩形又是菱形。考點(diǎn)2 梯形的概念及判定方法1梯形的定義：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。（1）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。在初中階段重點(diǎn)研究等腰梯形。2等腰梯形的性質(zhì)與判定性質(zhì)：（1）等腰梯形中，同一底上的兩個(gè)角相等；（2）等腰梯形的對(duì)角線相等；判定：（1）同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；（2）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形；（3）有兩個(gè)腰相等的梯形是等腰梯形。3梯形中常用的

5、輔助線：梯形的輔助線分割后的圖形圖形示意將梯形分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形將梯形分割成兩個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形將梯形分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形將梯形分割成一個(gè)矩形形和一個(gè)三角形將梯形分割成兩個(gè)三角形將梯形分割成一個(gè)三角形溫馨提示：在涉及梯形的題目中，通常要添加輔助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形題，然后再利用這兩種圖形的性質(zhì)解題，所以掌握常用的輔助線對(duì)解決梯形問題，至關(guān)重要，所以平時(shí)同學(xué)們要注意搜集或留意輔助線的作法，使它們變成自己的東西。例1題圖中考熱點(diǎn)難點(diǎn)突破例1：如圖，菱形ABCD中，B60°，AB2，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、EF、AF，則AE

6、F的周長(zhǎng)為（ ）例2題圖A B C D3 例2：如圖，把矩形沿對(duì)折后使兩部分重合，若，則=（ ）A110°B115° C120°D130°BACD第1題圖一、選擇題1如圖，在菱形ABCD中，AB = 5，BCD = 120°，則對(duì)角線AC等于（ ）A20 B15C 10 D52如圖，將一個(gè)長(zhǎng)為10cm，寬為8cm的矩形紙片對(duì)折兩次后，沿所得矩形兩鄰ABCD邊中點(diǎn)的連線（虛線）剪下，再打開，得到的菱形的面積為（ ）ABCD3如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，M、N分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，連接OM、ON、MN，則下列敘述

7、正確的是（ ）AAOM和AON都是等邊三角形B四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形C四邊形AMON與四邊形ABCD是位似圖形 D四邊形MBCO和四邊形NDCO都是等腰梯形DBCANMO第3題圖ADEPCBF第4題圖CDABE第6題圖4.如圖，在菱形ABCD中，A=110°，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EPCD于點(diǎn)P，則FPC=（ ）A35° B45° C50° D55°5. 將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF若AB3，則BC的長(zhǎng)為( )A1 B2 C DABCDFEOABCD第7題圖6如圖，將矩形沿對(duì)角線折疊，使落在

8、處，交于，則下列結(jié)論不一定成立的是（ ）ABCD7如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（ ）第8題圖A8 B8 C2 D108已知等腰梯形ABCD的中位線EF的長(zhǎng)為6，腰AB的長(zhǎng)為5，則等腰梯形的周長(zhǎng)為（ ） A11 B16 C17 D22第9題圖9如圖，ABCD的周長(zhǎng)是28，ABC的周長(zhǎng)是22，則AC的長(zhǎng)為( )A6B12C4D8第10題圖10 如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩條相交線段MN、EF，M、N、E、F分別在邊AB、CD、AD、BC上小明認(rèn)為：若MN= EF，則MNEF；小亮認(rèn)為: 若MNEF，則MN= EF你認(rèn)為A僅小明對(duì)B僅

9、小亮對(duì)C兩人都對(duì)D兩人都不對(duì)第13題圖11如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10cm，DEAB，則這個(gè)菱形的面積=cm2DCAB第12題圖第11題圖12如圖，等腰梯形ABCD中，則梯形ABCD的周長(zhǎng)是.13）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，使它為矩形的條件可以是14在等腰梯形ABCD中，ADBC, AD3cm, AB4cm, B60°, 則下底BC的長(zhǎng)為cm .15如圖，一活動(dòng)菱形衣架中，菱形的邊長(zhǎng)均為若墻上釘子間的距離則度第20題圖1第15題圖ABCADCB第19題圖E16. 我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形若一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是一個(gè)矩形，則四邊形可以是

10、17. 在四邊形中，對(duì)角線與互相平分，交點(diǎn)為在不添加任何輔助線的前提下，要使四邊形成為矩形，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是18）如果用4個(gè)相同的長(zhǎng)為3寬為1的長(zhǎng)方形，拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，那么這個(gè)大的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)可以是_19如圖邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形互相重合，按住其中一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是20如圖，在梯形ABCD中，DCAB，DACB，若AB10，DC4，tanA2，則這個(gè)梯形的面積是_ODCBA三、解答題21如圖 ，ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD相交于O， （1）求證：ABD是正三角形； （2）求 AC的長(zhǎng)（結(jié)果可保留根號(hào)） BACDFM第22題

11、圖E22.已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，過AB的中點(diǎn)E作AC的垂線EF，交AD于點(diǎn)M，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.（1）求證：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周長(zhǎng)23如圖所示，在中，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)在上，再將沿著所在第23題圖ADFCEGB直線翻轉(zhuǎn)得到連接 （1）求證：四邊形是菱形； （2）連接并延長(zhǎng)交于連接請(qǐng)問：四邊形是什么特殊平行四邊形？為什么？24如圖：已知在中，為邊的中點(diǎn)，過第24題圖DCBEAF點(diǎn)作，垂足分別為.（1） 求證：；（2）若，求證：四邊形是正方形. DEFPBA第25題圖C25如圖，在等腰梯形ABCD中，C=60°，ADBC，且AD=DC，

12、E、F分別在AD、DC的延長(zhǎng)線上，且DE=CF，AF、BE交于點(diǎn)P（1）求證：AF=BE；（2）請(qǐng)你猜測(cè)BPF的度數(shù)，并證明你的結(jié)論26如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BDAD，BC=CD，A=60°，CD=2cm.(1)求CBD的度數(shù)；(2)求下底AB的長(zhǎng).ABC第26題圖D60°27 如圖，為直角，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連結(jié)，作，垂足為，連結(jié)，過點(diǎn)作，交于ABCDFEM（1）求證：；（2）在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，四邊形是梯形，并說明理由；（3）在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，線段上存在點(diǎn)，滿足條件，并說明理由EA DB CNM28如圖，四邊形ABCD是正

13、方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最??；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).28數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，且EF交正方形外角的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證，所以在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)

14、”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由； （2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由ADFCGEB圖1ADFCGEB圖2ADFCGEB圖3參考答案基礎(chǔ)知識(shí)回放答案：相等 直 平行四邊形 2 對(duì)角線 4 直角 相等 四條邊 垂直平分 平分 2 四條邊 互相垂直 直角 相等 相等 矩形 垂直 相等中考效能測(cè)試一、選擇題1D【解析】本題考查

15、了菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定。根據(jù)菱形的性質(zhì)知：AB=BC,B+BCD=180°,又有BCD=120°，B=60°,所以三角形ABC為等邊三角形，所以AC=AB=5。2A【解析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)、矩形、菱形的面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)。矩形對(duì)折兩次后，所得的矩形的長(zhǎng)、寬分別為原來的一半，即為5 cm，4 cm，而沿兩鄰邊中點(diǎn)的連線剪下，剪下的部分打開前相當(dāng)于所得菱形的沿對(duì)角線兩次對(duì)折的圖形，所以菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為5 cm，4 cm，所以菱形的面積為×5×410 cm2.也可以根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求出剪下的部分的面積占矩形面積的比

16、例求出菱形的面積。3C【解析】本題考查了菱形的有關(guān)性質(zhì)和位似圖形的定義。在中，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，但AO與OM和AM的大小卻無法判斷，所以無法判斷是等邊三角形。同樣，我們也無法判斷BM是否等于OB和BM是否等于OC，所以也無法判斷平行四邊形MBON和MODN是菱形，也無法判斷四邊形MBCO和NDCO是等腰梯形。根據(jù)位似圖形的定義可知四邊形MBCO和四邊形NDCO是位似圖形，故本題選C。第10題答圖ABCDEPFG4C5D.【解析】本題綜合考查了利用等腰三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)及方程的知識(shí)求解問題的能力，由題意得CAB=ECB=30°，不妨設(shè)BC=x，則由三角函

17、數(shù)的知識(shí)可得EB=x，AB=x，即x=3，解得x=,故選D。6C7D【解析】本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)N的位置，使DN+MN的和最小，因?yàn)锽、D關(guān)于直線AC對(duì)稱，所以BM與AC的交點(diǎn)即為點(diǎn)N的位置，此時(shí)有最小值，BM的長(zhǎng)度就是DN+MN的最小值.根據(jù)勾股定理BM=10，故答案為D.8D【解析】過點(diǎn)D作DEAC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C。則此等腰梯形的周長(zhǎng)就為三角形DBE的周長(zhǎng)，即等于此梯形的中位線的2倍加上腰長(zhǎng)的2倍即可。9D 10D【解析】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，是一道綜合性很強(qiáng)的題目。解答本題應(yīng)首先延長(zhǎng)PF交AB的延

18、長(zhǎng)線于點(diǎn)G，根據(jù)題意，利用角角邊可證明，于是得到，PF=FG，所以在中，EF是斜邊上的中線，于是得到FE=FG，所以，又因?yàn)镋、F分別為中點(diǎn)，所以EB=FB，所以，F(xiàn)E=FG=BF，所以，又因?yàn)锳=110°，所以,因此，,解得。1160 121713答案不唯一，如AC=BD，BAD=90o，等 14715120【解析】本題考查了菱形和等邊三角形的性質(zhì)。如圖，連接AB，由題意可知AB=AC=BC=16cm，ABC是等邊三角形，所以ACB=60°，2=180°-60°=120°，由菱形的性質(zhì)可得1=2=120°。16菱形（對(duì)角線互相垂直的

19、四邊形均可）【解析】本題考查中點(diǎn)四邊形的識(shí)別能力，其實(shí)質(zhì)是三角形的中位線定理。由三角形中位線可知中點(diǎn)四邊形的各邊是原四邊形的對(duì)角線的中位線，若中點(diǎn)四邊形是矩形，則需原四邊形的對(duì)角線互相垂直。17AC=BD，【解析】本題考查了矩形的判定方法，“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”可添加條件“AC=BD”；根據(jù)“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”可考慮添加條件“ABC=90”.1814或16或26【解析】本題考查了學(xué)生的空間想象能力和發(fā)散思維能力。解答本題最好能將所有的拼法畫出來后再進(jìn)行求解。本題的不同拼法有：19【解析】根據(jù)題意知：，則,且為等腰直角三角形，所以。所以，。易錯(cuò)易混點(diǎn)：有的學(xué)生因沒有挖掘

20、出為等腰直角三角形這一條件，進(jìn)而使求陰影部分的面積陷入困境。2042 【解析】本題難度中等，考查等腰梯形的知識(shí).如圖，作DEAB，CFAB，垂足分別為E、F，根據(jù)題意可得：矩形CDEF，ADEBCF，所以CD=EF=4，所以AE=BF=3.因?yàn)閠anA=2，所以DE=6，所以這個(gè)梯形的面積是42.三、解答題21（1）證明：AC是菱形ABCD的對(duì)角線，AC平分BCD 又ACD=30°，BCD=60° BAD與BCD是菱形的一組對(duì)角，BAD=BCD=60° AB、AD是菱形的兩條邊， ABD是正三角形（2）解：O為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，在中， ，答的長(zhǎng)為ADFCEGB22

21、（1）略證：四邊形ABCD是菱形，ABCD,AB=AD. ACEF,AM=AE. AE=AB, AM=AD.AM=DM.（2）提示:證明AMEDMF.DF=AEABCD的周長(zhǎng)為16.23（1）證明：是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到， 是等邊三角形，又是由沿所在直線翻轉(zhuǎn)得到是平角點(diǎn)F、B、C三點(diǎn)共線是等邊三角形3分 四邊形是菱形（2）四邊形是矩形證明：由（1）可知：是等邊三角形，于四邊形是平行四邊形，而四邊形是矩形24（1）， ，是的中點(diǎn)，.（2），四邊形為矩形.，四邊形為正方形25（1）BA=AD，BAE=ADF，AE=DF，BAEADF，BE=AF；（2）猜想BPF=120° .由（1）知BAEADF，ABE=DAF .BPF=ABE+BAP=BAE，而ADBC，C=ABC=60°，BPF=120° .26解：(1)A60°，BDADABD30°.又ABCDCDBABD30°.BCCDCBDCDB30°.(2)ABDCBD30°ABC60°A.ADBCCD2cm 在RtABD中，AB2AD4cmABCDFEMGH27（1）在中