初始條件與邊界條件

1、1.2 1.2 初始條件與邊界條件初始條件與邊界條件特定條件特定條件準(zhǔn)確說明對(duì)象的初始狀態(tài)以及邊界上的準(zhǔn)確說明對(duì)象的初始狀態(tài)以及邊界上的約束條件。約束條件。用以說明初始狀態(tài)的條件稱為用以說明初始狀態(tài)的條件稱為“初始條件初始條件”；用以說明邊界上約束情況的條件稱為用以說明邊界上約束情況的條件稱為“邊界條件邊界條件”。偏微分方程偏微分方程特定條件特定條件描述物理現(xiàn)象：描述物理現(xiàn)象：初始條件初始條件弦振動(dòng)問題弦振動(dòng)問題：初始條件是指弦在開始振動(dòng)時(shí)刻的：初始條件是指弦在開始振動(dòng)時(shí)刻的位移和速度。如果以位移和速度。如果以 f(x) 和和 g( (x) ) 分別表示弦的分別表示弦的初位移和初速度，則初始條

2、件可以表達(dá)為初位移和初速度，則初始條件可以表達(dá)為 00|.|ttufxug xt 初始條件用以給出具體物理現(xiàn)象的初始狀態(tài)。初始條件用以給出具體物理現(xiàn)象的初始狀態(tài)。熱傳導(dǎo)問題熱傳導(dǎo)問題：初始條件是指開始傳熱的時(shí)刻物體：初始條件是指開始傳熱的時(shí)刻物體溫度的分布情況。若以溫度的分布情況。若以 f(M) 表示表示 t =0 時(shí)物體內(nèi)時(shí)物體內(nèi)一點(diǎn)一點(diǎn)M的溫度，則熱傳導(dǎo)問題的初始條件可以表的溫度，則熱傳導(dǎo)問題的初始條件可以表示為示為泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程：描述穩(wěn)恒狀態(tài)，與時(shí)：描述穩(wěn)恒狀態(tài)，與時(shí)間無關(guān)，所以不提初始條件。間無關(guān)，所以不提初始條件。 0,|.tu M tf M 不同類型的

3、方程，相應(yīng)初值條件的個(gè)數(shù)不同。不同類型的方程，相應(yīng)初值條件的個(gè)數(shù)不同。 關(guān)于關(guān)于t t的的n n階偏微分方程，要給出階偏微分方程，要給出n n個(gè)初始條件。個(gè)初始條件。 初始條件給出的應(yīng)是整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而初始條件給出的應(yīng)是整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而 非系統(tǒng)中個(gè)別點(diǎn)的初始狀態(tài)。非系統(tǒng)中個(gè)別點(diǎn)的初始狀態(tài)。注意：注意：邊界條件邊界條件邊界條件是給出具體物理現(xiàn)象在邊界上所處的物邊界條件是給出具體物理現(xiàn)象在邊界上所處的物理情況。根據(jù)邊界條件數(shù)學(xué)表達(dá)方式的不同，一理情況。根據(jù)邊界條件數(shù)學(xué)表達(dá)方式的不同，一般把邊界條件分為三類。設(shè)般把邊界條件分為三類。設(shè) u 是未知函數(shù)，是未知函數(shù)，S 為邊界，則分類如下：

4、為邊界，則分類如下：第一類邊界條件第一類邊界條件：直接給出：直接給出 u 在邊界在邊界 S 上的值上的值1.Suf 弦振動(dòng)問題弦振動(dòng)問題：如果弦的兩端是固定的，也就是說：如果弦的兩端是固定的，也就是說端點(diǎn)無位移，則其邊界條件為端點(diǎn)無位移，則其邊界條件為00;0 xx luu 若弦的兩端不是固定的，而是按照規(guī)律若弦的兩端不是固定的，而是按照規(guī)律 在運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng), ,則其邊界條件為則其邊界條件為12( ),( )u tu t120( );( )xx luu tuu t 熱傳導(dǎo)問題熱傳導(dǎo)問題：當(dāng)物體與外界接觸的表面溫度：當(dāng)物體與外界接觸的表面溫度 f(M,t) 已知時(shí)，其邊界條件為已知時(shí)，其邊界條件為

5、(, )Suf M t 第二類邊界條件第二類邊界條件：給出：給出 u 沿沿 S 的外法線方向的的外法線方向的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 2Sufn 弦振動(dòng)問題弦振動(dòng)問題：弦的一端（如：弦的一端（如 x=l）可以在垂直）可以在垂直x軸軸的直線上自由的上下滑動(dòng)，且不受垂直方向的外力，的直線上自由的上下滑動(dòng)，且不受垂直方向的外力，我們稱這種端點(diǎn)為我們稱這種端點(diǎn)為“自由端自由端”。在這一端點(diǎn)，邊界上的張力沿垂直于在這一端點(diǎn)，邊界上的張力沿垂直于x軸的方向的軸的方向的分量為分量為0 0，因此在方程的推導(dǎo)中知，因此在方程的推導(dǎo)中知 , , 即即0 xluTx 0 xxlluxun 當(dāng)該點(diǎn)處的張力沿垂直當(dāng)該點(diǎn)處的張力

6、沿垂直x軸的方向的分量是軸的方向的分量是 t 的已的已知函數(shù)知函數(shù) 時(shí)，有時(shí)，有( ) t ).(tnulx熱傳導(dǎo)問題熱傳導(dǎo)問題：如果物體和周圍介質(zhì)處于絕熱狀態(tài)，：如果物體和周圍介質(zhì)處于絕熱狀態(tài)，即在表面上熱量的流速始終為即在表面上熱量的流速始終為0 0，則由方程推導(dǎo)，則由方程推導(dǎo)過程可知，有邊界條件過程可知，有邊界條件0 .Sun ,SuM tn 當(dāng)物體與外界接觸的表面當(dāng)物體與外界接觸的表面 S 上各單位面積在單位上各單位面積在單位時(shí)間內(nèi)流過的熱量已知時(shí)，由傅立葉定律，在時(shí)間內(nèi)流過的熱量已知時(shí)，由傅立葉定律，在 S 上有上有 ，這表明溫度沿外法線方向的方，這表明溫度沿外法線方向的方向?qū)?shù)是已

7、知的，故邊界條件可以表示為向?qū)?shù)是已知的，故邊界條件可以表示為dQukdSdtn 第三類邊界條件第三類邊界條件：給出：給出 u 以及以及 的線性組合的線性組合在邊界的值，即在邊界的值，即un 3Suufn 弦振動(dòng)問題弦振動(dòng)問題：當(dāng)端點(diǎn)：當(dāng)端點(diǎn) x=l 被彈性支撐所支承，設(shè)被彈性支撐所支承，設(shè)彈性支撐原來位置在彈性支撐原來位置在 u=0，則，則 表示彈性支撐表示彈性支撐的應(yīng)變。的應(yīng)變。x lu 由由HookeHooke定律知，在定律知，在 x=l 端張力沿位移方向的分量端張力沿位移方向的分量 應(yīng)等于應(yīng)等于 , ,即有即有xlxluTk ux 0,x luux 其中非負(fù)常數(shù)其中非負(fù)常數(shù) k 表示彈

8、性體的倔強(qiáng)系數(shù)表示彈性體的倔強(qiáng)系數(shù), ,/.k T 熱傳導(dǎo)問題熱傳導(dǎo)問題：如果物體內(nèi)部通過邊界：如果物體內(nèi)部通過邊界S S 與周圍的與周圍的介質(zhì)有熱量交換，這時(shí)能測(cè)量到物體與接觸處的介質(zhì)有熱量交換，這時(shí)能測(cè)量到物體與接觸處的介質(zhì)的溫度介質(zhì)的溫度 。通常情形下，。通常情形下， 與物體在表面與物體在表面S S上上的溫度的溫度 u 不相同。根據(jù)熱學(xué)中的牛頓實(shí)驗(yàn)定律，不相同。根據(jù)熱學(xué)中的牛頓實(shí)驗(yàn)定律，物體從一介質(zhì)流入另一介質(zhì)的熱量與兩個(gè)介質(zhì)間物體從一介質(zhì)流入另一介質(zhì)的熱量與兩個(gè)介質(zhì)間的溫度差成正比，即的溫度差成正比，即 ，其中常，其中常數(shù)數(shù) 表示兩種介質(zhì)之間的熱交換系數(shù)。表示兩種介質(zhì)之間的熱交換系數(shù)。

9、1u1u1()dQh uu dSdt 0h 在物體內(nèi)部任意取一個(gè)無限貼近在物體內(nèi)部任意取一個(gè)無限貼近S S 的閉曲面的閉曲面 ，由于在由于在S S 的內(nèi)側(cè)熱量不能積累，所以在的內(nèi)側(cè)熱量不能積累，所以在 上的熱上的熱量流速應(yīng)等于邊界量流速應(yīng)等于邊界S S上的熱量流速。上的熱量流速。 上的熱量流上的熱量流速為速為 ，其中，其中 k 為熱傳導(dǎo)系數(shù)為熱傳導(dǎo)系數(shù). . dQukdSdtn 所以當(dāng)物體與外界有熱交換時(shí)，相應(yīng)的邊界條件所以當(dāng)物體與外界有熱交換時(shí)，相應(yīng)的邊界條件為為1() ,SSukh uun 即即1,SSuuun 其中其中/ .h k 在上面給出的邊界條件中，在上面給出的邊界條件中， 都是定

10、都是定義在邊界義在邊界S S上（通常也依賴于上（通常也依賴于t）的已知函數(shù)。）的已知函數(shù)。當(dāng)當(dāng) 時(shí)，相應(yīng)的邊界條件稱為時(shí)，相應(yīng)的邊界條件稱為齊齊次次的，否則稱為的，否則稱為非齊次的非齊次的。 1,2,3ifi 0,1,2,3ifi 注注1注注2 三種邊界條件可用一個(gè)式子表達(dá)：三種邊界條件可用一個(gè)式子表達(dá)：. funuS其中其中0 , 00 , 0 0 , 0第一類邊界條件第一類邊界條件第二類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件第三類邊界條件1.3 1.3 定解問題的提法定解問題的提法初始條件和邊界條件都稱為初始條件和邊界條件都稱為定解條件定解條件。定解問題定解問題是指偏微分方程和相應(yīng)定解條件的

11、結(jié)合體。是指偏微分方程和相應(yīng)定解條件的結(jié)合體。偏微分方程和相應(yīng)初始條件構(gòu)成的定解問題稱為偏微分方程和相應(yīng)初始條件構(gòu)成的定解問題稱為初初值問題值問題或者或者柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)問題問題。 )( )(|)0,( 002xxutxuautxxt )(|)( )(|)0,( 0002xuxxutxuautttxxtt 波方程的Cauchy問題由偏微分方程和相應(yīng)邊界條件構(gòu)成的定解問題稱由偏微分方程和相應(yīng)邊界條件構(gòu)成的定解問題稱為為邊值問題。邊值問題。).,(,),( , 0yxfuyxuLaplace方程的邊值問題由偏微分方程和相應(yīng)的初始條件及邊界條件構(gòu)成由偏微分方程和相應(yīng)的初始條件

12、及邊界條件構(gòu)成的定解問題稱為的定解問題稱為混合問題混合問題。 ), ,()(),( ),(0,),( 0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt 熱傳導(dǎo)方程的混合問題熱傳導(dǎo)方程的混合問題一個(gè)定解問題的一個(gè)定解問題的適定性適定性(Well-posedness(Well-posedness) )包含以包含以下幾個(gè)方面：下幾個(gè)方面：1 1）解的）解的存在性存在性，即所提的定解問題是否有解；，即所提的定解問題是否有解；3 3）解的）解的穩(wěn)定性穩(wěn)定性，即看定解問題的解是否連續(xù)依賴，即看定解問題的解是否連續(xù)依賴定解條件。也就是說，當(dāng)定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，定解條件。也就是說，

13、當(dāng)定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，引起解的變動(dòng)是否足夠小。若是，則稱解是穩(wěn)定的，引起解的變動(dòng)是否足夠小。若是，則稱解是穩(wěn)定的，否則稱解是不穩(wěn)定的。否則稱解是不穩(wěn)定的。2 2）解的）解的唯一性唯一性，即所提的定解問題是否有唯一的，即所提的定解問題是否有唯一的解；解；2220,0;22uuaxlttx ,2 2lll0例例 設(shè)弦的兩端固定于設(shè)弦的兩端固定于x=0 和和x=l，弦的初始位移，弦的初始位移如下圖，初速度為零，求弦滿足的定解問題。如下圖，初速度為零，求弦滿足的定解問題。解：解：,02,000,2lxxuutlttlxxl 0;0uuxxl21110nnnikiikiikiuuABcufx xx fFuyuExuDyuCyxuBxuA 222222一般二階線性偏微分方程（n個(gè)自變量）兩個(gè)自變量二階線性偏微分方程的一般形式 線性方程的疊加原理線性方程的疊加原理稱形如021222221222112xxBcybxbyayxaxaL的符號(hào)為微分算子。 021222221222112xxuuBcyubxubyuayxuaxuauL二階偏微分方程fcuyubxubyuayxuaxua