[理學(xué)]第十一章無窮級數(shù)

1、.教 學(xué) 內(nèi) 容批注第十一章 無窮級數(shù)11. 1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項級數(shù)的概念 常數(shù)項級數(shù): 給定一個數(shù)列 u1, u2, u3, , un, , 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1 + u2 + u3 + + un + 叫做（常數(shù)項）無窮級數(shù), 簡稱（常數(shù)項)級數(shù), 記為, 即 , 其中第n項u n 叫做級數(shù)的一般項或通項. 級數(shù)的部分和: 作級數(shù)的前n項和 稱為級數(shù)的部分和. 級數(shù)斂散性定義: 如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限s, 即, 則稱無窮級數(shù)收斂, 這時極限s叫做這個級數(shù)的和, 并寫成教 學(xué) 內(nèi) 容批注如果沒有極限, 則稱無窮級數(shù)發(fā)散. 余項: 當(dāng)級數(shù)收斂時, 其部分和s n是

2、級數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ ，叫做級數(shù)的余項. 例1 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)) 的斂散性, 其中a0, q叫做級數(shù)的公比. 解 如果q1, 則部分和 . 當(dāng)|q|1時, 因為, 所以此時級數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1, 則當(dāng)q=1時, sn =na, 因此級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)q=-1時, 級數(shù)成為 a-a+a-a+ , 因為sn 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零, 教 學(xué) 內(nèi) 容批注所以sn的極限不存在, 從而這時級數(shù)也發(fā)散.綜上所述, 如果|q|0)成立時，比較申斂法則仍成立.例1 討論p-級數(shù)的收斂性. 解 設(shè)p1. 這時, 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散, 由比較審斂

3、法知, 當(dāng)p1時級數(shù)發(fā)散. 設(shè)p1. 因為當(dāng) 時，有，所以， ，(n=2, 3, ). p-級數(shù)部分和 教 學(xué) 內(nèi) 容批注 ，(n=2, 3, ). 這表明有上界，因此級數(shù)當(dāng)p1時收斂. 綜上所述, p-級數(shù)當(dāng)p1時收斂, 當(dāng)p1時發(fā)散.例2 證明級數(shù)是發(fā)散的. 證 因為, 而級數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的.定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項級數(shù), 記, (1) 當(dāng)時，則級數(shù)和級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散. (2)當(dāng)，且級數(shù)收斂時, 則級數(shù)收斂; (2)當(dāng), 且級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注 證明 （1）由極限的定義可知, 對, 存在自然數(shù)N, 當(dāng)nN時

4、, 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法的推論1, 即得所要證的結(jié)論. （2）例3 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 而級數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)發(fā)散. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注例4 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 而級數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)收斂. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法)設(shè)是正項級數(shù)且, 則（1）當(dāng)r1(或)時級數(shù)發(fā)散; （3）當(dāng)r =1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例5 證明級數(shù)是收斂的. 解 因為, 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 例6 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注例7 判別級數(shù)的收斂性.

5、 解 . 這時r=1, 比值審斂法失效, 必須用其它方法來判別級數(shù)的收斂性. 因為, 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)為正項級數(shù), 如果 , 則（1）當(dāng)r1(或)時級數(shù)發(fā)散; （3）當(dāng)r =1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級數(shù)是收斂的. 解 因為, 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 例6判定級數(shù)的收斂性. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注解 因為 , 所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂. 二、交錯級數(shù)及其審斂法 交錯級數(shù): 交錯級數(shù)是這樣的級數(shù), 它的各項是正負(fù)交錯的. 交錯級數(shù)的一般形式為, 其中. 例如, 是交錯級數(shù), 但不是交錯級數(shù)

6、. 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯級數(shù)滿足條件: (1)unun+1 (n=1, 2, 3, ); (2), 則級數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項rn的絕對值|rn|un+1. 簡要證明: 設(shè)前n項部分和為sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出數(shù)列s2n單調(diào)增加且有界(s2nu1), 所以收斂. 設(shè)s2ns(n), 則也有s2n+1=s2n+u2n+1s(n), 所以sns(n). 從而級數(shù)是收斂的, 且snu1. 因為 |rn|=un+1-un+2+ 也是

7、收斂的交錯級數(shù), 所以|rn|un+1.教 學(xué) 內(nèi) 容批注例9 證明級數(shù)收斂, 并估計和及余項. 證 這是一個交錯級數(shù). 因為此級數(shù)滿足 (1)(n=1, 2, ), (2), 由萊布尼茨定理, 級數(shù)是收斂的, 且其和su1=1, 余項三、絕對收斂與條件收斂: 絕對收斂與條件收斂: 若級數(shù)收斂, 則稱級數(shù)絕對收斂; 若級數(shù)收斂, 而級數(shù)發(fā)散, 則稱級條件收斂. 定理7 如果級數(shù)絕對收斂, 則級數(shù)必定收斂. 注意: 如果級數(shù)發(fā)散, 我們不能斷定級數(shù)也發(fā)散. 但是, 如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)發(fā)散,則我們可以斷定級數(shù)必定發(fā)散. 這是因為, 此時|un|不趨向于零, 從而un也不趨向于零, 因

8、此級數(shù)也是發(fā)散的. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注例11 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為|, 而級數(shù)是收斂的, 所以級數(shù)也收斂, 從而級數(shù)絕對收斂. 例12 判別級數(shù)的收斂性. 解: 由, 有, 可知, 因此級數(shù)發(fā)散. 11. 3 冪級數(shù) 一、函數(shù)項級數(shù)的概念 函數(shù)項級數(shù): 給定一個定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列un(x), 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x)+ 稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)級數(shù), 記為.教 學(xué) 內(nèi) 容批注 收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn): 對于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0, 若常數(shù)項級數(shù)收斂, 則稱點(diǎn)x0是級數(shù)的收斂點(diǎn). 若常數(shù)項級數(shù)發(fā)散, 則稱點(diǎn)x0是級數(shù)的發(fā)散點(diǎn). 收斂域與

9、發(fā)散域: 函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域, 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域. 和函數(shù): 在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù), 并寫成這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域,部分和: 函數(shù)項級數(shù)un(x)的前n項的部分和記作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x). 在收斂域上有或sn(x)s(x)(n) . 教 學(xué) 內(nèi) 容批注 余項: 函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函數(shù)項級數(shù)的余項. 函數(shù)項級數(shù)un(x)的余項記為rn (x), 它是和函數(shù)s(x)

10、與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收斂域上有. 例1 求下列函數(shù)項級數(shù)的收斂域：（1） （2） 二、冪級數(shù)及其收斂性 冪級數(shù): 函數(shù)項級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項都冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù), 這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù), 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ +anxn+ , 其中常數(shù)a0, a1, a2, , an , 叫做冪級數(shù)的系數(shù). 注: 冪級數(shù)的一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ +an(x-x0)n+ , 經(jīng)變換t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ +antn+ .教 學(xué) 內(nèi) 容批注 定理1 (阿貝爾定理) 如果級數(shù)anxn當(dāng)x

11、=x0 (x00)時收斂, 則適合不等式|x|x0|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散. 提示: anxn是的簡記形式. 證 先設(shè)x0是冪級數(shù)的收斂點(diǎn), 即級數(shù)收斂. 根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件, 有, 于是存在一個常數(shù)M, 使| anx0n |M(n=0, 1, 2, ). 這樣級數(shù)的的一般項的絕對值.因為當(dāng)|x|x0|使級數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級數(shù)當(dāng)x=x0時應(yīng)收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證. 推論 如果級數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0一點(diǎn)收斂, 也不是在整個數(shù)軸上都收斂, 則必有一個完全確定的正數(shù)R存在, 使得 當(dāng)|x|R時, 冪級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)x=R與x=-R時, 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 教 學(xué)

12、 內(nèi) 容批注收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數(shù)通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)間(-R, R)叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級數(shù)在x=R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級數(shù)的收斂域是(-R, R)(或-R, R)、(-R, R、-R, R之一. 規(guī)定: 若冪級數(shù)只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級數(shù)對一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+, 這時收斂域為(-, +). 定理2 設(shè)冪級數(shù)系數(shù)，如果, 則這冪級數(shù)的收斂半徑 簡要證明: . (1)如果0r+, 則只當(dāng)r|x|1時冪級數(shù)收斂, 故. (2)如果r=0, 則冪級數(shù)總是收斂的, 故R=+. (3)如果r=+, 則只當(dāng)x=0時冪級數(shù)

13、收斂, 故R=0. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注例1 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域. 解 因為所以收斂半徑為. 當(dāng)x=1時, 冪級數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)x=-1時, 冪級數(shù)成為, 是發(fā)散的. 因此, 收斂域為(-1, 1. 例2 求冪級數(shù)的收斂域. 解 因為, 所以收斂半徑為R=+, 從而收斂域為(-, +). 例3 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 因為 , 所以收斂半徑為R=0, 即級數(shù)僅在x=0處收斂. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注 例4 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 級數(shù)缺少奇次冪的項, 定理2不能應(yīng)用. 可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑: 冪級數(shù)的一般項記為.因為 當(dāng)4|x|21即時級數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為.提示:

14、例5 求冪級數(shù)的收斂域. 解 令t=x-1, 上述級數(shù)變?yōu)? 因為 , 所以收斂半徑R=2. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注當(dāng)t=2時, 級數(shù)成為, 此級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)t=-2時, 級數(shù)成為, 此級數(shù)收斂. 因此級數(shù)的收斂域為-2t2. 因為-2x-12, 即-1x3, 所以原級數(shù)的收斂域為-1, 3). 三、冪級數(shù)的運(yùn)算 設(shè)冪級數(shù)及分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有加法: , 減法: , 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+(a0bn+a1bn-1+ +anb0)xn+ 性質(zhì)1 冪級數(shù)的和函數(shù)

15、s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數(shù)s(x)在(-R, R(或-R, R)連續(xù). 教 學(xué) 內(nèi) 容批注性質(zhì)2 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項積分公式 (xI ), 逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. 性質(zhì)3 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項求導(dǎo)公式 (|x|R), 逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. 例6 求冪級數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級數(shù)的收斂域為-1, 1). 設(shè)和函數(shù)為s(x), 即, x-1, 1). 顯然s(0)=1. 在的兩邊求導(dǎo)得 對上式從0到x

16、積分, 得 .教 學(xué) 內(nèi) 容批注 所以, 當(dāng)x0時, 有, 從而 . 由和函數(shù)在收斂域上的連續(xù)性, 綜合起來得.提示: 應(yīng)用公式, 即. .例7 求級數(shù)的和. 解 考慮冪級數(shù), 此級數(shù)在-1, 1)上收斂, 設(shè)其和函數(shù)為s(x), 則. 在例6中已得到xs(x)=ln(1-x), 于是-s(-1)=ln2, , 即教 學(xué) 內(nèi) 容批注 11. 4 函數(shù)展開成冪級數(shù)一、泰勒級數(shù) 要解決的問題: 給定函數(shù)f(x), 要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)”, 就是說, 是否能找到這樣一個冪級數(shù), 它在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x). 如果能找到這樣的冪級數(shù), 我們就說, 函數(shù)f(

17、x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù), 或簡單地說函數(shù)f(x)能展開成冪級數(shù), 而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x). 泰勒多項式: 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于 , 其中(x介于x與x0之間). 泰勒級數(shù): 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f(x), f(x), , f (n)(x), , 則當(dāng)n時, f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項式 成為冪級數(shù) 這一冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù). 顯然, 當(dāng)x=x0時, f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x0). 需回答的問題: 除了x=x0外, f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于f(x

18、)? 定理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)當(dāng)n0時的極限為零, 即 教 學(xué) 內(nèi) 容批注 證明 先證必要性. 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù), 即 , 又設(shè)sn+1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n+1項的和, 則在U(x0)內(nèi)sn+1(x) f(x)(n). 而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)0(n). 再證充分性. 設(shè)Rn(x)0(n)對一切xU(x0)成立. 因為f(x)的n階泰勒公式可寫

19、成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)f(x), 即f(x)的泰勒級數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂, 并且收斂于f(x). 麥克勞林級數(shù): 在泰勒級數(shù)中取x0=0, 得 , 此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù). 展開式的唯一性: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這種展式是唯一的, 它一定與f(x)的麥克勞林級數(shù)一致. 這是因為, 如果f(x)在點(diǎn)x0=0的某鄰域(-R, R)內(nèi)能展開成x的冪級數(shù), 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn + , 那么根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo), 有f (x)=a1+2a2x+3a3x2+ +nanx

20、n-1+ , f (x)=2!a2+32a3x+ + n(n-1)anxn-2 + , f (x)=3!a3+ +n(n-1)(n-2)anxn-3 + , f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) 2an+1x + , 于是得 a0=f(0), a1=f (0), , , , .教 學(xué) 內(nèi) 容批注注意: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這個冪級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù). 但是, 反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點(diǎn)x0=0的某鄰域內(nèi)收斂, 它卻不一定收斂于f(x). 因此, 如果f(x)在點(diǎn)x0=0處具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來, 但這個級數(shù)是否在

21、某個區(qū)間內(nèi)收斂, 以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察. 二、函數(shù)展開成冪級數(shù)直接展開法步驟: 第一步 求出f (x)的各階導(dǎo)數(shù): f (x), f (x), , f (n)(x), . 第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0 處的值: f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), . 第三步 寫出冪級數(shù) , 并求出收斂半徑R. 第四步 考察在區(qū)間(-R, R)內(nèi)時是否Rn(x)0(n). 是否為零. 如果Rn(x)0(n), 則f(x)在(-R, R)內(nèi)有展開式 (-RxR). 例1 將函數(shù)f(x)=ex展開成x的冪級數(shù). 解 所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f (n)(x)=ex(n

22、=1, 2, ), 因此f (n)(0)=1(n=1, 2, ). 于是得級數(shù) , 它的收斂半徑R=+. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注對于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有 , 而, 所以, 從而有展開式 . 例2 將函數(shù)f(x)=sin x 展開成x的冪級數(shù). 解 因為(n=1, 2, ), 所以f (n)(0)順序循環(huán)地取0, 1, 0, -1, (n=0, 1, 2, 3, ), 于是得級數(shù) , 它的收斂半徑為R=+. 對于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有 0 (n ). 因此得展開式 . 例3 將函數(shù)f(x)=(1+ x)m展開成x的冪級數(shù), 其中m為任意常數(shù). 解:

23、f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為 f (x)=m(1+x)m-1, f (x)=m(m-1)(1+x)m-2, , 教 學(xué) 內(nèi) 容批注f (n)(x)=m(m-1)(m-2) (m-n+1)(1+x)m-n, , 所以 f(0)=1, f (0)=m, f (0)=m(m-1), , f (n)(0)=m(m-1)(m-2) (m-n+1), 于是得冪級數(shù) . 可以證明 間接展開法: 例4 將函數(shù)f(x)=cos x展開成x的冪級數(shù). 解 已知 (-x+). 對上式兩邊求導(dǎo)得 . 例5 將函數(shù)展開成x的冪級數(shù). 解 因為, 把x換成-x2, 得 (-1x1).注: 收斂半徑的確定: 由-1-x21得-1x

24、1. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注例6 將函數(shù)f(x)=ln(1+x) 展開成x的冪級數(shù). 解 因為, 而是收斂的等比級數(shù)(-1x1)的和函數(shù): . 所以將上式從0到x逐項積分, 得 上述展開式對x=1也成立, 這是因為上式右端的冪級數(shù)當(dāng)x=1時收斂, 而ln(1+x)在x=1處有定義且連續(xù). 例7 將函數(shù)f(x)=sin x展開成的冪級數(shù). 解 因為 , 并且有 , , 所以 . 教 學(xué) 內(nèi) 容批注例8 將函數(shù)展開成(x-1)的冪級數(shù). 解 因為 . 提示: ,. , , 收斂域的確定: 由和得. 教 學(xué) 內(nèi) 容批注展開式小結(jié): , , , , .11. 5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用一、近似計算 例1 計算的近似值(誤差不超過10-4). 解 因為, 所以在二項展開式中取, , 即得 . 這個級數(shù)收斂很快. 取前兩項的和作為的近似值, 其誤差(也叫做截斷誤差