流體力學(xué)第六章

1、第六章第六章 量綱分析與相似原理量綱分析與相似原理 6-1 單位與量綱單位與量綱 6-2 量綱分析與量綱分析與 定理定理 6-3 流動相似原理流動相似原理6-1 6-1 單位與量綱單位與量綱基本量綱：基本量綱：質(zhì)量、長度、時間、溫度質(zhì)量、長度、時間、溫度量綱：量綱： M、 L、T 、 導(dǎo)出量綱：如導(dǎo)出量綱：如maF 一組獨立量綱一組獨立量綱國際單位制有七個基本量綱國際單位制有七個基本量綱a=1，b=1，c=2F=MaLbTcF=M1L1T-2第六章第六章 量綱分析和相似原理量綱分析和相似原理制定基本量綱的規(guī)則：制定基本量綱的規(guī)則：相互獨立且足以描述物理現(xiàn)象。相互獨立且足以描述物理現(xiàn)象。量綱一致

2、性原理量綱一致性原理量綱分析的瑞利法量綱分析的瑞利法 正確反映客觀規(guī)律的物理方程中，各項正確反映客觀規(guī)律的物理方程中，各項有相同量綱。有相同量綱。 根據(jù)量綱一致性原理，簡化一般的函數(shù)根據(jù)量綱一致性原理，簡化一般的函數(shù)關(guān)系，以指導(dǎo)實驗研究。關(guān)系，以指導(dǎo)實驗研究。6.1 6.1 單位與量綱單位與量綱例例1.1. 已知單位長度圓管的壓強(qiáng)損失與圓管流的密度、已知單位長度圓管的壓強(qiáng)損失與圓管流的密度、粘度、平均速度和圓管直徑、粗糙度有關(guān)。試用簡單粘度、平均速度和圓管直徑、粗糙度有關(guān)。試用簡單的冪次式表達(dá)這一函數(shù)關(guān)系。的冪次式表達(dá)這一函數(shù)關(guān)系。解：解：這一函數(shù)關(guān)系以冪次式表達(dá)為這一函數(shù)關(guān)系以冪次式表達(dá)為V

3、Kdlp根據(jù)量綱一致性原理，方程兩邊有相同的量綱。根據(jù)量綱一致性原理，方程兩邊有相同的量綱。ML1T2L1=L+ LT1 L2T1 ML3F=M1L1T21232221VKdlp 21121VKdlp單位長度圓管的壓強(qiáng)損失單位長度圓管的壓強(qiáng)損失或?qū)懗苫驅(qū)懗蒰Vdldgp2)(Re,2這就是圓管沿程損失的達(dá)西公式這就是圓管沿程損失的達(dá)西公式)()( 2VdddVK例例題題6.1 6.1 單位與量綱單位與量綱物理定律不依賴于單位的選擇物理定律不依賴于單位的選擇當(dāng)當(dāng) Re=104 105，CD 1.2, St 0. 2AVFCDD221VfdSt 6-2 量綱分析與量綱分析與 定理定理A=dL 迎風(fēng)

4、截面面積迎風(fēng)截面面積 f 尾流振蕩頻率尾流振蕩頻率圓柱繞流圓柱繞流阻力系數(shù)和脫渦頻率表示為阻力系數(shù)和脫渦頻率表示為無量綱綜合參數(shù)無量綱綜合參數(shù)第六章第六章 量綱分析和相似原理量綱分析和相似原理CDRe如何確定無量綱如何確定無量綱綜合參數(shù)綜合參數(shù)? ?AVFCDD221圓柱繞流的阻力系數(shù)圓柱繞流的阻力系數(shù)6.2 量綱分析與量綱分析與 定理定理量綱分析的布金漢量綱分析的布金漢定理定理( ( 定理定理) )若某物理問題有若某物理問題有n個變量，滿足函數(shù)關(guān)系個變量，滿足函數(shù)關(guān)系0),.,(321nqqqqf 其中涉及其中涉及m個獨立的基本量綱，個獨立的基本量綱， 則則n個變量可個變量可組成組成n m個

5、獨立的無量綱數(shù)個獨立的無量綱數(shù)這些無量綱數(shù)這些無量綱數(shù)存在函數(shù)關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系0),.,(321mnFmn,.,3211、幾何相似要求有一個長度量綱、幾何相似要求有一個長度量綱2、運動相似要求有一個速度量綱、運動相似要求有一個速度量綱3、加上一個包含質(zhì)量的量綱、加上一個包含質(zhì)量的量綱不可壓流動有三不可壓流動有三個獨立的基本量綱（有多種選擇）個獨立的基本量綱（有多種選擇）：6.2 量綱分析與量綱分析與 定理定理例例2. 已知圓球的流體阻力與圓球直徑已知圓球的流體阻力與圓球直徑d、相對速度、相對速度V、流體動力粘性系數(shù)流體動力粘性系數(shù) 及密度及密度 有關(guān)。試求圓球有關(guān)。試求圓球 阻力阻力FD的的表

6、達(dá)式。表達(dá)式。解解 阻力可表達(dá)為阻力可表達(dá)為),(VdfFD問題涉及的變量數(shù)問題涉及的變量數(shù) n=5基本量綱數(shù)基本量綱數(shù) m= 3無量綱無量綱 的個數(shù)是的個數(shù)是 n m=222211121 ,cbacbaDdVdVF由由 定理有定理有函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系0),(21F應(yīng)用應(yīng)用 定理尋求更簡潔的函數(shù)關(guān)系定理尋求更簡潔的函數(shù)關(guān)系選選 、V、d 作為基本的度量尺度，作為基本的度量尺度， 可表示為可表示為例例題題量綱關(guān)系量綱關(guān)系由量綱一致性由量綱一致性111(L)(LT)(MLMLT :1321cba解出解出Vd2 31112ML TML LT L MLTVdFD222(L)(LT)(MLTML :131

7、12cba221dVFDa1=1, 3a1b1+3c1=1, b1= 2 (1)a2=1, 3a2+b2+c2=1, b1=1 (2)22211121cbacbaDdVdVF(Re)fCD0),(11F例例題題6.2 量綱分析與量綱分析與 定理定理例例3.3.試用試用 定理求直定理求直圓管的壓強(qiáng)差關(guān)系式。已知壓強(qiáng)圓管的壓強(qiáng)差關(guān)系式。已知壓強(qiáng)差與流體的密度差與流體的密度 、粘度、粘度 、彈性模數(shù)、彈性模數(shù)E、平均速度、平均速度V、管徑管徑 d、管長、管長 l、粗糙高度、粗糙高度 、重力、重力g、表面張力、表面張力有關(guān)。有關(guān)。解：解：按題意這一關(guān)系式可表達(dá)為按題意這一關(guān)系式可表達(dá)為),(EgldV

8、fp有有n=10個變量，個變量，m=3個獨立變量個獨立變量77711171, , ,cbacbadVEdVp無量綱無量綱 的個數(shù)是的個數(shù)是 n-m=7，設(shè)為，設(shè)為0),(7654321F，取，取 、V、d例例題題根據(jù)量綱一致性原理確定基本量綱的指數(shù)根據(jù)量綱一致性原理確定基本量綱的指數(shù)) , ,/ , , ,( 212ddlEVdVVdgdVfVp) , ,M , We,Re ,Fr(12ddlfVp不可壓縮圓管流粘性摩擦為主，忽略不可壓縮圓管流粘性摩擦為主，忽略FrFr，WeWe，MMgVdldgp2),Re(2達(dá)西公式達(dá)西公式),Re(32dfdlVp),Re(22ddlfVp6.2 量綱分

9、析與量綱分析與 定理定理例例題題VddVmmmm例例4. 風(fēng)洞試驗預(yù)報聲納傳感器的阻力。實型球殼直徑風(fēng)洞試驗預(yù)報聲納傳感器的阻力。實型球殼直徑d=10m，深水拖曳速度，深水拖曳速度V=0.10 m/s。若模型直徑。若模型直徑dm=1m，求在空氣中模型的速度。若風(fēng)洞試驗的模型阻力為求在空氣中模型的速度。若風(fēng)洞試驗的模型阻力為 6N，試估算實型阻力。氣溫和水溫均為試估算實型阻力。氣溫和水溫均為15 C。解解. . 忽略壓縮性影響，實物與模型都應(yīng)滿足忽略壓縮性影響，實物與模型都應(yīng)滿足由實物與模型的雷諾數(shù)相等得模型速度由實物與模型的雷諾數(shù)相等得模型速度)(22VdfdVFDsmdVdVmmmm/77.

10、12再由阻力系數(shù)相等得到實型阻力的估算值再由阻力系數(shù)相等得到實型阻力的估算值2222mmmmDDdVFdVFNFD9 .29例例題題ppppmmmmdVlV船模的波浪阻力實驗要求弗汝德數(shù)相等船模的波浪阻力實驗要求弗汝德數(shù)相等若模型與實物比尺若模型與實物比尺lm/lp=1/10，則，則10mmmppppmllVVglVFr16. 31pmpmglglVV船模的水池阻力實驗要求雷諾數(shù)相等船模的水池阻力實驗要求雷諾數(shù)相等例例5.5.兩個條件兩個條件互相矛盾互相矛盾! !必須針對具體問題，確定起主要作用的綜合參數(shù)必須針對具體問題，確定起主要作用的綜合參數(shù)6.2 量綱分析與量綱分析與 定理定理例例題題

11、6-3 流動相似原理流動相似原理力學(xué)相似力學(xué)相似 （1 1）幾何相似）幾何相似 （2 2）運動相似）運動相似 （3 3）動力相似）動力相似模型與原型相似的條件模型與原型相似的條件 ？VdRe221VppCpAVFCDD221cuMa第六章第六章 量綱分析和相似原理量綱分析和相似原理一、相似性的概念一、相似性的概念（1 1）幾何相似）幾何相似lmmmmCxxlldd.22)(lmmCllAA用特征長度表示這些比值用特征長度表示這些比值: : d d、L L .實物和模型力學(xué)相似的三個方面：實物和模型力學(xué)相似的三個方面：6.3 流動相似原理流動相似原理（2 2）運動相似）運動相似vmmmmmmCw

12、wvvuutltlVV./tmmCVlVltt/atlmmmmCCClVlVtVtVaa222/特征速度特征速度: :V V 、V V0 0 、 .6.3 流動相似原理流動相似原理（3 3）動力相似）動力相似mmmmmmzzmyymxxmlVlVaaffffffFF/22力多邊形相似，力的比例關(guān)系相等力多邊形相似，力的比例關(guān)系相等 P P6.3 流動相似原理流動相似原理二、二、 物理特征量及力的量級物理特征量及力的量級流場的長度、時間、速度及壓強(qiáng)的特征量流場的長度、時間、速度及壓強(qiáng)的特征量利用物理特征量定義無量綱參數(shù)：利用物理特征量定義無量綱參數(shù)：適當(dāng)?shù)奶卣髁磕軌蛘_地反映適當(dāng)?shù)奶卣髁磕軌蛘_

13、地反映流動現(xiàn)象的特征流動現(xiàn)象的特征6.3 流動相似原理流動相似原理如：翼弦、如：翼弦、直徑直徑 L 來流速度來流速度 V參考壓強(qiáng)參考壓強(qiáng) p0 頻率頻率 f（或（或 L/V）, , , , , , , , , 0*y*xzzxyyvvwxzuvwxyzVVVLLLfffpfffptt fgggp兩個流動力學(xué)相似，則有相同的無量綱綜合參數(shù)兩個流動力學(xué)相似，則有相同的無量綱綜合參數(shù)22mmmmmapLm ap L慣性力與壓力之比相等慣性力與壓力之比相等慣性力與粘性力之比相等慣性力與粘性力之比相等mpllVlpllVl)/(/223223323222/()mLVLLVLVVLlLL2EupVReVL

14、三、動力相似準(zhǔn)則三、動力相似準(zhǔn)則 相似性參數(shù)相似性參數(shù)6.3 流動相似原理流動相似原理 用特征物理量表示各種力的量級，用這些力用特征物理量表示各種力的量級，用這些力的量級比值構(gòu)成相似準(zhǔn)則數(shù)。的量級比值構(gòu)成相似準(zhǔn)則數(shù)。歐拉數(shù)歐拉數(shù)雷諾數(shù)雷諾數(shù)相似準(zhǔn)則數(shù)的確定相似準(zhǔn)則數(shù)的確定1.1. 量綱分析法量綱分析法不可壓縮粘性流動：不可壓縮粘性流動：，V，L，g，p，f 優(yōu)點：適用未知規(guī)律的流動。優(yōu)點：適用未知規(guī)律的流動。 缺點：選準(zhǔn)物理量較難，物理意義不明確。缺點：選準(zhǔn)物理量較難，物理意義不明確。6.3 流動相似原理流動相似原理ReVL雷諾數(shù)VFrLg弗汝德數(shù)02pEuV歐拉數(shù)fLStV斯特努哈數(shù)2.2.

15、 基本方程分析法基本方程分析法 （x 方向方向N-S 方程方程） )(1222222zuyuxuxpfzuwyuvxuutux令令代入得代入得 ReVL慣性力粘性力VFrLg慣性力重力02pEuV壓力慣性力fLStV非定常慣性力對流慣性力()()()()*2*2*2*0 x*22*2*2*2pfL uuuuLgpuuuuvwfVtxyzVVxVLxyz6.3 流動相似原理流動相似原理, , , , , , , , , 0yxz*zxyyuvwxzuvwxyzVVVLLLfffpfffptt fgggp優(yōu)點：導(dǎo)出的相似準(zhǔn)則數(shù)物理意義明確；優(yōu)點：導(dǎo)出的相似準(zhǔn)則數(shù)物理意義明確； 無量綱方程既適用于模

16、型也適用于原型。無量綱方程既適用于模型也適用于原型。四、自?；摹⒆阅；P(guān)于自?；瘏^(qū)實驗關(guān)于自模化區(qū)實驗 設(shè)計模型實驗只要求流動處于同一自?；瘏^(qū)，設(shè)計模型實驗只要求流動處于同一自模化區(qū)， 而不必要求兩個流動的動力相似參數(shù)嚴(yán)格相等。而不必要求兩個流動的動力相似參數(shù)嚴(yán)格相等。 例：例：管道湍流進(jìn)入平方阻力區(qū)，沿程損失系數(shù)管道湍流進(jìn)入平方阻力區(qū)，沿程損失系數(shù) 與與Re無關(guān)；無關(guān)；6.3 流動相似原理流動相似原理)100log(尼古拉茲曲線尼古拉茲曲線log(Re)圓柱繞流圓柱繞流例：例：圓柱繞流圓柱繞流Re=1033 105，CD幾乎不隨幾乎不隨Re變化。變化。例例. 已知直徑已知直徑150mm圓管中的水流速度圓管中的水流速度V=2.0m/s，現(xiàn)以，現(xiàn)以直徑直徑50mm的相似管路進(jìn)行模化以求其阻力損失。問模的相似管路進(jìn)行?；郧笃渥枇p失。問模型中用水和空氣進(jìn)行實驗時應(yīng)具有的速度。型中用水和空氣進(jìn)行實驗時應(yīng)具有的速度。（已知：水（已知：水 =0.01cm2/s，空氣空氣 =0.156cm2/s）解：解：忽略重力和壓縮性的影