考研數(shù)學(xué)高數(shù)反常積分

1、第六講：廣義積分(反常積分)反常積分概念：定積分是有界函數(shù) f(x)在有限區(qū)間a,b上討論的積分問題，但有的積分問題需要在無窮區(qū)間上討論，或者是討論無界函數(shù)的積分，這就是廣義積分(或稱反常積分) 第一類反常積分(無窮積分)一 -bf (x)dx 或 f f (x)dxa.第二類反常積分(瑕積分)b(f(x)dx其中： 普+f (x)或雪_f (x) =°o在上兩個(gè)定義式中,若積分存在，則稱相應(yīng)的反常積分收斂；若積分不存在,則稱其為發(fā)散.例：計(jì)算廣義積分二 1 .2 dx xdx0xeJ 6-x2dx重要例題：討論p-積分的斂散性:p-1Fdx=下面先針對(duì)第一類反常積分的斂散性的判斷進(jìn)

2、行討論第一類反常積分的斂散性判別法：(僅討論f -f(x)dx的形式) a絕對(duì)收斂性:_I45cf(x)dx絕對(duì)收斂，或稱 f (x)在區(qū) a若反常積分8| f (x) |dx收斂，則稱反常積分a間a,十無)上絕對(duì)可積；若反常積分3 f(x)|dx發(fā)散，而反常積分f(x)dx收斂，則稱反常積分 aa*bof f(x)dx條件收斂，或稱f (x)在區(qū)間a,+")上條件可積。(x)dx絕對(duì)收斂，則J f(x)dx必收斂a正項(xiàng)反常積分的斂散性判別：(即以下討論中，被積函數(shù)都是非負(fù)的) 比較判別法：設(shè)在a, 十七)上恒有0Ef(x)EK中(x),其中K是正常數(shù)。則(1)當(dāng)"5(x)

3、dx收斂時(shí)，18f (x)dx也收斂； a-a(2)當(dāng) r°f(x)dx發(fā)散時(shí)， 1"(x)dx也發(fā)散。例:."-I111n(1?1 x比較判別法的極限形式設(shè)在a, +叼上恒有f (x) >0 , g(x)之0,且lim 上=維 則: x 二 g(x)(1)若0<c<+g,則f -f(x)dx與-g(x)dx具有相同的斂散性; aa(2)若 c = 0,且 J g(x)dx 收斂，則f(x)dx 收斂； aa(3)若 c = +2,且(*g(x)dx發(fā)散，則*f(x)dx 發(fā)散。 aa例:(m, n 0)1在實(shí)際做題中，經(jīng)常取(x) =-p,由此

4、可得如下兩個(gè)定理：x柯西判別法：設(shè)在a,十8)U (0, +8)上恒有f (x) >0, K是正常數(shù)。K二右 f (x) E且 p >1 ,則f (x)dx收斂； x P, aK若 f (x) 且 p E1,則 f f(x)dx發(fā)散。xpa柯西判別法的極限形式:設(shè)在a, +°°) u (0,+°0)上恒有f(x)之0,且lim xpf (x) = l ,x，：則若0 Ml M n,且p >1 ,則於f(x)dx收斂； a若0 <l My，且p w1 ,則於f(x)dx發(fā)散。 a顯然，當(dāng)l為非零常數(shù)時(shí)，(*f(x)dx與對(duì)應(yīng)的p-積分具有相同

5、的斂散性。一般反常積分的斂散性判別：(即以下討論中，被積函數(shù)的符號(hào)不再做要求)除了絕對(duì)收斂以外，還有如下兩個(gè)判別法：A-D判別法若下列兩個(gè)條件之一滿足，則f (x)g(x) dx收斂a*bo(1)(阿貝爾判別法)J 7(x)dx收斂，g(x)在a,上)上單調(diào)有界； aA一一(2)(狄利克雷判別法)設(shè)5(丹=f(x)dx在田,十至)上有界，g(x)在a,收)上單調(diào), ,a且 lim g (x) = 0例:二 cosx dxx二c o盅a(bǔ)r ct a<nd x1 x第二類反常積分的斂散性判別法: 絕對(duì)收斂性：b若反常積分J | f(x)|dx收斂，則稱反常積分 'abf f(x)dx

6、絕對(duì)收斂，或稱 f (x)在區(qū)間aa,b)上絕對(duì)可積;若反常積分J | f (x) |dx發(fā)散，而反常積分 aabf(x)dx收斂，則稱反常積分1 f(x)dx條 a件收斂，或稱f (x)在區(qū)間a,b)上條件可積。定理：bb若f(x)dx絕對(duì)收斂，貝U f f(x)dx必收斂aa正項(xiàng)反常積分的斂散性判別：(即以下討論中，被積函數(shù)都是非負(fù)的)比較判別法設(shè)在a,b)上恒有0 < f(x) <KP(x),其中K是正常數(shù)。則b(1)當(dāng)甲(x)dx收斂時(shí), ab當(dāng)f f (x)dx發(fā)散時(shí),abf(x)dx也收斂;(x)dx也發(fā)散。比較判別法的極限形式:對(duì)以b為唯一瑕點(diǎn)的兩個(gè)瑕積分f(x)dx

7、 與 f g(x)dx 如果 f (x), g(x)是非負(fù)函aa*. f(x) , t數(shù)，且lim = l,則:x ,b-g(x)(1)當(dāng)0Ml < +30 ,且g(x)dx收斂時(shí)，則f f (x)dx也收斂. aa當(dāng)0 < l w +a ,且g(x)dx發(fā)散時(shí)，則f f (x)dx也發(fā)散. aa柯西判別法:設(shè)x=a是f(x)在(a,b上的唯一奇點(diǎn)，在其任意閉區(qū)間上可積，c>0,那么c(1)如 0 M f (x) 一-(x-a)p 'bp <1 則f(x)dx收斂.a-1b則£ f (x)dx發(fā)散.c(2)如 f (x) >且 p(x -a)p

8、,柯西判別法的極限形式:設(shè) J, (x -a)p f (x)二k例:(2)(1)若 0 W k<0° ,且 p <1,則若0<kW 8 ,且p *,dx0 (1 - x2)(1 - k2x2)2dx0 pq wsin xcos xx(1 - cosx)那么f (x)dx收斂bf(x)dx發(fā)散.2(k <1)(p,q>0)-dx( >0)AuA-D判別法:b若下列兩個(gè)條件之一滿足，則f f (x)g(x)dx收斂：(b為唯一瑕點(diǎn))ab(1)(阿貝爾判別法)f f(x)dx收斂，g(x)在a, b)上單調(diào)有界 ab-(2)(狄利克雷判別法)F)=1 f (x)dx在a, b)上有界，g(x)在 a7(0,b - a上單調(diào)，且 lim g(x) = 0.x >b 一1 - XnSIdx練習(xí)題:：lnln x ., sin xdx；2 In x二2 .(2)sinx dx；0-1.2dx 022 ux0 cos xsin x(4)J ln x .i dx ； 0x2 -1xp"(1 - x)q-11n xdx；p 1q71x x(6) d,dx (p, q A