全等三角形壓軸題及其詳解

1、全等三角形壓軸題及其詳解第5頁(共40頁)全等三角形壓軸題1.在ABC中，AB=AC/BAC五(0a60),將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60彳馬至IJ線段BD.(1)如圖1,直接寫出/ABD的大小(用含a的式子表示)；(2)如圖2,/BCE=150,/ABE=60,判斷ABE的形狀并力口以證明;(3)在(2)的條件下，連接DE,若/DEC=45,求a的值.【分析】(1)求出/ABC的度數(shù)，即可求出答案;(2)連接AD,CD,ED,根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出BC=BD/DBC=60,求出/ABD=/ EBC=30一二2%且BCD為等邊三角形，證4AB廬AACD,推出/BAD=/CAD=a,求出/BEC=aB

2、AD,證AABMEBC推出AB=BE即可;(3)求出/DCE=90,4DEC為等腰直角三角形，推出DC=CE=B健出/EBC=15,得出方程30-a=15；求出即可.【解答】(1)解：:AB=AC/A=a,/ABC玄ACB吉(180。-/A)=90-a,./ABD=/ABC-/DBG/DBC=60,即 / ABD=30一看a；(2)ABE是等邊三角形，證明：連接AD,CD,ED,線段BC繞B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BD,WJBC=BD/DBC=60,./ABE=60%且 BCD為等邊三角形,丁./ABD=60-/DBE之EBC=30-工在4ABD與4ACD中AB二ACAD二ADBD=CE.AB

3、廬AACD(SSS丁./BAD=/BCE=150, ./BEC=180-(30。-=a)-150。春2BAD：在AABD和AEBC中ZBEC=ZEADZEBC=ZA3DBC=BD.AB廬AEBC(AAS), .AB=BE .ABE是等邊三角形；(3)解：:/BCD=60,/BCE=150, ./DCE=150-600=90vZDEC=45, .DEC等腰直角三角形，DC=CE=BC /BCE=150,./EBC=-(180-150)=15,/EBC=30-ya=15；a=30：【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等三角形的

4、判定定理有SASASAAASSSS全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.2.已知，RtAABC中，/ACB=90,/CAB=30.分別以ARAC為邊，向三角形外作等邊ABD和等邊ACE(1)如圖1,連接線段BECD.求證：BE=CD(2)如圖2,連接DE交AB于點F.求證：F為DE中點.【解答】證明：(1);ABD和4ACE是等邊三角形,AB=ADAC=AE/DAB=/EAC=60,/DABZBAC=/EAC+ZBAC,即/DAC=ZBAE,在ADAC和BAE中，AC=AEZDAC=ZBAE,AD二AB.DAABAE(SAS,DC=BE(2)如圖，作DG/AE,交AB于點G,由

5、/EAC=60,/CAB=30得：/FAEWEAG/CAB=90,丁/DGF玄FAE=90,又./ACB=90,/CAB=30, ./ABC=60,又.ABD為等邊三角形，/DBG=60,DB=AR /DBG之ABC=60,在ADGB和AACB中，ZDGB=ZACB/DBG=/如c,D0=AB.DGAACB(AAS),DG=AC又.AEC為等邊三角形，.二AE=ACDG=AE在ADGF和AEAF中，NDGF=NEAF/DFG=/EFA, .DGHAEAF(AAS),DF=EF即F為DE中點.3.在課外小組活動時，小慧拿來一道題(原問題)和小東、小明交流.原問題：如圖1,已知ABC,/ACB=9

6、0,/ABC=45,分別以ARBC為邊向外作AABD與ABCE且DA=DREB=ECZADB=ZBEC=90,連接DE交AB于點F.探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系.小慧同學(xué)的思路是：過點D作DG，AB于G,構(gòu)造全等三角形，通過推理使問題得解.小東同學(xué)說：我做過一道類似的題目，不同的是/ABC=30,/ADB=/BEC=60度.小明同學(xué)經(jīng)過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況.請你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問題：(1)寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2,若/ABC=30,/ADB=/BEC=60,原問題中的其他條件不變，你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生

7、變化？請寫出你的猜想并加以證明；(3)如圖3,若/ADB=/BEC=ZABC,原問題中的其他條件不變，你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明.DD圖1期國&【分析】本題的解題思路是通過構(gòu)建全等三角形來求解.先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)得到一些隱含的條件，然后根據(jù)所得的條件來證明所構(gòu)建的三角形的全等；再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出DF=E用勺猜想.【解答】解：(1)DF=EF(2)猜想：DF=FE證明：過點D作DG，AB于G,則/DGB=90度.DA=DB/ADB=60度.；AG=BGDBA是等邊三角形.DB=BA/ACB=90,/ABC=30,ac=-ab=

8、bgb-l!全等三角形壓軸題及其詳解在RtADBG和RtABAC中fDE二AE|bg=acRtADB8RtABAC(HL).DG=BCvBE=EC/BEC=60,.EBC是等邊三角形.BC=BE/CBE=6Qg.DG=BE/ABE之ABG/CBE=9Q./DFG玄EFBZDGF=ZEBF在ADFG和AEFB中ZDPG=ZEFB/FGD=/FBEDG=BE.DFAEFB(AAS).DF=EF(3)猜想：DF=FE證法一：過點D作DHAB于H,連接HC,HE,HE交CB于K,貝U/DHB=9Q度.vDA=DB.AH=BH/1=/HDB./ACB=9Q,HC=HB在AHBE和AHCE中HB=HCBE

9、=CEHE二HE .HB/AHCE(SS. /2=/3,/4=/BEH.HK!BC.丁./BKE=9Q./3+/ABC=9Q ./ADB=/BEC=2ABC, ./HDB=/BEH4ABC.丁/DBC玄DBH+/ABC之DBH+ZHDB=90, ./3=/DBH/EBHWEBP+ZABC之EBP+ZBEK=902DHB又HB是公共邊，所以DBHPAEHBDH=BE同理可以證明DHFAEBFDF=EFDD國J邳4.已知，點P是RtAABC斜邊AB上一動點（不與A、B重合），分別過A、B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F,Q為斜邊AB的中點.（1）如圖1,當(dāng)點P與點Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系是

10、AE/BF,QE與QF的數(shù)量關(guān)系是QE=QF:（2）如圖2,當(dāng)點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3,當(dāng)點P在線段BA（或AB）的延長線上時，止匕時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并給予證明.【分析】（1）根據(jù)AAS推出AEZXBFQ,推出AE=BF即可；（2）延長EQ交BF于D,求出AE廬BDQ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EQ=QC）根據(jù)直角三角形斜邊上中點性質(zhì)得出即可；（3）延長EQ交FB于D,求出AE廬BDQ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EQ=QC）根據(jù)直角三角形斜邊上中點性質(zhì)得出即可.A【解答】解：（1）如圖1,圖1第11頁（共40頁）當(dāng)點P與

11、點Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系是AE/BF,QE與QF的數(shù)量關(guān)系是AE=BF理由是：:Q為AB的中點, .AQ=BQvAECQ,BFCQ,AE/BF,/AEQ=ZBFQ=90,在AAEQ和ABFQ中ZAQE=ZBQFZaeq=ZbfoAQ=BQ .AEMBFQQE=QF故答案為：AE/BF,QE=QF(2)圖 2QE=QF證明：延長EQ交BF于D,v由(1)知：AE/BF,丁/AEQ玄BDQ,在AAEQ和ABDQ中(ZAQE=ZBQDAQ=BQ .AEMBDQ,EQ=DQvZBFE=90, QE=QF,（3）當(dāng)點P在線段BA（或AB）的延長線上時，止匕時（2）中的結(jié)論成立,證明：延長EQ交F

12、B于D,如圖3,V由(1)知：AE/BF,丁/AEQ4BDQ,在4AEQ和4BDQ中ZAQE=ZBQDZAEQ=ZBIXiAQ=BQ.AEMABDCi,EQ=DQvZBFE=90,QE=QF5.在ABC中，AB=AC/BAC=60,點E為直線AC上一點，D為直線BC上的一點，且DA=DE當(dāng)點D在線段BC上時，如圖，易證：BD+AB=AE當(dāng)點D在線段CB的延長線上時，如圖、圖，猜想線段BD,AB和AE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明.E【分析】圖中，論：BD+AE=AB彳EM/ABXBCTM,先證明EMC是等邊三角形得CE=CMAE=BM,再證明ABgADEM,彳#D

13、B=EM=MC由止匕可以對稱結(jié)論.圖中，結(jié)論：BD-AE=AB證明方法類似.【解答】解；如圖中，結(jié)論：BD+AE=AB理由：作EM/AB交BC于M,.ABC是等邊三角形，丁/ABC玄C=/BAC=60,AB=BC=AC ./CEM=ZCAB=60,/CME=/CBA=60, .ACME是等邊三角形， .CE=CM=EM/EMC=60, .AE=BM,vDA=DE丁/DAE之DEA丁./BAG/DAB=/C+/EDM,丁./DAB=/EDM,ZABD=180-ZABC=120,/EMD=180-/EMC=120, ./ABD=/DME,在ABD和ADEM中，ZDAB=ZEDJIAD=DE.AB廬

14、ADEM,DB=EM=CMDB+AE=CM+BM=BC=AB如圖中，結(jié)論：BD-AE=AB理由：作EM/AB交BC于M,.ABC是等邊三角形，丁/ABC玄C=ZBAC=60,AB=BC=AC /CEM之CAB=60,/CME=/CBA=60, .ACME是等邊三角形，CE=CM=EM/EMC=/MEC=60, .AE=BM,vDA=DE丁/DAE之DEA/C+/ADC4MEC+ZEDDEM ./ADB=/DEM,ZABD=180-ZABC=120,/EMD=180-/EMC=120, ./ABD=/DME,在ABD和ADEM中，rZADB=Zm，Zabd=Zod,1Al仁DE.AB廬ADME,

15、DB=EM=CMDB-AE=CM-BM=BC=AB全等三角形壓軸題及其詳解圜【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，注意形變證明方法基本不變，屬于中考常考題型.6.如圖1,我們定義：在四邊形ABCD中，若AD=BC且ZADBZBCA=180,貝U把四邊形ABCD叫做互補等對邊四邊形.(1)如圖2,在等腰ABE中，AE=BE四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，求證：/ABD=/BA*/AEB.(2)如圖3,在非等腰4ABE中，若四邊形ABCD仍是互補等對邊四邊形，試問/ABD=/BAC方/AEB是否仍然成立？若成立，請

16、加以證明；若不成立，請說明理由.【分析】(1)根據(jù)等邊對等角可得/EAB=ZEBA根據(jù)四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，可得AD=BC根據(jù)SAS可證4AB必BAG根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/ABD=/BAC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明；(2)仍然成立；理由如下：如圖所示：過點A、B分別作BD的延長線與AC的垂線，垂足分別為G、F,證明AGgABFC；得到AG=BF又AB=BA所以AB8BAF,得至4/ABD=/BAC,根據(jù)/ADB+ZBCA=180,得至4/EDBZECA=180,進而彳4至4/AEBf/DHC=180,由/DHC+/BHC=180,所以/AEB2BHC.因為/BHC之BAG

17、/ABD,/ABD=/BAG所以/ABD之BAC=/AEB.【解答】解：(1).ae=be/EAB4EBA四邊形abcd互補等對邊四邊形,.ad=bc在AABD和ABAC中，AD=BCZDAB=ZCBA,AB二BA.AB廬ABAC(SAS,丁./adb=/bca又./ADB+ZBCA=180,./ADB=/BCA=90, AEB,在AABE中，./EAB4EBA駛了巡=90。-二/AER./ABD=90-/EAB=90-(90-yZAEB)同理：/BACjAER./abd=/bac，/aeb；(2)仍然成立;理由如下：如圖所示：過點A、B分別作BD的延長線與AC的垂線，垂足分別為 G、F,四邊

18、形ABC皿互補等對邊四邊形,.AD=BC/ADB+/BCA=180,又/ad母ADG=180,第13頁(共40頁)全等三角形壓軸題及其詳解/BCA4ADC,又AG，BD,BF，AC,/AGD之BFC=90,在4AGD和4BFC中，ZAGD=ZBFCZbca=ZadcAD=BC.AGgABFQ.AG=BF在AABG和ABAF中,fAB=BA(AG-BF.AB*ABAF,丁./ABD=/BAG/AD母/BCA=180, ./EDBf/ECA=180, /AEB/DHC=180,/DHG/BHC=180,/AEB之BHC/BHC4BAG/ABD,/ABD=/BAC,丁. / ABD=/,/AEB.【

19、點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)SASffi明AABDABAC7.已知ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點(點D不與B、C重合)，以AD為邊作等邊ADE(頂點A、D、E按逆時針方向排列)，連接CE(1)如圖1,當(dāng)點D在邊BC上時，求證：BD=CEAC=C+CD;(2)如圖2,當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結(jié)論AC=C+CD是否成立？若不成立，請寫出AGCECD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3,當(dāng)點D在邊BC的反向延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并第14頁(共40頁)直接寫出AGCECD之間存在的數(shù)量關(guān)系.E【分析

20、】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及等式的性質(zhì)就可以得出ABM八ACE從而得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及等式的性質(zhì)就可以得出ABgAACE就可以得出BD=CE就可以得出AC=CECD;（3）先根據(jù)條件畫出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及等式的性質(zhì)就可以得出ABgAACE就可以得出BD=CE就可以得出AC=CD-CE【解答】解：（1）;ABC和4ADE都是等邊三角形，AB=AC=BCAD=AE/BAC玄DAE=60./BAC-/CAD=ZDAE-/CAD,即/BAD=/CAE在ABD和ACE中，Cab=ac/BAD=/CAE,Iad=ae.AB廬AACE（SAS,BD=CE.BC=BCD,AC=B

21、CAC=C+CD;(2)AC=CECD不成立，AGCECD之間存在的數(shù)量關(guān)系是：AC=CECD.理由：.ABC和AADE都是等邊三角形，AB=AC=BCAD=AE/BAC玄DAE=60. /BAG/CAD=ZDAEfZCAD,丁./BAD=/CAE在ABD和AACE中，IAB二AC/BAD=/CAEAD=AE.AB廬AACEE(SASBD=CE .CE-CD=BACD=BC=ACAC=CECD;(3)補全圖形(如圖)AGCECD之間存在的數(shù)量關(guān)系是：AC=CD-CE理由：.ABC和4ADE都是等邊三角形，AB=AC=BCAD=AE/BAC玄DAE=60. ./BAC-/BAE=/DAE-/BA

22、E丁./BAD=/CAE在ABD和ACE中，AB=ACZBAD=ZCAEAD=AE.AB廬AACE（SASBD=CEvBC=CbBD,BC=CbCE,AC=CD-CE【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，等式的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵.8.如圖，已知ABC,分別以AB、AC為邊作ABD和AACE且AD=AB,AC=AE/DAB=/CAE連接DC與BEG、F分另是DC與BE的中點.第17頁（共40頁）全等三角形壓軸題及其詳解(1)求證：DC=BE(2)當(dāng)/DAB=80,求/AFG的度數(shù);(3)若/DAB須，則/AFG與a的數(shù)量關(guān)系是【分析】(1)根

23、據(jù)等式的性質(zhì)就可以得出/DAC之BAE.就可以得出ADCAABE就可以得出DC=BE(2)連接AG,根據(jù)條件就可以得出AD8AABF,就可以求出AG=AF,/GAF二/DAB,由等腰三角形的性質(zhì)就可以求出/AFG的值，(3)連接AG,根據(jù)條件就可以得出AD8ABF,就可以求出AG=AF,/GAF二/DAB,由等腰三角形的性質(zhì)就可以表示/AFG與a的關(guān)系.【解答】解：(1)./DAB=ZCAE，/DABZBAC4CAEnZBAG丁/DAC4BAE在ADC和ABE中AD=ABZDAC=ZBAE,AC=AE.ADAABE(SAS,DC=BE(2)連接AG.ADAABE,./ADC=ZABEAD=AB

24、.G、F分別是DC與BE的中點,DG=DC, BFBE.DG=BF在AADG和AABF中IAD=AB/ADC=/概，DG=BF.AD*AABF7(SAS,AG=AF/DAG之BAF,丁/AGF玄AFG/DAG-/BAG=ZBAF-/BAG./DAB=/GAF. /DAB=80, ./GAF=80. ./GAF+/AFG/AGF=180, ./AFG=50.答：/AFG=50;(3) /DAB瓶, /GAF瓶. ./GAF+/AFG/AGF=180,什2/AFG=180, ./AFG=90/a.故答案為：/AFG=50,90-ya.【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用,等式的性質(zhì)的運用

25、，等腰三角形的性質(zhì)的運用，三角形內(nèi)角和定理的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵.9公ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊AB、BC上，CDAE交于點F,/AFD=60.(1)如圖1,求證：BD=CE(2)如圖2,FG為4AFC的角平分線，點H在FG的延長線上，HG=CD連接HA、HC,求證：/AHC=60;(3)在(2)的條件下，若AD=2BD,FH=9,求AF長.【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BCZBAC=ZC=ZABE=60,根據(jù)SAS隹出ABBCR即可證得結(jié)論；(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證得CM=CN,利用/CEM=/ACEnZCAE=60+ZCAEZCGN=/AFH+/C

26、AE=60+/CAE得出/CEM=/CGN,然后根據(jù)AAS證得ECMAGCN,得出CG=CEEM=GN,/ECM之GCN,進而證AMCHNC,得出/ACM=/HCNAC=HC從而證得ACH是等邊三角形，證得/AHC=60;(3)在FH上截取FK=FC得出FC底等邊三角形，進一步得出FC=KC=F/ACF=/HCK證得AFAHKC得出AF=HK從而得至UHF=AI+FC=9由AD=2BD可知AG=2CG再由I普，根據(jù)等高三角形面積比等于底的比得出汐阻=iACFGnaCFGH=7=2,再由AF+FC=9求得.抑GQ,d-j【解答】解：(1)如圖1,二ABC是等邊三角形，/B=/ACE=60BC=A

27、CvZAFD=/CAEnZACD=60/BC”ACD=ZACB=60, /BCD玄CAE在ABE和BCD中，ZB=ZACEBC=ACZBCD=ZCAE.ABABCD(ASQ,BD=CE(2)如圖2,作CM，AE交AE的延長線于M,作CNHF于N,第19頁(共40頁)全等三角形壓軸題及其詳解 /EFChAFD=60 ./AFC=120,.FG為AFC的角平分線， /CFH玄AFH=60, /CFH玄CFE=60, CMXAE,CNHF, .CM=CNvZCEM之ACEhZCAE=60+/CAE/CGN4AFF+ZCAE=60+/CAE /CEM之CGN,在AECM和AGCN中ZCM=ZCGW/C

28、HE=N010=90”CM=CN .ECMAGCNJ(AAS), .CE=CGEM=GN,/ECM之GCN,丁./MCN=/ECG=60,.ABABCDvAE=CDvHG=CD .AE=HG .AE+EM=HG+GN,即AM=HN,在AAMC和AHNC中AH=HNZmc=Zhwc=90*CH=CN .AM8AHNC(SAS, ./ACM=/HCN,AC=HC丁./ACM-/ECM=/HCN-/GCN即/ACE玄HCG=60, .ACH是等邊三角形， ./AHC=60;(3)如圖3,在FH上截取FK=FC/HFC=60,.FC雙等邊三角形，丁./FKC=60,FC=KC=FK/ACH=60,/A

29、CF4HCK在AFCftAHKC中FOKCZACF=ZHCKAC=HC.AFAHKC(SAS,.AF=HKHF=A!+FC=9vAD=2BQBD=CE=CGAB=AC .AG=2CG.2工.江的GC1作GW，AE于W,GQDC于Q,.FG為AFC的角平分線，GW=GQ江國抑，GQ*1 .AF=2CFAF=6圖3第21頁（共40頁）全等三角形壓軸題及其詳解【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，找出輔助線根據(jù)全等三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵.10.如圖1,4ABE是等腰三角形，AB=AE/BAE=45,過點B作BCAE于點C,在BC上截取CD=CE連接

30、AD、DE并延長AD交BE于點P;(1)求證：AD=BE(2)試說明AD平分/BAE;(3)如圖2,將4CDE繞著點C旋轉(zhuǎn)一定的角度，那么AD與BE的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，說明理由.【分析】(1)利用SAS證明ABC草AACD,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AD=BE(2)根據(jù)BC草AACD,得至I/EBCWDAC,由/BDP=/ADC,得至4/BPD=/DCA=90,利用等腰三角形的三線合一，即可得到AD平分/BAE(3)ADBE不發(fā)生變化.由BC昌ACD,得至4/EBCWDAC,由對頂角相等得到/BFPqACF5根據(jù)三角形內(nèi)角和為180,所以/BPF4ACF=90,即ADXBE.【解答】解

31、：(1)VBCAE,/BAE=45,丁/CBA&CAB,BC=CA在BCEffi4ACD中，BC=AC/BCE=/加D=90*CECE.BC昭AACD,.AD=BE(2) .BC昭AACD,丁/EBCWDAG /BDP=ZADC, /BPD之DCA=90,vAB=AE AD平分/BAE(3) ADBE不發(fā)生變化.如圖2,(圖2).BC昭AACD,丁/EBCWDAC/BFP=/ACF./BPF=/ACF=90,ADBE.【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是證明BC昭AACD）.11.情境觀察:如圖1,ABC中，AB=AC/BAC=45,CDAB,AEBC,垂足分別為

32、D、E,CD與AE交于點F.寫出圖1中所有的全等三角形58MCE小口國DB;線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是AF=2CE.問題探究：如圖2,ABC中，/BAC=45,AB=BCAD平分/BAC,ADCD,垂足為D,AD與BC交于點E.求證：AE=2CD拓展延伸：如圖3,4ABC中，/BAC=45,AB=BC點D在AC上，/EDC=/BAC,DEXCE,垂足為E,DE與BC交于點F.求證：DF=2CE要求：請你寫出輔助線的作法，并在圖3中畫出輔助線，不需要證明.【分析】情境觀察：由全等三角形的判定方法容易得出結(jié)果；由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；問題探究：延長ARCD交于點G,由ASA證明ADAA

33、DG,得出對應(yīng)邊相等CD=GD即CG=2CD證出/BAE=/BCG由ASA證明ADACBC得出AE=CG=2C卻可.拓展延伸：作DG,BC交CE的延長線于G,同上證明三角形全等，得出DF=CG即可.【解答】情境觀察：解：圖1中所有的全等三角形為AB9AACEAADFACDB;故答案為：AB乙ACEAADFACDB線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是：AF=2CE故答案為：AF=2CE問題探究：證明：延長AB、CD交于點G,如圖2所示：.AD平分/BAC,丁/CAD之GAD,.AD，CD, ./ADC=ZADG=90,在AADC和AADG中，ZADC=ZADGAD=AD,Zcad=Zgad .ADAA

34、DG(ASA, .CD=GD即CG=2CDvZBAC=45,AB=BC ./ABC=90, ./CBG=90, /G+/BCG=90, /G+/BAE=90,丁/BAE玄BCG在AABE和ACBG中，ZABE=ZCBG=90ABB,Zbae=Zbcg .AD”ACBG中(ASQ, .AE=CG=2CD拓展延伸：第25頁（共40頁）全等三角形壓軸題及其詳解解：作DGJXBC交CE的延長線于G,【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.12.如圖1,點P、Q分別是等邊ABC邊AB、BC上的動點(端點除外)，點P從頂點

35、A、點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M.(1)求證：ABgACAF(2)如圖1,當(dāng)點P、Q分別在ARBC邊上運動時，/QMC變化嗎？若變化，請說理由；若不變，求出它的度數(shù).(3)如圖2,若點P、Q在分別運動到點B和點C后，繼續(xù)在射線ARBC上運動，直線A。CP交點為M,則/QMC=120度.(直接填寫度數(shù))【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明ABgACAF(2)由ABgCAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/BAQ=ZACP,從而得到/QMC=60;(3)由ABgCAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/BAQ=/ACP,從而得到/QMC=120.【解答】(1)證明

36、：.ABC是等邊三角形./ABQ=/CARAB=CA又二點P、Q運動速度相同，.AP=BQ在4ABQ與4CAP中，AB=CAZABQ=ZCAP,AP=BQ.ABQACAP(SAS；(2)解：點P、Q在運動的過程中，/QMC不變.理由：.ABgACAP /BAQ之ACP,vZQMC=/ACR/MAC,丁./QMC=/BAC+ZMAC=/BAC=60;(3)解：.ABgACAP /BAQ之ACP, ./QMC=/BAQ+/APM,丁./QMC=/ACF+ZAPM=180-/PAC=180-60=120故答案為：120.【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的

37、判定是解題的關(guān)鍵.13.如圖，在等腰RtAABC中，/C=90,D是斜邊上AB上任一點，A已CD于E,BF，CD交CD的延長線于F,CH，AB于H點，交AE于G.(1)試說明AH=BH(2)求證：BD=CG(3)探索AE與EF、BF之間的數(shù)量關(guān)系.【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的三線合一證明；(2)證明AACCBD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明;(3)證明AC草4CBF即可.【解答】證明：(1).AC=BCCH，AB,.AH=BH(2) vABC為等腰直角三角形，CH，AB,./ACG=45,vZCAG/ACE=90,/BCFVACE=90,丁./CAG=ZBCF在ACGffiACBD中，ZCAG=

38、ZBCBAC=CB,ZACG=ZCBB.ACACBD(ASA),BD=CG(3) AE=E+BF,理由如下：在ACE和ACBF中，ZCAE=ZBCFZAEC=ZCFB,AC=CB.AC昭ACBFAE=CFCE=BF.AE=CF=C+EF=B+EF.【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.14.在4ABC中，AB=AC/BAC=10O,點D在BC邊上，4ABD和4AFD關(guān)于直線AD對稱，/FAC的平分線交BC于點G,連接FG.(1)求/DFG的度數(shù)；(2)設(shè)/BAD=0,當(dāng)8為何值時，DFG為等腰三角形；4DFG有可能是直角三角形嗎？若有，請求

39、出相應(yīng)的8值；若沒有，請說明理由.【分析】(1)由軸對稱可以得出ADB0AADF,就可以得出/B=/AFD,AB=AF在證明AAGH4AGC就可以得出/AFG=ZC,就可以求出/DFG的值；(2)當(dāng)GD=GF時，就可以得出/GD80,根據(jù)/ADG=4O9,就有40+80+40+*8=18僦可以求出2論；當(dāng)DF=GF時，就可以得出/GDF=50,就有40+50+40+28=180；當(dāng)DF=DG時，/GDF=20,就有40+20+40+28=180；從而求出結(jié)論；有條件可以得出/DFG=80,當(dāng)/GDF=90時，就有40+90+40+28=180就可以求出結(jié)論，當(dāng)/DGF=90時，就有/GDF=1

40、0,得出40+10+40+28=18俅出結(jié)論.【解答】解：(1).AB=AC/BAC=100,/B=/C=40.ABD和4AFD關(guān)于直線AD對稱， .AD陳AADF,/B=ZAFD=40,AB=A*BAD=ZFAD=0,AF=AC.AG平分/FAC丁/FAGWCAG在AAGF和AAGC中，AF=AC/FAG=/CAG,AG二AG .AGHAAGC(SAS, /AFG玄C. /DFG玄AFC+ZAFG,/DFG玄B+/C=40+400=80答：/DFG的度數(shù)為80;(2)當(dāng)GD=GFW, /GDF玄GFD=80. ./ADG=40+9,40+80+40+什)=180；9=10：當(dāng)DF=GFW,

41、/FDG玄FGD. /DFG=80, /FDG玄FGD=50.40+50+40+29=180；9=25：當(dāng)DF=DG時， /DFG玄DGF=80, ./GDF=20,40+20+40+29=180；9=40：.當(dāng)8=10；25或40時,4DFG為等腰三角形；當(dāng)/GDF=90時，/DFG=80,40+90+40+29=180；9=5.0當(dāng)/DGF=90時,/DFG=80,./GDF=10,40+10+40+29=180；9=45.當(dāng)8=5145時，4DFG為直角三角形.【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運用，直角三角形的判定及性質(zhì)的運用，

42、解答時證明三角形的全等是關(guān)鍵.15.如圖，在ABC中，/BAC=90,AB=AC點D是AB的中點，連接CD,過B作B已CD交CD的延長線于點E,連接AE,過A作AFAE交CD于點F.(1)求證：AE=AF(2)求證：CD=2B+DE.【分析】(1)通過證AEBAAFC(SAS,得到AE=AF(2)如圖，過點A作AG，EC,垂足為G,通過證BE廬AAGD(AAS),得到ED=GDBE=AG易證CF=BE=AG=GF因為CD=DGGF+FG所以CD=DE-BEfBE,故CD=2B-DE.第31頁(共40頁)全等三角形壓軸題及其詳解【解答】證明：(1)如圖，./BAC=90,AFJ_AE,/EABn

43、ZBAF=ZBAF+ZFAC=90,丁/EAB玄FACvBE!CD,丁./BEC=90,./EBDf/EDB之ADG/ACD=90,/EDB玄ADC, /EBA2ACErZEAB=ZMC 在AEB與AAFC中，3AC,t.ZEBA=ZACF.AEAAFC(ASA),AE=AF(2)如圖，過點A作AG，EG垂足為G.AG，EC,BEXCE /BED玄AGD=90, 點D是AB的中點,BD=ADfZBED=ZAGB 在ABED與AAGD中，ZBDE=ZADG,Ibd=ad .BEEAAGD(AAS),ED=GDBE=AGvAE=AF /AEF4AFE=45丁./FAG=45丁./GAF=ZGFAG

44、A=GF .CF=BE=AG=GFvCD=DG-GF+FC, .CD=D+BE+BE .CD=2B+DE.【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.16.如圖，ABC中，/BAC=90,AB=ACADBC,垂足是D,AE平分/BAD,交BC于點E.在ABC外有一點F,使FALAE,FCLBC.(1)求證：BE=CF(2)在AB上取一點M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點N,連接ME.求證：ME，BC;CM平分/ACE【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出/B=/ACB=45,再求出/ACF=45,

45、從而得到/B=/ACF，根據(jù)同角的余角相等求出/BAE=ZCAF，然后利用角邊角”證明ABE和ACF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；(2)過點E作EH，AB于H,求出4BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE然后求出HE=HM,從而得到HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；求出/CAEWCEA=67.5,根據(jù)等角又t等邊可得AC=CE冉禾用Hlffi明RtAACM和RtAECM全等即可得到結(jié)論.【解答】證明：(1)./BAC=90,AB=AC.B=/ACB=45,vFCLBC,丁./BCF=90,./ACF=9

46、0-450=4/B=ZACF,vZBAC=90,FAIAE,./BAE+/CAE=90,/CAF+ZCAE=90,丁/BAE玄CAF,在AABE和AACF中，ZBAE=ZCAFAB二AC,ZB=ZACF.ABAACF(ASA),BE=CF(2)如圖，過點E作EH，AB于H,則BEH是等腰直角三角形,.HE=BH/BEH=45,.AE平分/BAD,ADBC,DE=HEDE=BH=HEvBM=2DEHE=HM, .HEM是等腰直角三角形，丁./MEH=45, ./BEM=45+45=9QMEBC;由題意得，/CAE=454-X45O=67.50 ./CEA=180-45-67.50=67.5丁./

47、CAE=/CEA=67.5,.AC=CE第35頁(共40頁)全等三角形壓軸題及其詳解在RtAACM和RtAECM中CH=CMUOCERtAACMRtAECM(HL.),丁./ACM=ZECM,CM平分/ACE【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于最后一問根據(jù)角的度數(shù)得到相等的角.17 .如圖，在ABC中，已知/ABC=45,過點C作CD,AB于點D,過點B作BMLAC于點M,CD與BM相交于點E,且點E是CD的中點，連接MD,過點D作DNMD,交BM于

48、點N.(1)求證：DBNADCM;（2）請?zhí)骄烤€段NE、ME、CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【分析】（1）根據(jù)兩角夾邊相等的兩個三角形全等即可證明.（2）結(jié)論：NE-ME=CM.#DFMN于點F,由（l）DBNDCM可得DM=DN,由ADE售ACEM,推出ME=EFCM=DF,由此即可證明.【解答】（1）證明：ABC=45,CDAB,/ABC玄DCB=45,第37頁（共40頁）BD=DC/BDC玄MDN=90,./BDN=ZCDM,.CD，AB,BMXAC, ./ABM=90-/A=/ACD,在4DBN和ADCM中，ZBDN=ZBD=DC,Zdbn=Zdoi .DBNADCM.(2)結(jié)論

49、：NE-ME=CM.證明：由(1)DBNADCM可得DM=DN.作DF,MN于點F,又NDMD,DF=FN在口開口CEM中,ZDBF=ZCEJIZDFEfZCIeIDEEC.DE售ACEM,ME=EFCM=DF【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、CM=DF=FN=NEFE=N曰ME.等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.18 .問題情境：如圖，在ABD與4CAE中，BD=AE/DBA=/EAGAB=AC第36頁（共40頁）易證：zAB廬ACAEE.（不需要證明）特例探究：如圖，在等邊ABC中，點D、E分別在邊BGAB上，且BD=AEAD與CE交于點F.求證：AB廬ACAE歸納證明：如圖，在等邊ABC中，點D、E分別在邊CBBA的延長線上，且BD=AEABD與ACAE是否全等？如果全等，請證明；如果不全