高中優(yōu)秀教學(xué)課件《遞推數(shù)列》

1、2022-2-161)(1nfmaann2022-2-162考試背景考試背景遞推列：遞推列：)(1nfmaann在在0710年年的高考中，歷年都有涉及，如的高考中，歷年都有涉及，如（不完全統(tǒng)計(jì)）：（不完全統(tǒng)計(jì)）：10年年：全國理：全國理，福建；，福建；09年年：全國理：全國理，理，理；08年年：全國理：全國理2022-2-163一、基礎(chǔ)知識(shí)一、基礎(chǔ)知識(shí)3an=(anan-1)+( an-1an-2)+( a2a1)+a1；;1qaann2等比數(shù)列的概念：等比數(shù)列的概念：;. 4112211aaaaaaaannnnn5換元法，待定系數(shù)法換元法，待定系數(shù)法1等差數(shù)列的概念：等差數(shù)列的概念：an+1

2、-an=d2022-2-164二、例析二、例析例例1.已知數(shù)列已知數(shù)列an中中,a1=2,an+1=an+3,則則an的通的通項(xiàng)為項(xiàng)為_解法解法：由：由an+1=an+3得得an+1an3，故數(shù)列，故數(shù)列an是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此，由通項(xiàng)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此，由通項(xiàng)公式得：公式得：an=2+(n-1)3n-1解法解法：由：由an+1=an+3得得an+1an3，故，故an=(anan-1)+( an-1an-2)+( a2a1)+a1 3(n-1)+2=3n-12022-2-165例例.已知數(shù)列已知數(shù)列an中中,a1=2,an+1=3an,則則an的通項(xiàng)的通項(xiàng)為為_故3,

3、aa:得3a由a:解法1n1nn1n數(shù)列數(shù)列an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此因此an=23n-1故得由, 3:3:2解法11nnnnaaaa111221132nnnnnnaaaaaaaa2022-2-166例例.已知數(shù)列已知數(shù)列an中中,a1=2, an+1=4an+3,則則an的的通項(xiàng)為通項(xiàng)為_解法解法：由由an+1=4an+3得得, an+1=4(an+1),故故數(shù)列數(shù)列an是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為a1+1=3，公比為，公比為4的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，因此因此an+1=34n-1,即即an=-1+34n-1111221143) 1(1111111nnnnnnaaaa

4、aaaa因此因此an+1=34n-1,即即an=-1+34n-1故得由, 411),1(41:34:解法解法2111nnnnnnaaaaaa2022-2-167小結(jié)：小結(jié)：待定系數(shù)法在變形轉(zhuǎn)化中的作用待定系數(shù)法在變形轉(zhuǎn)化中的作用用觀察的方法將用觀察的方法將an+1=4an+3變形成變形成 an+1=4(an+1), 是是一大難點(diǎn)，這個(gè)變形可以運(yùn)用待定系數(shù)法來完成一大難點(diǎn)，這個(gè)變形可以運(yùn)用待定系數(shù)法來完成引伸：已知數(shù)列引伸：已知數(shù)列an的首項(xiàng)是的首項(xiàng)是a1, an+1=man+r (m1，r 0),則則an的通項(xiàng)為的通項(xiàng)為_解解：設(shè)設(shè) an+1k=m(an+K),則則 an+1=man+(m-1

5、)K,因此因此,(m-1)k=r,故故1mrk),1(111mrammrarmaannnn變形成了由此將這樣就可以運(yùn)用解法這樣就可以運(yùn)用解法1和解法和解法2的方法了（下解略）的方法了（下解略）2022-2-168解法：由解法：由 an+1=4an+3得得an+=4an+1+3 -得：得：an+2-an+1=4(an+1-an)則數(shù)列則數(shù)列an+1-an是是首項(xiàng)為首項(xiàng)為a -a ( a)-a a+3=9，公比，公比為的等比數(shù)列為的等比數(shù)列 所以，所以，an-an-194n-2所以，所以，an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)a1 94n-2 94n- 940114

6、31241419nn2022-2-169解法：同解法得：解法：同解法得：an+2-an+1=4(an+1-an)則則故,4112nnnnaaaa,49)(212122332212111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa所以，所以，an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)a1 94n-2 94n- 9401+34n-12022-2-1610 .,33,21,. 4111nnnnnaaaaa求已知數(shù)列例解解：兩邊同除以兩邊同除以3n得：得：.3133:,31331111nnnnnnnnaaaa即.3161331的等差數(shù)列公差為為首項(xiàng)是以，aann即

7、.3121)31)(1(613nnann.33211nnnna2022-2-1611 .,354, 3,. 511nnnnnaaaaa求已知數(shù)列例解法1：兩邊同除以3n得：. 5334311nnnnaa)3.(534,31的方法解以下用例則得令nnnnnAAAa.3134),(3411kAAkAkAnnnn則又令).15(3415:.15, 5311nnAAkk從而得.34,16153151511的等比數(shù)列公比為是首項(xiàng)為而aAAn2022-2-161211)34(1615,)34(1615nnnnAA1143315)34(1615(33nnnnnnnAa解法解法2：則令),3(4311nnnn

8、kaka.15, 53,3341kkkaannn從而得則),315(431511nnnnaa2022-2-16131143448315nnnna143315nnna.4,483153151的等比數(shù)列公比為是首項(xiàng)為而aann說明說明2：解法是在兩邊同除了解法是在兩邊同除了bn后，再通過換元將后，再通過換元將an=can-1+dbn化成了化成了An=mAn-1+r的形式此時(shí)就可以用的形式此時(shí)就可以用例的各種解法求解了例的各種解法求解了解法，通過直接利用待定系數(shù)法將解法，通過直接利用待定系數(shù)法將an=can-1+dbn的形式化成了的形式化成了ankbn=c(an-1+kbn-1)形式的等比數(shù)形式的等

9、比數(shù)列然后再進(jìn)行求解特別要注意列然后再進(jìn)行求解特別要注意“所要待定等式所要待定等式”左左右兩邊右兩邊b的冪次方的差異的冪次方的差異2022-2-1614三、練習(xí)三、練習(xí)1.已知數(shù)列已知數(shù)列an中中,a1=,an+1=an3,則則an的通項(xiàng)的通項(xiàng)為為_.已知數(shù)列已知數(shù)列an中中,a1=,an+1=an,則則an的通的通項(xiàng)為項(xiàng)為_.已知數(shù)列已知數(shù)列an中中,a1=, an+1=an3,則則an的的通項(xiàng)為通項(xiàng)為_ .,323, 2,. 411nnnnnaaaaa求已知數(shù)列5.已知數(shù)列已知數(shù)列an,a1=,an=an-1+3n,則則an的通項(xiàng)為的通項(xiàng)為_2022-2-1615三、解答：三、解答：1.答

10、答an=-3n+42.答答an=3(-2)n-13.解：解： a1 = a =-, a- a1=-2,an-an-1=(-2)2n-2=- 2n-1,an+1-an=2(an-an-1),an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)=-2n-1- 2n-2-2=2-2n.2022-2-1616233:323:. 4111nnnnnnnaaaa得由解,323, 233111aaannnn3)33()33()33(31122221111aaaaaaaannnnnnnnnn,342322) 1(nn21121322:2:. 5naannnnn得兩邊同除以解21121322:naa

11、nnnn即2022-2-16172)22()22()22(21122221111aaaaaaaannnnnnnnnn21212321) 1(321321nnnn),1 (212321) 1(321321nnnnnS令),2(212321) 1(32132131nnnnnS則nnnS2534:)2() 1 (并化簡(jiǎn)整理得由) 53(29)212534(2)21(21nnSannnnnn2022-2-1618四、小結(jié)四、小結(jié))(),(1nfmaaannn滿足遞推數(shù)列1.m=1,f(n)=r(常量常量),就成了等差數(shù)列；就成了等差數(shù)列；2.m1,f(n)= 0，就成了等比數(shù)列；，就成了等比數(shù)列；3.

12、m1,f(n)= r (常量常量), 就用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化成等比數(shù)就用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列；列；4.m1,f(n)= bn , 先在兩邊同除以先在兩邊同除以bn，變形成，變形成3的形的形式后再用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列；式后再用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列；5.f(n)= bn+c , 先在兩邊同除以先在兩邊同除以bn，變形成與，變形成與3類似類似的形式后，再用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列或用其的形式后，再用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列或用其它辦法進(jìn)行處理；它辦法進(jìn)行處理；2022-2-1619五、作業(yè)五、作業(yè).,23, 1)3()21(3).2210(11111的通項(xiàng)公式數(shù)列求且滿足項(xiàng)和前已知數(shù)列題江蘇文nnnnn