學(xué)案換元法,放縮法

1、數(shù)學(xué)選修4-5編寫：龔莉1.4不等式的證明（2）放縮法班級(jí)姓名【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解：初步掌握 放縮法的概念；理解 放縮法 證題的基本方法； 掌握：掌握 放縮法證題的基本方法；應(yīng)用：培養(yǎng)學(xué)生用放縮法簡(jiǎn)單推理的技能【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：1.理解放縮法的推理依據(jù) 2.掌握放縮法證明命題的方法 難點(diǎn)：理解放縮法的推理依據(jù)及方法.【自主檢測(cè)】1 .當(dāng) n 2 時(shí)，求證：logn（n -1） logn（n 1） ： 1 .1 ii111112.（"化簡(jiǎn):2亍廠川R；（2）求證：尹孑 A?【知識(shí)點(diǎn)拔】1. 放縮法定義：即：要 證明不等式A<B成立，有時(shí)可以將它的一邊放大或縮小，如將 A放 大成C,即

2、A<C,然后證明C<B,由不等式的傳遞性，便得到 A<B, 這種方法稱為放縮法。2. 常用的放縮方法：“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小是由題目分析、 多次嘗試得出，要注意放縮的適度。常用的方法是：添加或舍去一些項(xiàng)，如:晶2 +1 > a ,空 n(n +1) > n ,a -3a 124：221n(n -1)將分子或分母放大（或縮小）如：n（n 1）a a + m真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：“若）< a < b, m 0 ,則- < 仝”（糖水不等式） lblb ' 'lq 3 + lq 5 2. 利用基本不等式，如：log 3

3、lq 5 ：. () = lq . 15 :：: lq .1 lq4 ； n (n 1).n(n 1)2 利用函數(shù)的單調(diào)性21x 利用函數(shù)的有界性：如：sinx w1(xR )； x -x書(x R); 2 aO(xeR) 利用常用結(jié)論：12 2 *I、2k 1 k k N ,k 1 ,.k A , k ； k 、k 11 _ 2 2x k . k 亠、.； k . k 亠；k -1=2、. k - k -1 k N , k 1n、川、k2k(k -1) k -1 kk2k(k 1廠 k（程度大）k 11 12 » 2 k k -1J 1 _ 1 )-(k -1)(k1)2 k -1

4、 k 1'（程度小）絕對(duì)值不等式：|ab| w a±b < a+b ;【經(jīng)典體驗(yàn)】所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來證明不等式，也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見題型。“添舍”放縮通過對(duì)不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。例1.設(shè)a, b為不相等的兩正數(shù)，且a3 b3 = a2 b2,求證1 < a + bv 4。3例2.已知a、b、c不全為零，求證：a2abb2亠b2 bec2丁c2a

5、ca2>2（abc）一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分 母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，禾U用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。例3.已知a、b、c為三角形的三邊，求證:1v 紅 + b + c V 2。b c a c a b三.裂項(xiàng)放縮若欲證不等式含有與自然數(shù) n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來解題。1 1例4.已知n N*，求1V2<3例 5.已知 n N* 且 an =,；1 2.2 3 亠亠.n(n J),求證:對(duì)所有正整數(shù)n都成立。n(n 1)2:an(n 1)22四.公式放縮利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮

6、，可獲簡(jiǎn)解。2x -1 * n 例6.已知函數(shù)f (x)- ，證明：對(duì)于n N且n 一 3都有f (n)2x+1n+1例7.已知f(x) = J - x2，求證：當(dāng)a = b時(shí)f (a) -f (b)；：|a - b。五換元放縮對(duì)于不等式的某個(gè)部分進(jìn)行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機(jī)進(jìn)行放縮， 可達(dá)解題目的。111例8.已知a . b . c，求證0。ab bc ca例9.已知a，b，cABC的三條邊，且有 a2 b2 =c2，當(dāng)n N*且n _3時(shí)，求證:n n n a b : c。六.單調(diào)函數(shù)放縮根據(jù)題目特征，通過構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。a+bIdI bl例 10.

7、已知 a, b R,求證 <_ +_LL。1+|a+b|1 +|1 +|b|【自主探究】1 當(dāng) n > 2 時(shí)，求證：logn(n 1) : log(n1)n11 1 12.求證：1-亠亠:：:3.11疋21漢2汶31汶2沃疋n【課堂反饋】1 .若 a, b, g d R+,求證:1 :22.若n是自然數(shù)，求證+ * 2 *匚22 ”： 2.122232n21數(shù)學(xué)選修4-5編寫：龔莉.4不等式的證明（2）（放縮法）課時(shí)練習(xí)x + y1 .設(shè) x 0, y 0 , A, B1 +x+ y- 匕，則A,B的大小關(guān)系是1 yA. A = BB. A : B2 已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,

8、b,c ，設(shè)D. A Ba b，則1 a bM ,N與Q的大小關(guān)系是A. M : N : QB. MC. Q . N : MD. N:Q : M3 設(shè)不等的兩個(gè)正數(shù)a,b滿足a3 _ b3 = a-b2，則a b的取值范圍是、 1 14 設(shè) A 二尹.Tig"4B. (1刁+亠210 1 210 ' 2D. (0,1"r2，貝U A與1的大小關(guān)系是1 1 15設(shè)z 飛川股，則S的整數(shù)部分為32、C333二 c，求證：a b :： c .21 1 1 17 .設(shè)n N ,求證：2.9 25(2n +1) 26 .已知a, b, c均為正數(shù)，且 a b 411 1 18設(shè) n N，求證：2 ;:nJH 2n :1.1119 .設(shè) n J N ，求證：一222 1 .24(2n)10.設(shè)Sn =22 3n (n 1),求證:不等式n(n 1)2:Sn ：(n 1)22所有的正整數(shù)n都成立.【自助餐】1:設(shè)a、b、