瑕積分的性質(zhì)與收斂判別

1、3瑕積分的性質(zhì)與收斂判別教學(xué)目的：掌握瑕點(diǎn)，瑕積分的概念，會(huì)運(yùn)用瑕積分的收斂判別法。重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)與難點(diǎn)為瑕積分的收斂判別方法及其與無窮積分收斂判別法的區(qū)別。教學(xué)方法：講練結(jié)合。教學(xué)內(nèi)容：例1圓柱形桶的內(nèi)壁高為h,內(nèi)半徑為R,桶底有一半徑為r的小孔.試問從盛滿水開始打開小孔直至流完桶中的水，共需多少時(shí)間 ？從物理學(xué)知道，在不計(jì)摩擦力的情形下，當(dāng)桶內(nèi)水位高度為（h-x）時(shí)，水從孔中流出的流速（單位時(shí)間內(nèi)流過單位截面積的流量）為v = J2g（h - x）,其中g(shù)為重力加速度.設(shè)在很小一段時(shí)間dc內(nèi)，桶中液面降低的微小量為dx,它們之間應(yīng)滿足nR2dx = vnr2dt ,由此則有dt 二R2r2

2、 ,2g(h-x)dx, x 0, h.所以流完一桶水所需時(shí)間在形式上亦可寫成“積分”h R2tf = 0-2一r 2g(h-x)但是在這里因?yàn)楸环e函數(shù)是0,h）上的無界函數(shù)，所以它的確切含義應(yīng)該是2-Rdx r , 2g(h-x)_ u)、瑕積分的定義定義2 f定義在區(qū)間（a,b上，在點(diǎn)a的任一右鄰域內(nèi)無界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間u,bu（a,b）上有界且可積.如果存在極限lim,f f （x）dx = J ,則稱此極限為無界函數(shù)f在（a, b上的 ua u反常積分，記作J = : f(x)dx, a并稱反常積分ff(x)dx收斂.如果極限lim+jf (x)dx = J不存在，這時(shí)也說反常 積分

3、j f (x)dx發(fā)散.在定義2中，被積函數(shù)f在點(diǎn)a近旁是無界的，這時(shí)點(diǎn)a稱為f的瑕點(diǎn)，而b無界函數(shù)反常積分f f(x)dx又稱為瑕積分.類似地，可定義瑕點(diǎn)為b時(shí)的瑕積分： abua f (x)dx = lim_a f(x)dx.其中f在a,b)有定義，在點(diǎn)b的任一左鄰域內(nèi)無界，但在任何a,u ua,b)上可積.若f的瑕點(diǎn)cw (a,b),則定義瑕積分bcba f(x)dx = a f (x)dx auf (x)dx = limu )c - abf (x)dx lim f (x)dx.v )c - v其中f在a,c) = (c,b上有定義，在點(diǎn) c的任一鄰域內(nèi)無界，但在任何 a,uua,c)和

4、v,buc,b)上都可積.當(dāng)且僅當(dāng)右邊兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí),左邊的瑕積分才是收斂的.又若a、b兩點(diǎn)都是f的瑕點(diǎn)，而f在任何u,vu(a,b)上可積，這時(shí)定義 瑕積分bcbcvf (x)dx = f(x)dx，I f (x)dx = lim f (x)dx lim f (x)dx, aacua uv b-c其中。為(a,b)內(nèi)任一實(shí)數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)(7)式右邊兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí)，左邊的瑕 積分才是收斂的.例1瑕積分01s的值 . 1 - x1解： 被積函數(shù)f(x)= J在0,1)上連續(xù)，從而在任何0,u二0,1)上可1 -x21dxu dx二積，x=1 為其瑕點(diǎn). 依je義 2 求得,=lim j =

5、 lim arcsinu =-.,0J_x2uL.I-X2-21例2討論瑕積分(卓(q a 0)的收斂性.x解： 被積函數(shù)在(0,1)上連續(xù)，x = 0為其瑕點(diǎn).由于1 dx ux44nu,q T(0 二 u ； 1),故當(dāng)0Vq1時(shí)，瑕積分(8)收斂，且f萼=lim (萼=;而當(dāng)q1時(shí)，瑯積 0 xq u 0 u xq 1 -q分(8)發(fā)散于十比.注：當(dāng)0Vq1時(shí)，瑕a (x -a)q 1 -q一 ”，b積分發(fā)目攵于十a(chǎn) .a (x -a)q例3討論瑕積分f 旦的收斂性.1 xln x解：x=1是瑕點(diǎn)，有2 dx1 xln xdx叫 1Klm1n1n(x)則發(fā)散.一 一 8 dx 例4討論瑕

6、積分般的收斂性 3xx = 0是瑕點(diǎn)，有8 dx3x0 dx-3.x0 dx3 x8 dx0 3 x0 dx3 23小:叫標(biāo)3-1328 dx 8 dx 3-0 3;叫3：1喝(4- KG則收斂二、瑕積分的性質(zhì)類似于無窮積分的柯西收斂準(zhǔn)則以及其后的三個(gè)性質(zhì)，瑕積分同樣可由函數(shù)bb極限lim+J f(x)dx = J f (x)dx的原意寫出相應(yīng)的命題.ua - uab定理11. 5瑕積分f f(x)dx (瑕點(diǎn)為a)收斂的充要條件是：任給0, a存在 60,只要 u1、u2 乏(a, a+S),總有f (x)dx - f (x)dx| = f 2 f (x)dx 8.1也小性質(zhì)1 設(shè)函數(shù) 力與

7、f2的瑕點(diǎn)同為x = a,k1、k2為常數(shù)，則當(dāng)瑕積分j f1(x)dx與j f2(x)dx都收斂時(shí)，瑯積分 jk1fl (x)+ k2 f2(x)dx必定收斂，并有bbba k1 f1(x) k2 f2(x)dx = k1 f1(x)dx k2 a f2 (x)dx性質(zhì)2 設(shè)函數(shù)f的瑕點(diǎn)為x = a, f在(a,b的任一內(nèi)閉區(qū)間u,b上可 b 一一. b , 、. 、 一 一 、， b b積.則當(dāng)f f(x)dx收斂時(shí)(f(x)dx也必止收斂，并有 J f (x)dx 0, a存在60,只要ui、U2乏(a,a+6),總有bbu2f f (x)dx - f f (x)dx = J f(x)d

8、xa. u1”2“1性質(zhì)1 設(shè)函數(shù) 力與f2的瑕點(diǎn)同為x = a,k1、k2為常數(shù)，則當(dāng)瑕積分bbbf f1(x)dx與f f2(x)dx都收斂時(shí),瑕積分1 k1fl(x) + k2 f2(x)dx必定收斂，并有 aaabbbk1fl (x) + k2 f2(x)dx = k1 J f1(x)dx+k2J f2(x)dx。(1)aaab性質(zhì)2設(shè)函數(shù)f的瑕點(diǎn)為x =a,cw (a,b)為任一常數(shù).則瑕積分f f(x)dx與cf f (x)dx同斂態(tài)，并有 abcbf(x)dx = f(x)dx，i f (x)dx,(2)aacb其中f f(x)dx為定積分.c性質(zhì)3 設(shè)函數(shù)f的瑕點(diǎn)為* = 2,

9、 f在(a,b的任一內(nèi)閉區(qū)間u,b上可積.則 bb當(dāng)f f(x)dx收斂時(shí)f f(x)dx也必定收斂，并有 1aLabb f (x)dx 氣 f (x)dx.(3)bb同樣地，當(dāng)f f(x)dx收斂時(shí)，稱f f(x)dx為絕對(duì)收斂.又稱收斂而不絕對(duì)收斂的瑕積分是條件收斂的.三、瑕積分的收斂判別法判別瑕積分絕對(duì)收斂的比較法則及其推論如下：定理11.6(比較法則)設(shè)定義在(a,b上的兩個(gè)函數(shù)f與g,瑕點(diǎn)同為* = 2,在任何u,bu (a,b上都可積，且滿足f(x) 0,且limJ刈=c ,則有：x)a g(x)bb(1) 當(dāng) 0c+8時(shí)，L f (x)dx與g(x)dx 同斂態(tài)；一 一. 一一，

10、 , b b(ii)當(dāng)c=0時(shí)，由g(x)dx收斂可推知 f(x)dx也收斂；bb(iii)當(dāng)c = +兀時(shí)，由g(x)dx發(fā)散可推知f(x)dx也發(fā)散.aa-(X b - I adxb成為如下的推絲不作為比較對(duì)象f g(x)dx時(shí)，比較法則及其推論1-aya推論2 設(shè)f定義于(a,b, a為其瑕點(diǎn)，且在任何u,b匚(a,b上可積,則有：(i) 當(dāng) f (x) 1-,且 0p1時(shí)，b f(x)dx收斂；(x-a)a-1. b.(ii) 當(dāng)f(x)之,且p.時(shí) f(x)dx發(fā)目攵.(x -a)pa推論3 設(shè)f定義于(a,b, a為其瑕點(diǎn)，且在任何u,b匚(a,b上可積.如果limjx -a)p

11、f (x)=九，x 11a則有：(i)當(dāng)0p1, 0 M九+如時(shí)廿f (x)dx收斂;b(ii)當(dāng)p 1 , 0 c九4十8時(shí)Jf(x)dx發(fā)散.例1判別下列瑕積分的收斂性：Dfax；2)喧dx解本例兩個(gè)瑕積分的被積函數(shù)在各自的積分區(qū)間上分別保持同號(hào)一)在x(0,1上恒為負(fù),Nx在(1,2上恒為正一所以它們的瑕積分收斂與絕對(duì)收斂是同一 ln x回事.1)此瑕積分的瑕點(diǎn)為x=0. ，一 3.由上述推論3,當(dāng)取p = 30 x 41l i (4x =0,x )0 -所以瑕積分1)收斂.2)此瑕積分的瑕點(diǎn)為x=1.當(dāng)取p=1時(shí)，由x . x -1 d1 = lim (x -1) = lim = 1,

12、x1ln xX，1 ln x推知該瑕積分發(fā)散.最后舉一個(gè)既是無窮積分又是瑕積分的例子.例2討論反常積分(a)=/a 1Jdx的收斂性.1 x解把反常積分6(a)寫成10十dx4 aX IO0(Xdx瑕點(diǎn)為x = 0.由于a lim x1 = 1 , x 0 -1 x根據(jù)定理11.6推論3,當(dāng)0p=1a0且?”=1時(shí)，瑕積分1(a)收斂;當(dāng)p =1 一口 1,即支E0且九=1時(shí)，1(發(fā)散(ii) 再討論J),它是無窮積分.由于2 - x，11lim x 一一= lim =1,J1 x j1 x根據(jù)定理11.2推論3,當(dāng)p=2a 1 ,即a1且九=1時(shí)，J(o()發(fā)散.綜上所述，把討論結(jié)果列如下表

13、：a0 00 a 11 11I (a)0(收斂定積分J收斂收斂0(中(口)0(收斂0(由此可見，反常積分 中(口)只有當(dāng)0a萬時(shí)，由于 鳴+乂。仙x =0(Va 0),則K =0,而極限為0只能判收斂，而13要判斷，取0p1,因此取1cp0時(shí)，由于lim4xalnx = 0(V 0),則1=0,而極限為0只能判收斂，而要x.01判斷，取0p1,因此取0 M p父1的一個(gè)數(shù)，取p=a0時(shí)，由于lim,xalnx = 0(Va 0),則入=0,而極限為0只能判收斂，而要 x01判斷，取0p1,因此取0 M p父1的一個(gè)數(shù)，取p=30,瑕點(diǎn)為x = 0,止匕時(shí)Jimp5lnx(2) p 0,瑕點(diǎn)為x

14、=1 ,止匕時(shí)媽(1 x)“l(fā)nxp = lim(_1 -x)”(x-1)p =1 ,故原積分在-1 p 0時(shí)收斂，在p1 ,瑕點(diǎn)為 x=0 lim x ln(1 x) = 1,x 0-xp故1p1 ,只要pq ,極限便為0,從而收斂），p 1xlax學(xué)嗎M=0,此時(shí)第二個(gè)積分收斂,pM1 ln（1 x） 1此時(shí)第二個(gè)積分發(fā)散, x x綜上所述 當(dāng)1p 1所以積分收斂(2)因?yàn)閘lm當(dāng)上，且對(duì)任意0父6 0充分小 x w x2 -1時(shí)，有l(wèi)n xx2 -1所以積分收斂,2. 2一cos xsin x2(萬一 x),一、 1(7) xp-(1 -x)q- ln x(xtL),(1-xLJimx w(xp，(1 x)q,Inx )=當(dāng)x A 0充分小有,一“ 一”1xp (1 -x)q lnx 0 , _p書q -1時(shí)積分收斂,在其余情況下積分發(fā)散。*|2dx x二arctanx ,1 arctanx ,二arctanx ,dx