分塊矩陣的應(yīng)用研究

1、在數(shù)學(xué)名詞中，矩陣（英文名MatrixMatrix我們可以構(gòu)成一個(gè)矩陣因?yàn)檫@些數(shù)字是有規(guī)則的排列在一起，形狀像矩形，所以數(shù)學(xué)家們稱之為矩陣，通過矩陣的變化，就可以得出方程組的解來.數(shù)學(xué)上，一個(gè)矩陣乃一個(gè)行列的矩形陣列.矩陣由數(shù)組成，或更一般的，由某環(huán)中元素組成.矩陣作為數(shù)學(xué)工具之一有其重要的實(shí)用價(jià)值，它常用于很多學(xué)科中.如：線性代數(shù)、線性規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)分析，以及組合數(shù)學(xué)等.在實(shí)際生活中有許多問題都可以借用矩陣抽象出來進(jìn)行表述并進(jìn)行運(yùn)算，如在各循環(huán)賽中常用的賽況表格等，矩陣的概念和性質(zhì)相對(duì)矩陣的運(yùn)算較容易理解和掌握，對(duì)于矩陣的運(yùn)算和應(yīng)用，則有很多的問題值得我們?nèi)パ芯?，其中?dāng)矩陣的行數(shù)和列數(shù)都相當(dāng)大時(shí)

2、，矩陣的計(jì)算的證明中則會(huì)是一個(gè)很繁瑣的過程，因此這時(shí)我們得有一個(gè)新的矩陣處理工具，來使這些問題得到更好的解決，矩陣分塊的思想由此產(chǎn)生，對(duì)級(jí)數(shù)較高矩陣的處理是矩陣的相關(guān)內(nèi)容中重要的一部分，分塊矩陣形象的揭示了一個(gè)復(fù)雜或是特殊矩陣的內(nèi)部本質(zhì)結(jié)構(gòu).本文即是通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)和學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)后總結(jié)并探討分塊矩陣在各方面的應(yīng)用，以計(jì)算和證明兩大方面為主.在已有的相關(guān)文件中，分塊矩陣的一些應(yīng)用如下：（1） 從行列式的性質(zhì)出發(fā)，推導(dǎo)出分塊矩陣的若干性質(zhì)，并舉例說明這些性質(zhì)在行列式計(jì)算和證明中的應(yīng)用.（2） 分塊矩陣在線性代數(shù)中是一個(gè)基本工具，研究許多問題都需要它.借助分塊矩陣的初等變換可以發(fā)現(xiàn)分塊矩陣在計(jì)算行列

3、式、求逆矩陣及矩陣秩方面的應(yīng)用.如：設(shè)是一個(gè)四分塊階矩陣，其中、分別是階矩陣，若可逆，可證，另若可逆，則可證得.（3） 通過緒論證明矩陣的分塊在高等代數(shù)中的應(yīng)用，包括用分塊矩陣證明矩陣乘積的秩的定理問題，用分塊矩陣求逆矩陣問題，用分塊矩陣求矩陣行列式的問題，用分塊矩陣求矩陣的秩的問題，利用分塊矩陣證明一個(gè)矩陣是零矩陣的問題.如用分塊矩陣證明矩陣乘積的秩的定理：已知矩陣秩秩，且秩秩可證得秩.、都是階矩陣，其中，并且，則可求得.（5）給出利用分塊矩陣計(jì)算行列式的方法，可分幾個(gè)方面討論，當(dāng)矩陣或可逆時(shí);當(dāng)矩陣=，=時(shí);當(dāng)與或與可交換時(shí)；當(dāng)矩陣被分成兩個(gè)特殊矩陣的和時(shí)，行列式的計(jì)算.（6）分塊矩陣有非

4、常廣泛的應(yīng)用，特別利用分塊矩陣證明矩陣秩的性質(zhì)顯得非常簡(jiǎn)潔，而且方法也比較統(tǒng)一，有其獨(dú)特的優(yōu)越性.本文將通過對(duì)分塊矩陣性質(zhì)的研究，比較系統(tǒng)的總結(jié)討論分塊矩陣在計(jì)算與證明方面的應(yīng)用，從而確認(rèn)分塊矩陣為處理很多代數(shù)問題可以帶來很大的便利.2 分塊矩陣及其性質(zhì)2.1 分塊矩陣分塊矩陣的定義用縱線與橫線將矩陣劃分成若干較小的矩陣：（2.1）其中每個(gè)小矩陣 叫做的一個(gè)子塊；分成子塊的矩陣叫做分塊矩陣.分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則在用規(guī)則（1）時(shí)，與的分塊方法須完全相同；用性質(zhì)（3）時(shí)，的列的分法與的行的分法須相同.在行列式計(jì)算中，我們經(jīng)常用到下面三條性質(zhì)：（1）若行列式中某行有公因子，則可提到行列式號(hào)外面；（2）

5、把行列式中的某行乘上某一個(gè)非零數(shù)，加到另一行中去，其值不變；（3）把行列式的某兩行互換位置，其值變號(hào).利用矩陣的分塊，我們可以把行列式的三條性質(zhì)在分塊矩陣中進(jìn)行推廣.性質(zhì)1 設(shè)方陣A是由如下分塊矩陣組成 （2.2）其中都是矩陣，又是任一級(jí)方陣，對(duì)于矩陣 （2.3）則.證明：設(shè)為級(jí)單位矩陣，則于是 性質(zhì)2 設(shè)矩陣是由如下分塊矩陣組成 （2.4）其中都是矩陣，又是任一級(jí)方陣，對(duì)于矩陣 （2.5）則證明：由=其中為級(jí)單位矩陣，對(duì)上式兩邊同時(shí)取行列式得性質(zhì)3 設(shè)方陣和寫成如下的形式：，其中都是矩陣，則：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)；-，當(dāng)為奇數(shù)時(shí).證明：可由中的與相應(yīng)的兩行對(duì)換而得到，而對(duì)換行列式得兩行，行列式反號(hào)，

6、故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)-可以證明，對(duì)于一般分塊矩陣也具有類似的性質(zhì).同時(shí)，這些性質(zhì)不僅對(duì)行成立，對(duì)列也同時(shí)成立.推論1 設(shè)都是階方陣，則有 （2.6）證明：作2階行列式由拉普拉斯展開定理得.又由性質(zhì)2并應(yīng)用于列的情況，有 推論2 設(shè)都是階方陣，則有 （2.7）證明：根據(jù)性質(zhì)2并應(yīng)用于列的情況，有下面舉例說明這些性質(zhì)在行列式計(jì)算和證明中的應(yīng)用.例1 計(jì)算2n階行列式 解：令A(yù)= B=.推論3設(shè)、都是階方陣，其中，并且，則有 （2.8）證明：可逆，并注意到，用乘矩陣的第一行后加到第二行中去得從而例2 計(jì)算行列式 解：設(shè) 其中.由計(jì)算知 且，所以.把行、都是階方陣.則有 （2.6） （2.7） （

7、2.8）結(jié)論(2.6)告訴我們兩個(gè)方陣的乘積的行列式等于這兩個(gè)方陣行列式的乘積.結(jié)論(2.7)則說明,當(dāng)一個(gè)行列式可以分解成四個(gè)級(jí)數(shù)相等的方陣、時(shí)(即),那么我們可以轉(zhuǎn)化為求這樣我們就把求2級(jí)的行列式轉(zhuǎn)換成了求級(jí)的行列式.結(jié)論（2.8）同樣也說明當(dāng)一個(gè)行列式可以分成四個(gè)級(jí)數(shù)相等的方陣、時(shí)（即），我們可以轉(zhuǎn)換為求，同樣將一個(gè)2級(jí)的行列式轉(zhuǎn)換成了級(jí)的行列式，這樣的處理能給我們的計(jì)算帶來很大的方便.例題1和例題2就是很好的印證.但并不是任何矩陣都能做到這樣，因此我們?cè)诮庑辛惺接?jì)算題時(shí)應(yīng)首先觀察其特點(diǎn).一但發(fā)現(xiàn)有以上行列式的特點(diǎn)，即可用之.3 分塊矩陣在證明方面的應(yīng)用的秩的相關(guān)證明中的應(yīng)用分塊矩陣在矩

8、陣乘積秩的證明中的應(yīng)用定理1 秩（）秩（），且秩（）秩（）,則秩（）秩（），秩（）證明：令 則可由（2）線性表示所以秩（1）秩（2），即秩（）=秩（）秩（）令 所以即可由 線性表示所以秩（3）秩（4），即秩（）=秩（）秩（）也即秩（）min秩（），秩（）定理2 設(shè)，都是階矩陣，若=0則秩（）+秩（）n .證明：對(duì)分塊如下：.由于=0，即.即 .說明的各列都是 秩基礎(chǔ)解系=-秩（）.即 秩（）+秩（）. 分塊矩陣在其他相關(guān)矩陣秩的證明上的應(yīng)用例 3設(shè)，都是階矩陣，求證：秩（）秩（）+秩（）證明：因?yàn)樗?因?yàn)?都可逆 .所以 秩=秩而秩秩且秩=秩（）+秩（）.所以秩（）秩（）+秩（）.例4設(shè)為矩

9、陣，是從中取行得到的矩陣，則秩（）秩（）+.證明：不妨設(shè)是的前行，而后行構(gòu)成的矩陣為，則.又顯然有 秩（）秩（）+秩（）.于是 秩（）秩+秩=秩（）+.利用分塊矩陣證明矩陣秩的問題，一般采用兩種方法，一是利用已知矩陣作為元素來拼成高級(jí)的矩陣來證明，如例題1.另一種方法是將已知矩陣拆成低級(jí)數(shù)的矩陣來證明，如例題2.這兩種方法在證明矩陣的秩的問題時(shí)都是很有效的，很大一部分相關(guān)矩陣秩的問題都可以用分塊矩陣來證明.3.2 分塊矩陣在線性相關(guān)性及矩陣的分解中的應(yīng)用分塊矩陣在線性相關(guān)性及矩陣的分解中有著廣泛的應(yīng)用，欲透徹掌握達(dá)到運(yùn)用自如卻非易事.其基礎(chǔ)知識(shí)抽象，解題方法技巧性強(qiáng)，稍有不慎就會(huì)陷入困境.作為

10、線性代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容和工具的矩陣，我們大家往往容易忽視它重要的一點(diǎn)矩陣分塊的作用，本節(jié)就談?wù)勊诰€性相關(guān)性及矩陣的分解證明中的應(yīng)用. 關(guān)于矩陣列（行）向量線性相關(guān)性定理1 矩陣的列向量線性無關(guān)的充分必要條件是只有零解.證明：令，其中是的列向量，且.即，也即 .若線性無關(guān)，則有只有零解，反之亦成立.例5矩陣列線性無關(guān)，.求證：列線性無關(guān)的充要條件是列線性無關(guān).證明：充分性：使即，記，則，因?yàn)榱袩o關(guān)，須，即，又列無關(guān)，須，從而列無關(guān).必要性：要使，兩邊左乘，則，即，因?yàn)榱袩o關(guān)，所以，從而列無關(guān). 矩陣的分解定理2 設(shè)（1）使；（2）使；（3）使.證明：使（1） 將與作如下分塊：.則.（2）令因?yàn)?/p>

11、.令，即得，.（3）因?yàn)?，即得?矩陣的列（行）向量相關(guān)與無關(guān)性的問題很顯然都會(huì)涉及到利用矩陣分塊，因?yàn)榫仃嚨牧校ㄐ校┒伎梢钥醋魇蔷仃嚨淖訅K，對(duì)于處理矩陣的分解也是一樣，在線性代數(shù)中還有很多問題都可類似的通過分塊矩陣來解決.4 分塊矩陣在計(jì)算方面的應(yīng)用4.1 分塊矩陣在求逆矩陣方面的應(yīng)用定理1 設(shè)是一個(gè)四分塊方陣,其中為階方陣,為階方陣,當(dāng)與都是可逆矩陣時(shí),則是可逆矩陣,并且特例 (1)當(dāng)與都可逆時(shí),有.(2)當(dāng)與都可逆時(shí),有.(3)當(dāng)與都可逆時(shí),有.證明： 設(shè)可逆,且,其中為階方陣,為.即.于是得到下面的等式因?yàn)榭赡?用右乘(4.2)式可得代入(4.1)式得，則 .用右乘(4.4)式可得 .

12、代入(4.3)式得 .則可得.所以 .定理2設(shè)是一個(gè)四分塊方陣,其中為階方陣,為階方陣,當(dāng)與都是可逆矩陣時(shí),則是可逆矩陣,并且特例(1)當(dāng)與都可逆時(shí),有.(2)當(dāng)與都可逆時(shí),有.(3)當(dāng)與都可逆時(shí),有.此結(jié)論可參考命題1.例6設(shè),求.解：令.則很容易求得且由命題2可得,例7求矩陣的逆矩陣.解：設(shè)則.由命題1可得:. 本節(jié)主要講述了欲求一個(gè)矩陣的逆矩陣,現(xiàn)將該矩陣分成四小塊中哪些可逆哪些不可逆，再具體運(yùn)用.4.2 分塊矩陣在行列式計(jì)算方面的應(yīng)用 在線性代數(shù)中,分塊矩陣是一個(gè)十分重要的概念,它可以使矩陣的表示簡(jiǎn)單明了,使矩陣的運(yùn)算得以簡(jiǎn)化.而且還可以利用分塊矩陣解決某些行列式的計(jì)算問題.而事實(shí)上,

13、利用分塊矩陣方法計(jì)算行列式,時(shí)常會(huì)使行列式的計(jì)算變得簡(jiǎn)單,并能收到意想不到的效果.本節(jié)給出利用分塊矩陣計(jì)算行列式的幾種方法. 矩陣或可逆時(shí)，行列式的計(jì)算定理1分別為與階行列式.（1）當(dāng)可逆時(shí)，有（4.5）（2）當(dāng)可逆時(shí)，有（4.6）證明：（1）根據(jù)分塊矩陣的乘法，有.由引理知，兩邊取行列式即得（4.5）.（2） 根據(jù)分塊矩陣的乘法，有兩邊取行列式即得（4.6）.此命題可以用來解決一些級(jí)數(shù)較高的矩陣的求逆問題，但在利用命題（1）時(shí)，要特別注意條件有矩陣或可逆，否則此命題不適用，下面給出此命題的應(yīng)用. 推論1 設(shè)、分別是矩陣.證明（4.7）（4.8）證明：只需要在命題1的（4.5）中令，即得（4.

14、7）；在（4.6）中令即得（4.8）.推論2分別是和 （4.9） 證明：在推論1的（4.7）中，令，在（4.8）中，令，即得（4.9）. 例 8 計(jì)算下面階行列式解：令為,故：從而由命題1中（1）得：.例9 計(jì)算行列式(1)；(2) 解：（1）設(shè)，其中.因?yàn)?所以是可逆矩陣，又易知：.從而由命題1中的結(jié)論（4.2）得.（2）設(shè)，其中.由于，從而由推論1知，. 矩陣時(shí)行列式的計(jì)算定理2是兩個(gè)階方陣，則證明：根據(jù)行列式的性質(zhì)和定理，有.例 10 計(jì)算行列式.解：這道題看似簡(jiǎn)單，但如果方法選擇的不好，做起來并不輕松，這里設(shè) ，由命題2知行列式的計(jì)算是線性代數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容，本節(jié)就行列式的計(jì)算問題具

15、體就形如（、分別是的矩陣）的類型的行列式計(jì)算進(jìn)行了分析，其中將一個(gè)行列式分快成、后，又細(xì)分為幾種情況進(jìn)行了討論，依據(jù)不同的情況給出了不同的計(jì)算方法，在計(jì)算行列式時(shí)可依據(jù)這幾種不同的情況具體問題具體對(duì)待，從而簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算過程.在這一部分可見，利用分塊矩陣計(jì)算行列式主要是靠分塊矩陣來改變?cè)瓉砭仃嚨募?jí)數(shù)從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算過程，快速解決問題的目的.5 結(jié)束語本文對(duì)分塊矩陣進(jìn)行了兩方面的應(yīng)用總結(jié)分析，在證明方面,涉及了矩陣秩的相關(guān)問題以及矩陣列(行)向量線性相關(guān)等問題.在證明線性相關(guān)問題上,利用分塊矩陣可以很清晰地描述線性方程組的解與其相關(guān)內(nèi)容.對(duì)一些具體的解與矩陣列(行)向量組線性相關(guān)性之間的關(guān)系給

16、出了結(jié)論；在計(jì)算方面利用分塊矩陣這一工具我們主要解決了求逆矩陣與求高級(jí)行列式的問題,再求逆矩陣方面,本文著重論述了將一個(gè)高級(jí)矩陣進(jìn)行矩陣分塊分成二級(jí)矩陣后,通過討論四子塊的各自特點(diǎn)來求原矩陣逆矩陣的快捷方法,并且給出了求解具有特殊性質(zhì)行列式的方法,通過本文的論述,充分體現(xiàn)了分塊矩陣在代數(shù)計(jì)算與證明方面具有一定的優(yōu)越性,也給出了分塊矩陣和矩陣分塊在代數(shù)學(xué)中所具有的重要地位.當(dāng)然在對(duì)分塊矩陣的應(yīng)用論述上.本文并不是所有類型的證明與計(jì)算都進(jìn)行了討論,所以在應(yīng)用的完整性上還有待改進(jìn),并可以繼續(xù)進(jìn)行研究探討.6 致謝本文是在導(dǎo)師夏丹的悉心指導(dǎo)下完成的，導(dǎo)師在學(xué)業(yè)上的諄諄教誨和身體力行，在生活上的默默關(guān)心

17、和無私幫助將使我受益終身，在此謹(jǐn)向?qū)煴硎局孕牡母兄x！導(dǎo)師對(duì)科學(xué)事業(yè)的獻(xiàn)身精神以及高度的敬業(yè)精神，為學(xué)生們樹立了良好的風(fēng)范，也是我今后所追求的目標(biāo). 參考文獻(xiàn)1王品超.高等代數(shù)新方法M.山東:山東教育出版社.19892張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用M.北京：清華大學(xué)出版社.20043張賢科,許甫華.高等代數(shù)學(xué)M.北京:清華大學(xué)出版社.19984北京大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等代數(shù)M.北京：北京大學(xué)出版社.19785王仁發(fā).代數(shù)與解析幾何M.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社.19986謝邦杰，線性代數(shù)M.第1版，人民教育出版社.19787唐盛明.社會(huì)科學(xué)研究方法新解.上海：上海社會(huì)科學(xué)院出版社.20038李明斐，盧小君.勝任力與勝任力模型構(gòu)建方法研究.大連：大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版）.20049徐仲、張凱院.高等代數(shù)考研教案M.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社.200610王萼芳，石生明.高等代數(shù).北京：北京大學(xué)出版社.200311錢吉林.高等代數(shù)解題精粹M.北京：科學(xué)出版社.200312北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編.高等代數(shù)（第三版）M.高等教育出版社.200713林瑾瑜.分塊矩陣的若干性質(zhì)及其在行列式中的應(yīng)用J.廣東廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào).200614嚴(yán)坤妹.分塊矩陣的應(yīng)用J.福建廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào).200615俞正光，王飛燕，葉