基本不等式與其應用知識梳理與典型練習題(含答案)

1、精品文檔.基本不等式及其應用1基本不等式ab若 a>0, ，b>0，則2 ab，當且僅當時取 “”這一定理敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)它們的幾何平均數(shù)注：運用均值不等式求最值時，必須注意以下三點：(1) 各項或各因式均正；（一正）(2) 和或積為定值；（二定）(3) 等號成立的條件存在：含變數(shù)的各項均相等，取得最值 （三相等）2常用不等式(1) a2b22ab ( a，bR) (2) aba ba, b02注：不等式 a2 b2和 ab ab 它們成立的條件不同，前者只要求、2ab2ab 都是實數(shù)，而后者要求 a、b 都是正數(shù) . 其等價變形： ab（ ab ） 2.2(3) ab

2、 a b2( a，bR) 2b a(4) ab2( a，b 同號且不為 0) a b222(5)ab2( a， b R).2（6） a2b2ab2a,b 022ab11ab(7)abc;a,b, c0(8)； a, b, c03利用基本不等式求最大、最小值問題(1) 求最小值： a>0， b>0，當 ab 為定值時， ab， a2b2 有，即 ab， a2 b2.(2) 求最大值： a0，b0，當 ab 為定值時， ab 有最大值，即；或 a2b2 為定值時， ab 有最大值 ( a 0，b0) ，即 .精品文檔word 范文.設a，b ，且ab ，則a b的最小值是()R322A

3、.6B.42C.22D.26解：因為 2a 0，2b0，由基本不等式得2a2b22a·2b 22a b 42，3當且僅當 ab 2時取等號，故選B.若 a0，b0，且 a2b 2 0，則 ab 的最大值為 ()1A. 2B.1C.2D.4解： a 0，b 0，a 2b2，a2b222ab，即 ab1. 當且僅當 a 21 1， b 2時等號成立 . 故選 A.小王從甲地到乙地往返的時速分別為a 和 b a b，其全程的平均時速()為 v，則 ()A. av abB. v abC.abvabD.ab2v2解：設甲、乙兩地之間的距離為s.sababab，v222s sab2 ab.aba

4、b2ababa2a2 a2又 v aaba ab a b 0， va. 故選 A.( 2014·上海 ) 若實數(shù) x，y 滿足 xy 1，則 x22y2 的最小值為 _.解：由xy 22x22，當且僅當 x±4故1得 xy22時等號成立 .2x22.填 2 2m，n 在直線xy2m2n點(1位于第一象限內(nèi)的圖象上運動， 則loglog)的最大值是 _.n ，mn ，解：由條件知，m ，001mn 21所以 mn24，1當且僅當 mn2時取等號，word 范文.1log 2mlog 2nlog 2mnlog 242，故填 2.類型一利用基本不等式求最值(1) 求函數(shù) y (

5、x 1) 的值域 .解： x 1， x10，令 mx1，則 m 0，且 y m 525 9，當且僅當 m2 時取等號，故 ymin9.又當 m或 m0 時， y，故原函數(shù)的值域是9 ， ) .(2) 下列不等式一定成立的是 ()A.lg>lg x( x>0)B.sinx 2( xk，kZ)C.x2 12| x| ( xR)D.2 1>1( x R)x 121121解： A 中， x x( x 0) ，當 x 時， x x.4241B 中， sin xsin x2(sin x (0 ，1) ；1sin xsin x 2(sin x 1，0) .C中， x2 2| x| 1 (|

6、 x| 1) 2 0( xR) .1D中， x2 1(0 ，1( xR) . 故 C 一定成立，故選 C.點撥：ax2 bx c這里 (1) 是形如 f ( x) 的最值問題，只要分母 xd 0，都可以x de將 f ( x) 轉化為 f ( x) a( xd) x d h( 這里 ae 0；若 ae0，可以直接利用單調(diào)性等方法求最值 ) ，再利用基本不等式求其最值.(2) 牢記基本不等式使用條件 一正、二定、三相等，特別注意等號成立條件要存在 .t 24t 1(1) 已知 t 0，則函數(shù) f ( t ) 的最小值為 .tword 范文.t2t11t ， ft4解：)t ，0(tt42t 時，

7、 ft.當且僅當1)min ，故填(22(2) 已知 x 0， y 0，且 2x8y xy0，求：( ) xy 的最小值；( ) x y 的最小值 .解： ( ) 由 2x8yxy 0，得 1，又 x0，y0，則 1 2，得 xy 64，當且僅當 x4y，即 x 16，y4 時等號成立 .( ) 解法一：由 2x8y xy0，得 x， x0， y 2，則 x yy ( y2) 1018，當且僅當 y2，即 y6，x12 時等號成立 .解法二：由 2x8yxy 0，得 1，則 x y· ( xy) 10 102 18，當且僅當 y6，x 12 時等號成立 .類型二利用基本不等式求有關參

8、數(shù)范圍若關于 x 的不等式 (1 k2 ) xk44 的解集是 M，則對任意實常數(shù)k，總有()A.2 M，0M B.2?M，0?MC.2M，0?MD.2?M，0M解法一：求出不等式的解集：(1 k2) xk44? x ( k2 1) 2? x22( 當且僅當 k2 1 時取等號 ) .解法二 ( 代入法 ) ：將 x2，x0 分別代入不等式中，判斷關于k 的不等式解集是否為 R.故選 A.點撥：一般地，對含參的不等式求范圍問題通常采用分離變量轉化為恒成立問題，對于“恒成立”的不等式，一般的解題方法是先分離然后求函數(shù)的最值 . 另外，要記住幾個常見的有關不等式恒成立的等價命題：(1) af (

9、x) 恒成立 ? a f ( x) max； (2) a f ( x) 恒成立 ? af ( x) min；(3) af ( x) 有解 ? a f ( x) min； (4) a f ( x) 有解 ? af ( x) max.已知函數(shù) f ( x) ex e x，其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù) . 若關于 x 的不等式word 范文. xmf( x) e m1 在 (0 ， ) 上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍 .令t ex(x0)，則 t ，且 m 2t 11對任意 t 11tt 11t 1t 11成立 .t 1 2（t ）·1 ，111t 11 3t 11113，t 1 t 11當且

10、僅當 t 2，即 xln2 時等號成立 .1故實數(shù) m的取值范圍是， 3 .類型三利用基本不等式解決實際問題圍建一個面積為 360 m2 的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻 ( 利用舊墻需維修 ) ，其它三面圍墻要新建， 在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為 2 m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為 45 元/m，新墻的造價為 180元 /m，設利用的舊墻的長度為 x( 單位：元) ，修建此矩形場地圍墻的總費用為 y( 單位：元).(1) 將 y 表示為 x 的函數(shù)；(2) 試確定 x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用.解： (1) 如圖，設矩形的另一邊長為am，則

11、y 45x 180( x2) 180·2a225x360a360.由已知 xa，得 a360，360x所以 yx3602360(x2).225x(2) x ，x36022×2，0225x225360108003602 y225x x 36010440，當且僅當x3602，即 x24時等號成立 .225x答：當 x24 m 時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440 元.word 范文.如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬 2 m的無蓋長方體的沉淀箱，污水從 A 孔流入，經(jīng)沉淀后從 B 孔排出，設箱體的長度為 am，高度為 bm，已知排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)

12、與 a，b 的乘積 ab 成反比 . 現(xiàn)有制2箱材料 60 m，問 a，b 各為多少 m時，經(jīng)沉淀后排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小 ( A，B 孔面積忽略不計 ) .解法一：設 y 為排出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，k根據(jù)題意可知： yab，其中 k 是比例系數(shù)且 k 0.依題意要使 y 最小，只需 ab 最大 .由題設得： 4b2ab2a60( a0，b0) ，即 a 2b30 ab( a 0， b 0) .a2b22ab，2· ab ab，得ab3.2a3002，此時得 a ，b .當且僅當b 時取“”號， ab 最大值為故當 a2b1863，3 m時經(jīng)沉淀后排出的水中雜質(zhì)最少.6 m

13、30 ak解法二：同解法一得 b a2 ，代入 y ab求解 .若 a ，則 a的最小值是()11A.2B. aC.3D.a ，當 a時等號成立 . 故解：a ，a211121213選 C.2. 設 a，b R， a b，且 ab2，則下列各式正確的是 ()A.ab a2b2B.ab a2b2 aba2b2D.ab a2b211212C.122解：運用不等式 ab ab2? ab 1 以及 ( ab)2 2( a2b2 ) ? 2a2 b2 ( 由2ab，所以不能取等號得，22于)ab ab，故選A.12.函數(shù) fx在，2)上的最小值是()3( )(A.0B.1C.2D.3word 范文.解：

14、當 x2 時， 2x0，因此 f ( x) (2 x) 2· 2，當且僅當 2 x 時上式取等號 . 而此方程有解 x1( ， 2) ，因此 f ( x) 在( ， 2) 上的最小值為 2，故選 C.3m的無蓋長方體容器，已知該容器的底要制作一個容積為 4m，高為14 ()面造價是每平方米20 元，側面造價是每平方米10 元，則該容器的最低總造價是()A.80 元B.120 元C.160 元D.240 元解：假設底面的長、寬分別為xm， m，由條件知該容器的最低總造價為y 8020x，當且僅當?shù)酌孢呴Lx2時，總造價最低， 且為160元.故選160C.下列不等式中正確的是()5baba

15、A. 若a，b ，則 2· 2RababB. 若 x，y 都是正數(shù)，則 lg xlg y 2 lg x· lg y若x44C.，則 x 2x· 4<0xxD.若x ，則x x2x· x20a2222x 與y解：對于與 b 可能異號，A錯；對于，lg可能是負數(shù)，B錯；A，B lg對于 ，應是 x4（ x）44錯；對于 2（ x）· ，CCxxx4，若 x ，則x xx· x2成立x0時取等號). 故選D.D02 22 2 2(6. () 若 log4 (3 a 4b) log2，則 ab 的最小值是 ()A.62B.72C.64D

16、.7 4解：因為 log 4 (3 a4b) log 2，所以 log 4(3 a4b) log 4( ab) ，即 3a4bab，且即 a0，b0，所以 1( a 0， b 0) ，ab( a b) 7 72 7 4，當且僅當時取等號 . 故選 D.7. 若對任意 x 0， a 恒成立，則 a 的取值范圍是 .解：因為 x0，所以 x 2( 當且僅當 x1 時取等號 ) ，所以有，即的最大值為，故填a.8. () 設 mR，過定點 A 的動直線 xmy0 和過定點 B 的動直線 mxym 3 0 交于點 P( x，y) ，則 | PA| ·| PB| 的最大值是 _.解：易知定點

17、A(0 ，0) ，B(1 ，3) .word 范文.且無論 m取何值，兩直線垂直 .所以無論 P 與 A，B 重合與否，均有| PA| 2| PB| 2| AB| 2 10( P 在以 AB為直徑的圓上 ) .所以PA·PB1PA 2PB 2) .| | |2(|5當且僅當PAPB 5時，等號成立.故填 5.| |已知 x，求 x(4x的最大值；9 (1)03)(2) 點( x，y) 在直線 x2y3 上移動，求 2x 4y 的最小值 .解： (1) 已知 0x， 03x 4. x(4 3x) (3 x)(4 3x) ，當且僅當 3x43x，即 x時“”成立 .當 x時， x(4 3

18、x) 取最大值為 .(2) 已知點 ( x，y) 在直線 x2y 3 上移動，所以 x 2y3.2x 4y 22 2 4.當且僅當即 x， y時“”成立 .當 x， y時， 2x 4y 取最小值為 4.10. 已知 a 0， b 0，且 2ab1，求 S24a2b2 的最大值 .解： a0，b 0， 2ab1， 4a2 b2 (2 ab) 24ab14ab. 且 12ab2，即， ab， S24a2 b2 2(1 4ab) 2 4ab1. 當且僅當 a， b時，等號成立 .11. 如圖，動物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成 .(1) 現(xiàn)有可圍 36 m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？2(2) 若使每間虎籠面積為24 m，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長度最??？解： (1) 設每間虎籠長為xm，寬為 ym，則由條件，知4x6y