八年級數學培優(yōu)資料版全年級全章節(jié)培優(yōu)-保證經典

1、第01講 全等三角形的性質與判定考點·方法·破譯1能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同；2全等三角形性質：全等三角形對應邊相等，對應角相等；全等三角形對應高、角平分線、中線相等；全等三角形對應周長相等，面積相等；3全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，對于兩個直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，還有HL法；4證明兩個三角形全等的關鍵，就是證明兩個三角形滿足判定方法中的三個條件，具體分析步驟是先找出兩個三角形中相等的邊或角，再根據選定的判定方法，確定還需要證明哪些相等的邊或角，再設法對它們進行證明；5證明兩個三角形全等，根據

2、條件，有時能直接進行證明，有時要證的兩個三角形并不全等，這時需要添加輔助線構造全等三角形，構造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋轉、等倍延長線中線、截取等等.經典·考題·賞析【例】如圖，ABEFDC,ABC90°,ABCD，那么圖中有全等三角形（ ）BACDEFA5對B4對C3對D2對【解法指導】從題設題設條件出發(fā)，首先找到比較明顯的一對全等三角形，并由此推出結論作為下面有用的條件，從而推出第二對，第三對全等三角形.這種逐步推進的方法常用到.解：ABEFDC,ABC90. DCB90. 在ABC和DCB中 ABCDCB（SAS ） AD在ABE和DCE中 AB

3、EDCE BECE在RtEFB和RtEFC中 RtEFBRtEFC（HL）故選C.【變式題組】01（天津）下列判斷中錯誤的是（ ）A有兩角和一邊對應相等的兩個三角形全等B有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等C有兩邊和其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等D有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等AFCEDB02（麗水）已知命題：如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，且ADBE，AFDE，則ABCDEF.判斷這個命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請給出證明；如果是假命題，請?zhí)砑右粋€適當條件使它成為真命題，并加以證明.03(上海)已知線段AC與BD相交于點O, 連接AB、DC，E為OB的中點，F為

4、OC的中點，連接EF（如圖所示）.添加條件AD，OEFOFE，求證：ABDC；ABCDOFE分別將“AD”記為，“OEFOFE”記為，“ABDC”記為，添加、，以為結論構成命題1；添加條件、，以為結論構成命題2.命題1是_命題，命題2是_命題（選擇“真”或“假”填入空格）.【例】已知ABDC，AEDF，CFFB. 求證：AFDE.【解法指導】想證AFDE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在AFB和AEF中，而DE在CDE和DEF中，因而只需證明ABFDCE或AEFDFE即可.然后再根據已知條件找出證明它們全等的條件.ACEFBD證明：FBCE FBEFCEEF，即BECF在ABE和DCF

5、中, ABEDCF（SSS） BC在ABF和DCE中, ABFDCE AFDE【變式題組】01如圖，AD、BE是銳角ABC的高，相交于點O，若BOAC，BC7，CD2，則AO的長為（ ）A2B3C4D5AE第1題圖ABCDEBCDO第2題圖02.如圖，在ABC中，ABAC，BAC90°，AE是過A點的一條直線，AECE于E，BDAE于D，DE4cm，CE2cm，則BD_.03（北京）已知：如圖，在ABC中， ACB90°，CDAB于點D，點E在AC上，CEBC，過點E作AC的垂線，交CD的延長線于點F. 求證：ABFC.AFECBD【例】如圖，ABCDEF，將ABC和DEF

6、的頂點B和頂點E重合，把DEF繞點B順時針方向旋轉，這時AC與DF相交于點O.當DEF旋轉至如圖位置，點B（E）、C、D在同一直線上時，AFD與DCA的數量關系是_;當DEF繼續(xù)旋轉至如圖位置時，中的結論成立嗎？請說明理由_.B（E）OCF圖FABCDEFAB(E)CDDA圖圖【解法指導】AFDDCAAFDDCA理由如下：由ABCDEF，ABDE，BCEF, ABCDEF, BACEDF ABCFBCDEFCBF, ABFDEC在ABF和DEC中, ABFDEC BAFDEC BACBAFEDFEDC, FACCDF AODFACAFDCDFDCAAFDDCA【變式題組】01（紹興）如圖，D、

7、E分別為ABC的AC、BC邊的中點，將此三角形沿DE折疊，使點C落在AB邊上的點P處.若CDE48°，則APD等于（ ）A42°B48°C52°D58°02如圖，RtABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到DEF，下列結論中錯誤的是（ ）AABCDEFBDEF90°C ACDF DECCFEFBABPDEC第1題圖ACDG第2題圖03一張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩種三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下圖形式，使點B、F、C、D在同一條直線上.求證：ABED；若PBBC，找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，并證明.BFACEN

8、MPDDACBFE【例】（第21屆江蘇競賽試題）已知，如圖，BD、CE分別是ABC的邊A C和AB邊上的高，點P在BD的延長線，BPAC，點Q在CE上，CQAB. 求證： APAQ；APAQ【解法指導】證明線段或角相等，也就是證線段或角所在的兩三角形全等.經觀察，證APAQ,也就是證APD和AQE，或APB和QAC全等,由已知條件BPAC，CQAB，應該證APBQAC，已具備兩組邊對應相等，于是再證夾角12即可. 證APAQ，即證PAQ90°，PADQAC90°就可以.21ABCPQEFD證明：BD、CE分別是ABC的兩邊上的高，BDACEA90°, 1BAD90

9、°，2BAD90°，12. 在APB和QAC中, APBQAC，APAQAPBQAC，PCAQ, PPAD90° CAQPAD90°，APAQ【變式題組】ABCDFE01如圖，已知ABAE，BE，BAED，點F是CD的中點，求證：AFCD.02（湖州市競賽試題）如圖，在一個房間內有一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為am，此時梯子的傾斜角為75°，如果梯子底端不動，頂端靠在對面的墻上，此時梯子頂端距地面的垂直距離NB為bm，梯子傾斜角為45°，這間房子的寬度是（ ）ABCbmDamAECBA75°C45

10、6;BNM第2題圖第3題圖D03如圖，已知五邊形ABCDE中， ABCAED90°，ABCDAEBCDE2，則五邊形ABCDE的面積為_演練鞏固·反饋提高01（海南）已知圖中的兩個三角形全等，則度數是（ ）A72°B60°C58°D50°第3題圖第1題圖CAODBP第2題圖ACA/BB/acca50°b72°58°02如圖，ACBA/C/B/， BCB/30°，則ACA/的度數是（ ）A20°B30°C35°D40°03（牡丹江）尺規(guī)作圖作AOB的平分線方

11、法如下：以O為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于C、D，再分別以點C、D為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線OP，由作法得OCPODP的根據是（ ）ASASBASACAASDSSS04（江西）如圖，已知ABAD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定ABCADC的是（ ）A. CBCD B.BACDACC. BCADCA D.BD90°E21NABDC第5題圖ABCDEABCD第4題圖第6題圖M05有兩塊不同大小的等腰直角三角板ABC和BDE，將它們的一個銳角頂點放在一起，將它們的一個銳角頂點放在一起，如圖，當A、B、D不在一條直線上時，下面的結論不正確的是（ ）A. AB

12、ECBD B. ABECBDC. ABCEBD45° D. ACBE06如圖，ABC和共頂點A，ABAE，12，BE. BC交AD于M，DE交AC于N，小華說：“一定有ABCAED.”小明說：“ABMAEN.”那么（ ）A. 小華、小明都對 B. 小華、小明都不對C. 小華對、小明不對 D.小華不對、小明對07如圖，已知ACEC, BCCD, ABED,如果BCA119°，ACD98°,那么ECA的度數是_.08如圖，ABCADE，BC延長線交DE于F，B25°,ACB105°，DAC10°，則DFB的度數為_.09如圖，在RtABC

13、中，C90°, DEAB于D, BCBD. AC3，那么AEDE_第10題圖ABCDE第9題圖EABCDABCDEFOCAEBD第7題圖第8題圖10如圖，BAAC, CDAB. BCDE，且BCDE，若AB2, CD6，則AE_.11如圖, ABCD, ABCD. BC12cm，同時有P、Q兩只螞蟻從點C出發(fā)，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行時間t為多少時，APBQDC. DAC.QP.BDBACEF12如圖, ABC中，BCA90°，ACBC，AE是BC邊上的中線，過C作CFAE，垂足為F，過B作BDBC交CF的延長線于D.求

14、證：AECD；若AC12cm, 求BD的長. AEBFDC13（吉林）如圖，ABAC，ADBC于點D，AD等于AE，AB平分DAE交DE于點F, 請你寫出圖中三對全等三角形，并選取其中一對加以證明.14如圖，將等腰直角三角板ABC的直角頂點C放在直線l上，從另兩個頂點A、B分別作l的垂線，垂足分別為D、E.BDEClA找出圖中的全等三角形，并加以證明；若DEa，求梯形DABE的面積.（溫馨提示：補形法）AEFBDC15如圖，ACBC, ADBD, ADBC，CEAB，DFAB，垂足分別是E、F.求證：CEDF.16我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等，那么在什么情況

15、下，它們會全等？閱讀與證明：對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等；對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證明它們全等（證明略）；對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下；已知ABC、A1B1C1均為銳角三角形，ABA1B1，BCB1C1，CC1.求證：ABCA1B1C1.（請你將下列證明過程補充完整）ABCDA1B1C1D1歸納與敘述：由可得一個正確結論，請你寫出這個結論.培優(yōu)升級·奧賽檢測01如圖，在ABC中，ABAC，E、F分別是AB、AC上的點，且AEAF，BF、CE相交于點O，連接AO并延長交BC于點D，則圖中全等三角形有（ ）A4對B5對C6對D7對F第6

16、題圖21ABCENM321ADEBCFADECOAEOBFCD第1題圖B第2題圖第3題圖02如圖，在ABC中，ABAC，OCOD，下列結論中：AB DECE，連接DE, 則OE平分AOB，正確的是（ ）ABCD03如圖，A在DE上，F在AB上，且ACCE , 1=2=3, 則DE的長等于（）ADC B. BC C. AB D.AEAC04下面有四個命題，其中真命題是（ ）A兩個三角形有兩邊及一角對應相等，這兩個三角形全等B兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等C. 有一角和一邊對應相等的兩個直角三角形全等D. 兩邊和第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等05在ABC中，高AD和BE所在直線

17、相交于H點,且BHAC，則ABC_.06如圖，EB交AC于點M, 交FC于點D, AB交FC于點N，EF90°，BC, AEAF. 給出下列結論：12；BECF; ACNABM; CDDB，其中正確的結論有_.（填序號）07如圖，AD為在ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于點F,且有BFAC，FDCD.求證：BEAC；AEFCDB若把條件“BFAC”和結論“BEAC”互換，這個命題成立嗎？證明你的判定.08如圖，D為在ABC的邊BC上一點，且CDAB，BDABAD，AE是ABD的中線.求證：AC2AE. ABEDC09如圖，在凸四邊形ABCD中，E為ACD內一點，滿足ACAD，A

18、BAE, BAEBCE90°, BACEAD.求證：CED90°. AEBDC10（沈陽）將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖方式擺放，其中ACBDEB90°，AD30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F.求證：AFEFDE;若將圖中DBE繞點B順時針方向旋轉角，且0°60°，其他條件不變，請在圖中畫出變換后的圖形，并直接寫出（1）中結論是否仍然成立；若將圖中DBE繞點B按順時針方向旋轉角，且60°180°,其他條件不變，如圖你認為（1）中結論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出此時

19、AF、EF與DE之間的關系，并說明AFDFCBEDACBEACB圖圖圖理由。ABCDE11（嵊州市高中提前招生考試）閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：在ABC中，AB5，AC13, 求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DEAD，再連接BE，把AB、AC、2AD集中在ABE中，利用三角形的三邊關系可得2AE8，則1AD4.感悟：解題時，條件中若出現“中點”“中線”等條件，可以考慮中線加倍，構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中.ABEFCD問題解決：受到的啟發(fā)，請你證明下面命題：如圖，在ABC

20、中，D是BC邊上的中點，DEDF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF.求證：BECFEF；AEBFCD問題拓展：如圖，在四邊形ABDC中，BC180°，DBDC，BDC=120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明. 12（北京）如圖，已知ABC.請你在BC邊上分別取兩點D、E（BC的中點除外），連接AD、AE，寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應條件，并表示出面積相等的三角形；CBA請你根據使成立的相應條件，證明：ABACADAE.ADEGCHB13如圖，

21、ABAD，ACAE，BADCAE180°. AHAH于H，HA的延長線交DE于G. 求證：GDGE.14已知，四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，BABC，ABC120°，MBN60°, MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD、DC（或它們的延長線）于E、F.當MBN繞B點旋轉到AECF時，如圖1，易證：AECFEF；（不需證明）當MBN繞B點旋轉到AECF時，如圖2和圖3中這兩種情況下，上述結論是否成立? 若成立，請給予證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.DABCFNEMD圖1ABCFNEMDABCFNEM圖2圖3第

22、02講 角平分線的性質與判定考點·方法·破譯1角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.2角平分線的判定定理：角的內角到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.3有角平分線時常常通過下列幾種情況構造全等三角形. 經典·考題·賞析【例】如圖，已知OD平分AOB，在OA、OB邊上截取OAOB，PMBD，PNAD.求證：PMPN【解法指導】由于PMBD，PNAD.欲證PMPN只需34，證34，只需3和4所在的OBD與OAD全等即可.證明：OD平分AOB 12 在OBD與OAD中， OBDOAD 34 PMBD，PNAD 所以PMPN【變式題組】01如

23、圖，CP、BP分別平分ABC的外角BCM、CBN.求證：點P在BAC的平分線上.02如圖，BD平分ABC，ABBC，點P是BD延長線上的一點，PMAD，PNCD.求證：PMPN【例】（天津競賽題）如圖，已知四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于點E，且AE(ABAD)，如果D120°，求B的度數【解法指導】由已知12，CEAB，聯(lián)想到可作CFAD于F，得CECF，AFAE，又由AE(ABAD)得DFEB，于是可證CFDCEB，則BCDF60°.或者在AE上截取AMAD從而構造全等三角形. 解：過點C作CFAD于點F.AC平分BAD，CEAB，點C是AC上一點，CECF

24、 在RtCFA和RtCEA中， RtACFRtACE AFAE 又AE(AEBEAFDF)，2AEAEAFBEDF，BEDF CFAD，CEAB，FCEB90° 在CEB和CFD中，CEBCFD BCDF 又ADC120°，CDF60°，即B60°.【變式題組】01如圖，在ABC中，CD平分ACB，AC5，BC3.求 02(河北競賽)在四邊形ABCD中，已知ABa，ADb.且BCDC，對角線AC平分BAD，問a與b的大小符合什么條件時，有BD180°，請畫圖并證明你的結論. 【例】如圖，在ABC中，BAC90°,ABAC，BE平分AB

25、C，CEBE.求證：CEBD【解法指導】由于BE平分ABC，因而可以考慮過點D作BC的垂線或延長CE從而構造全等三角形.證明：延長CE交BA的延長線于F，12，BEBE，BEFBECBEFBEC(ASA) CEEF，CECF 1F3F90°，13在ABD和ACF中，ABDACF BDCF CEBD【變式題組】01如圖，已知ACBD，EA、EB分別平分CAB、DBA，CD過點E，求證：ABACBD. 02如圖，在ABC中，B60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F.請你判斷FE和FD之間的數量關系，并說明理由；求證：AECDAC.演練鞏固·

26、;反饋提高01如圖，在RtABC中，C90°，BD平分ABC交AC于D，若CDn，ABm，則ABD的面積是（ ）AmnBmnC mnD2 mn02如圖，已知ABAC，BECE，下面四個結論：BPCP；ADBC；AE平分BAC；PBCPCB.其中正確的結論個數有（ ）個A1B2C3D403如圖，在ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PRAB，PSAC，垂足分別是R、S.若AQPQ，PRPS，下列結論：ASAR；PQAR；BRPCSP.其中正確的是（ ）ABCD04如圖，ABC中，ABAC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，垂足分別是E、F，則下列四個結論中：AD上任意一點到B、

27、C的距離相等；AD上任意一點到AB、AC的距離相等；ADBC且BDCD；BDECDF.其中正確的是（ ）ABCD05如圖，在RtABC中，ACB90°，CAB30°，ACB的平分線與ABC的外角平分線交于E點，則AEB的度數為（ ）A50°B45°C40°D35°06如圖，P是ABC內一點，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，且PDPEPF，給出下列結論：ADAF；ABECACBE；BCCFABAF；點P是ABC三條角平分線的交點.其中正確的序號是（ ）ABCD07如圖，點P是ABC兩個外角平分線的交點，則下列說法中不正確的是（

28、 ）A點P到ABC三邊的距離相等B點P在ABC的平分線上CP與B的關系是：PB90°DP與B的關系是：BP08如圖，BD平分ABC，CD平分ACE，BD與CD相交于D.給出下列結論：點D到AB、AC的距離相等；BAC2BDC；DADC；DB平分ADC.其中正確的個數是（ ）A1個B2個C3個D4個09如圖，ABC中，C90°AD是ABC的角平分線，DEAB于E，下列結論中：AD平分CDE；BACBDE； DE平分ADB；ABACBE.其中正確的個數有（ ）A3個B2個C1個D4個10如圖，已知BQ是ABC的內角平分線，CQ是ACB的外角平分線，由Q出發(fā)，作點Q到BC、AC和

29、AB的垂線QM、QN和QK，垂足分別為M、N、K，則QM、QN、QK的關系是_11如圖，AD是BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F，且DBDC.求證：BECF12如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，DEAB于點E，DFAC于點F.求證：ADEF.培優(yōu)升級·奧賽檢測01如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有（ ）A一處B二處C三處D四處 02已知RtABC中，C90°，AD平分BAC交BC于D，若BC32，且BD:CD9:7，則D到AB邊的距離為（ ）A18B16C14D12 03如圖，A

30、BC中，C90°，AD是ABC的平分線，有一個動點P從A向B運動.已知：DC3cm，DB4cm，AD8cm.DP的長為x(cm)，那么x的范圍是_04如圖，已知ABCD，PEAB，PFBD，PGCD，垂足分別為E、F、G，且PFPGPE，則BPD_05如圖，已知ABCD，O為CAB、ACD的平分線的交點，OEAC，且OE2，則兩平行線AB、CD間的距離等于_06如圖，AD平分BAC，EFAD，垂足為P，EF的延長線于BC的延長線相交于點G.求證：G(ACBB)07如圖,在ABC中,ABAC,AD是BAC的平分線,P為AC上任意一點.求證:ABACDBDC08如圖，在ABC中，BAC6

31、0°，ACB40°，P、Q分別在BC、AC上，并且AP、BQ分別為BAC、ABC的角平分線上.求證：BQAQABBP第3講 軸對稱及軸對稱變換考點·方法·破譯1軸對稱及其性質把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線成軸對稱，這條直線叫對稱軸.軸對稱的兩個圖形有如下性質：關于某直線對稱的兩個圖形是全等形；對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.2線段垂直平分線線段垂直平分線也叫線段中垂線，它反映了與線段的兩種關系：位置關系垂直；

32、數量關系平分.性質定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.判定定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.3當已知條件中出現了等腰三角形、角平分線、高（或垂線）、或求幾條折線段的最小值等情況時，通?？紤]作軸對稱變換，以“補齊”圖形，集中條件.經典·考題·賞析【例】（蘭州）如圖所示，將一張正方形紙片對折兩次，然后在上面打3個洞，則紙片展開后是（ ）【解法指導】對折問題即是軸對稱問題，折痕就是對稱軸.故選D.【變式題組】01將正方形紙片兩次對折，并剪出一個菱形小洞后鋪平，得到的圖形是（ ）02（荊州）如圖，將矩形紙片ABCD沿虛線EF折疊，使

33、點A落在點G上，點D落在點H上；然后再沿虛線GH折疊，使B落在點E上，點C落在點F上，疊完后，剪一個直徑在BC上的半圓，再展開，則展開后的圖形為（ ）【例2】（襄樊）如圖，在邊長為1的正方形網格中，將ABC向右平移兩個單位長度得到ABC，則與點B關于x軸對稱的點的坐標是（ ）A（0，1） B（1，1） C（2，1） D（1，1）【解法指導】在ABC中，點B的坐標為（1，1），將ABC向右平移兩個單位長度得到ABC，由點的坐標平移規(guī)律可得B（12，1），即B（1，1）.由關于x軸對稱的點的坐標的規(guī)律可得點B關于x軸對稱的點的坐標是（1，1），故應選D.【變式題組】01若點P（2，3）與點Q（a，

34、b）關于x軸對稱，則a、b的值分別是（ ）A2，3 B2，3 C2，3 D2，302在直角坐標系中，已知點P（3，2），點Q是點P關于x軸的對稱點，將點Q向右平移4個單位得到點R，則點R的坐標是_.03（荊州）已知點P（a1，2a1）關于x軸的對稱點在第一象限，則a的取值范圍為_.【例3】如圖，將一個直角三角形紙片ABC（ACB90°），沿線段CD折疊，使點B落在B1處，若ACB170°，則ACD（ ）A30° B20° C15° D10°【解法指導】由折疊知BCDB1CD.設ACDx，則BCDB1CDACB1ACD70°x

35、.又ACDBCDACB，即x（70°x）90°，故x10°.故選D.【變式題組】01（東營）如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在點D、C的位置.若EFB65°，則AED等于（ ）A70° B65° C50° D25°02如圖，ABC中，A30°，以BE為邊，將此三角形對折，其次，又以BA為邊，再一次對折，C點落在BE上，此時CDB82°，則原三角形中B_.03（江蘇）觀察與發(fā)現：小明將三角形紙片ABC（ABAC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片（如圖

36、）；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到AEF（如圖）.小明認為AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由.實踐與運用：將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE（如圖）；再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D處，折痕為EG（如圖）；再展平紙片（如圖）.求圖中的大小.【例4】如圖，在ABC中，AD為BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線，E為垂足，EF交BC的延長線于點F，求證：BCAF【解法指導】EF是AD的中垂線，則可得AEFDEF，EAFEDF從而利用角平分線的定義與三角形的外角轉化即可證明：EF是AD的中垂線，AEDE

37、，AEFDEF，EFEF，AEFDEF，243，3B1，24B1，12，B4【變式題組】01如圖，點D在ABC的BC邊上，且BCBDAD，則點D在_的垂直平分線上02如圖，ABC中，ABC90°，C15°，DEAC于E，且AEEC，若AB3cm，則DC_cm03如圖，ABC中，BAC126°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，則EAG_04.ABC中，ABAC，AB邊的垂直平分線交AC于F，若AB12cm，BCF的周長為20cm，則ABC的周長是_cm【例5】（眉山）如圖，在3×3的正方形格點圖中，有格點ABC和DEF，且ABC和DEF關于某直線成

38、軸對稱，請在下面的備用圖中畫出所有這樣的DEF【解法指導】在正方形格點圖中，如果已知條件中沒有給對稱軸，在找對稱軸時，通常找圖案居中的水平直線、居中的豎直直線或者斜線作為對稱軸若以圖案居中的水平直線為對稱軸，所作的DEF如圖所示；若以圖案居中的豎直直線為對稱軸，所作的DEF如圖所示；若以圖案居中的斜線為對稱軸，所作的DEF如圖所示【變式題組】01（泰州）如圖，在2×2的正方形格點圖中，有一個以格點為頂點的ABC，請你找出格點圖中所有與ABC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形，這樣的三角形共有_個02（紹興）如圖甲，正方形被劃分成16個 全等的三角形，將其中若干個三角形涂黑，且滿足下列條

39、件：涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；涂黑部分成軸對稱圖形如圖乙是一種涂法，請在圖13中分別設計另外三種涂法（在所設計的圖案中，若涂黑部分全等，則認為是同一種不同涂法，如圖乙與圖丙）【例6】如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，若牧童從A處出發(fā)牽牛到河岸CD處飲水后回家，試問在何處飲水，所求路程最短？【解法指導】所求問題可轉化為CD上取一點M，使其AMBM為最?。槐绢}利用軸對稱知識進行解答解:先作點A關于直線CD的對稱點A，連接AB交CD于點M，則點M為所求，下面證明此時的AMBM最小證明：在CD上任取與M不重合的點M，AA關于CD對稱，CD為線段AA的中垂線，AMAM，MAM,在AMB中，有A

40、BAMBM，AMBMAMBM，AMBMAMBM，即AMBM最小【變式題組】01（山西）設直線l是一條河，P、Q兩地相距8千米，P、Q兩地到l地距離分別為2千米、5千米，欲在l上的某點M處修建一個水泵站向P、Q兩地供水現在如下四種鋪設管道方案，圖中的實線表示輔設的管道，則鋪設的管道最短的是（ ）02若點A、B是銳角MON內兩點，請在OM、ON上確定點C、點D，使四邊形ABCD周長最小，寫出你作圖的主要步驟并標明你確定的點演練鞏固·反饋提高01（黃岡）如圖，ABC與ABC關于直線l對稱，且A78°，C48°，則B的度數是（ ）A48° B54° C

41、74° D78°02（泰州）如圖，把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB的中點O為頂點把平角AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以O為頂點的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（ ）A正三角形 B正方形 C正五邊形 D正六邊形03圖1是四邊形紙片ABCD，其中B120°，D50°，若將其右下角向內折出PCR，恰使CPAB，RCAD，如圖2所示，則C（ ）A80° B85° C95° D110°04如圖，陰影部分組成的圖案既是關于x軸成軸對稱的圖形又是關于y軸成

42、軸對稱的圖形，若點A的坐標是（1，3），則點M和點N的坐標分別是（ ）AM（1，3），N（1，3） BM（1，3），N（1，3） CM（1，3），N（1，3） DM（1，3），N（1，3）05點P關于x軸對稱的對稱點P的坐標是（3，5），則點P關于y軸對稱的對稱點的坐標是（ ）A（3，5） B（5，3） C（3，5） D（5，3）06已知M（1a，2a2）關于y軸對稱的點在第二象限，則a的取值范圍是（ ）A1a1 B1a1 Ca1 Da107（杭州）如圖，鏡子中號碼的實際號碼是_08（貴陽）如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，則圖中陰影部分的面積為_cm2.09已知點A（2a3b，2）和B（8

43、，3a2b）關于x軸對稱，則ab_.10如圖，在ABC中，OE、OF分別是AB、AC中垂線，且ABO20°，ABC45°，求BAC和ACB的度數11如圖，C、D、E、F是一個長方形臺球桌的4個頂點，A、B是桌面上的兩個球，怎樣擊打A球，才能使A球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠撞擊B球？請畫出A球經過的路線，并寫出作法12如圖，P為ABC的平分線與AC的垂直平分線的交點，PMBC于M，PNBA的延長線于N求證：ANMC13（荊州）有如圖“”的8張紙條，用每4張拼成一個正方形圖案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形僅為2個 ，且使每個正方形圖案都是軸對稱圖形，在網格中畫

44、出你拼成的圖（畫出的兩個圖案不能全等）培優(yōu)升級·奧賽檢測01（浙江競賽試題）如圖，直線l1與直線l2相交，60°，點P在內（不在l1l2上）小明用下面的方法作P的對稱點：先以l1為對稱軸作點P關于l1的對稱點P1,再以l2為對稱軸作P1關于l2的對稱點P2，然后再以l1為對稱軸作P2關于l1的對稱點P3，以l2為對稱軸作P3關于l2的對稱點P4，如此繼續(xù)，得到一系列P1、P2、P3Pn與P重合，則n的最小值是（ ）A5 B6 C7 D802在平面直角坐標系中，直線l過點M（3，0），且平行于y軸如果ABC三個頂點的坐標分別是A（2，0），B（1，0），C（1，2），ABC關

45、于y軸的對稱圖形A1B1C1，A1B1C1關于直線l的對稱圖形是A2B2C2，寫出A2B2C2的三個頂點的坐標；如果點P的坐標是（a，0），其中a0，點P關于y軸的對稱點是點P1，點P1關于直線l的對稱點是P2，求PP2的長03（荊州）某住宅小區(qū)擬栽種12棵風景樹，若想栽成6行，每行4棵，且6行樹所處位置連成線后能組成精美的對稱圖案，請你仿照舉例在下面方框中再設計兩種不同的栽樹方案04（宜昌）已知：如圖，AF平分BAC，BCAF，垂足為E，點D與點A關于點E對稱，PB分別與線段CF、AF相交于P、M求證：ABCD；若BAC2MPC，請你判斷F與MCD的數量關系，并說明理由05在ABC中，BAC

46、90°，點A關于BC邊的對稱點為A，點B關于AC邊的對稱點為B，點C關于AB邊的對稱點為C，若SABC1，求SABC06（湖州市競賽試題）小王同學在小組數學活動中，給本小組出了這樣一道“對稱跳棋”題：如圖，在作業(yè)本上畫一條直線l，在直線l兩邊各放一粒圍棋子A、B，使線段AB長a厘米，并關于直線l對稱，在圖中P1處有一粒跳棋子，P1距A點b厘米、與直線l的距離C厘米，按以下程序起跳：第1次，從P1點以A為對稱中心跳至P2點；第2次，從P2點以l為對稱軸跳至P3點；第3次，從P3點以B為對稱中心跳至P4點；第4次，從P4以l為對稱軸跳至P1點；畫出跳棋子這4次跳過的路徑并標注出各點字母；

47、（畫圖工具不限）棋子按上述程序跳躍2011次后停下，假設a8，b6，c3，計算這時它與A的距離是多少？07（湖州）如圖，已知平面直角坐標系，A、B兩點的坐標分別為A（2，3），B（4，1）若P（p，0）是x軸上的一個動點，則當p_時，PAB的周長最短；若C（a，0），D（a3，0）是x軸上的兩個動點，則當a_時 ，四邊形ABCD的周長最短；設M、N分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點M（m，0）、N（0，n），使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出m_，n_（不必寫解答過程）；若不存在，請說明理由第4講 等腰三角形考點·方法·破譯1等腰三角形及其性質有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是軸對稱圖形，因此它的性質有：等腰三角形的兩個底角相等（即等邊對等角）；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即等腰三角形三線合一）2等腰三角形的判定證明一個三角形是等腰三角