普通物理學(xué)習(xí)題5答案

1、習(xí)題11-1 P點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的位矢 力 = -2i +6 j m, P點(diǎn)至U Q點(diǎn)的位移Ar = 4i_2 j m, 求Q點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的位矢并畫圖.解：設(shè)Q點(diǎn)相對(duì)與原點(diǎn)的位矢為rQ,則：1-2 一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)方程是 x = bt - ct2, b, c是常數(shù).(1)求此質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度函數(shù)；(2)作出x-1 , u t和a -1圖 解：這是一個(gè)一維的問(wèn)題.,、dx速度u = (-2:t + b )dt加速度a=d- = -2c.圖略.1-3物體按照x=4.9t2的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，x的單位為米，t的單位為秒.(1)計(jì)算下 列各時(shí)間段內(nèi)的平均速度：1s到 列s,1s到1.01s,1s到1.

2、001s; (2)求1s末的瞬時(shí) 速度；(3)解釋上述結(jié)果解：這也是一個(gè)一維的問(wèn)題.x(1)平均速度U = =. ,t-2_2x 4.9 1.1 - 4.9 11s至I 1.1s內(nèi)： u= 10.29 (m/s),t1.1 -122x 4.9 1.01 -4.9 11s至I 1.01s內(nèi)：u =9.849 (m/s), t1.01 -11s 至 U 1.001s 內(nèi):(2)速度=9.8049 (m/s)x 4.9 1.0012-4.9 12t1.001 -1dx=9.8t . dt1-4 一質(zhì)點(diǎn)以10m s,的恒定速率向東運(yùn)動(dòng).當(dāng)它剛到達(dá)距出發(fā)點(diǎn)為d的一點(diǎn)時(shí)，立即以20m s的恒定速率返回原處

3、.問(wèn)：質(zhì)點(diǎn)在全過(guò)程中的平均速度和平均速率為多少？解：取出發(fā)點(diǎn)為原點(diǎn)，向東為x軸正方向.從原點(diǎn)到x= d處，作勻速直線運(yùn)s動(dòng)，時(shí)間與= d/10.1從x=d處返回原點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，時(shí)間s4=一 =d/20 (全過(guò)程中，平均速率己=竺=d +d =13.3 (m/s)-：t.-：t1 .-：t2x返回原處時(shí)，包移Ax=0,平均速度5 = = 0.：t1-5礦井里的升降機(jī)由井底從靜止開始勻加速上升，經(jīng)過(guò) 3s速度達(dá)到3m $,，然后以這個(gè)速度勻速上升 6s,最后減速上升經(jīng)過(guò)3s后到達(dá)井口時(shí)剛好 停止.(1)求礦井深度；(2)作出x-1, u-1和a-1圖.解：(1)以井底為原點(diǎn)，向上為x軸正向.在

4、03s內(nèi)，升降機(jī)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)：,1,2，八lx1 -. 0t 5 a1t(1)22- 1 = . 0 2a11x1.(2)其中 =0.由(1)、(2)兩式得：Ax1=4.5(m).在39s內(nèi)，升降機(jī)以u(píng) =3m/s作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，x2 =。1t =18 (m/s)在912s內(nèi)，升降機(jī)作勻減速直線運(yùn)動(dòng)x3 = . 1t _；a2t222 2 = 1 - 2a2次3,(5)其中5=0.由(4)和(5)兩式得Ax3=4.5(m)礦井深度H 二;x x序4.5+ 18+4.5=27(m).1-6湖中有一小船，岸上有人用一根跨過(guò)定滑輪的繩子拉船靠岸。若人以勻 速u拉繩，船運(yùn)動(dòng)的速度S為多少？設(shè)滑輪

5、距水面高度為 h,滑輪到船初位置的純長(zhǎng)為10.解：取滑輪下水面為原點(diǎn)，向右為正，任意 t時(shí)刻，斜邊即船到滑輪的長(zhǎng)度 為l。-憂，則船相對(duì)岸的位置為x =幾 t f -h2,船運(yùn)動(dòng)的速度為= dx = u/11-(一)2 .dt .10 - t1-7如圖1-7所示，一身高h(yuǎn)的人用繩子拉著雪撬勻速奔跑，雪撬在距地面高 度為H的平臺(tái)上無(wú)摩擦地滑行.若人的速度為u0,求雪撬的速度和加速度.解：取定滑輪為原點(diǎn)，向右為正.t=0時(shí)，雪橇到定滑輪原長(zhǎng)10,人在滑輪 正下方.任意時(shí)刻t,雪橇位置為X,速度為U ,有x = 10 H 一 h ) 一1 ot ,dx02tU =_,dt V(H -h) + (ut

6、) d.(H - h) 02a =.出 ,(H -h)2+ ( ： t)231-8 一火箭以20m/s的常速度從距地面高度為50m的懸崖邊上垂直向上起飛 7s后燃料耗盡.求從發(fā)射到火箭落地的時(shí)間.解：以懸崖邊為原點(diǎn)，向上為正.火箭先以u(píng)0=20m/s向上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，7s 時(shí)，其位置為V1 =u0t =20M=140(m).然后作勻加速運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻其位置為.1.2y2 = y10t 二 gt .2到落地時(shí)應(yīng)有50= 140+ 20t- 5t2.于是得t= 15.6s.1-9兩個(gè)物體 A和B同時(shí)從同一位置出發(fā)同向運(yùn)動(dòng)，物體A做速度為 10m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)，物體B做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)

7、 ，加速度為 1m/s2. (1)當(dāng)物體B追上物體A時(shí)，他們距離出發(fā)位置多遠(yuǎn)？ (2)此前，他們什么 時(shí)候相距最遠(yuǎn)？解：(1) A作勻速直線運(yùn)動(dòng)：xA=uAt,(1)1 212B作勻加速直線運(yùn)動(dòng)xb =t +- at = at .(2)2 2當(dāng)B追上A時(shí)，xA=xB.(3)2由(1),(2),(3)可得：t= 20s,axA = xB = 200m.一.一1c(2)兩者相距s=x)B導(dǎo)人卜- a. t2令上式對(duì)t的導(dǎo)數(shù)為0,得t= 10s,此時(shí)，它們相距最遠(yuǎn)：iax= 50m.1-10 電梯以加速度1.22m/s2上升.當(dāng)電梯速度為2.44m/s時(shí),一個(gè)螺絲從電梯天花板落下，天花板到地板的高度

8、為 2.74m.求螺絲從天花板落到地板的時(shí)間 和它相對(duì)電梯外柱子的位移.解：取螺釘脫離時(shí)開始計(jì)時(shí)，取此時(shí)的電梯頂為原點(diǎn)，向上為正，電梯向上作勻加速運(yùn)動(dòng)：xi = xo - ot - at2,(1)21 c螺釘向上作勻減速運(yùn)動(dòng)：X2 = Uot - gt ,(2)螺釘落到電梯地板上時(shí)，x1=x2.(3)由(1), (2), (3)可得：t=0.705s,x2 =0.717m.1-11 一質(zhì)點(diǎn)以初速率u0和相對(duì)地面為3的仰角斜上拋出.忽略空氣阻力，試 證明質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最高位置的時(shí)間和高度分別為 t=u0sina/g, h =u；sin2o(/2g ,而水平最大位移為R= o sin2： /g .證明：

9、質(zhì)點(diǎn)以初速率9和相對(duì)地面為a的仰角斜上拋出，可將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分解以起拋點(diǎn)為原點(diǎn)，向上為(1)(2)(3)為水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直方向勻加速直線運(yùn)動(dòng)y軸正向，貝有x =u0 cost,1.2y = 0sin 一 t gt , 2- y 二 % sin ” 一 gt.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最高位置時(shí)，Uy=0,由(3)得t - 0 sin - /g .將上式代入(2),可得h = o sin2 ： /2g .質(zhì)點(diǎn)回到地面時(shí)，y=0.(4)由(1),(2),(4)可得水平最大位移X =u；si n% g/.1-12 一小球以相對(duì)地面為 的仰角斜上拋出.小球在最高位置的速度為 12.25m/s,落地點(diǎn)到拋出點(diǎn)的距

10、離為38.2m.忽略空氣阻力，求小球的初速率和達(dá) 到的最大高度.解：同上題，小球在最高位置速度為：v0 cosat =12.25 m/s,落地點(diǎn)到拋出點(diǎn)距離:2X = 0 s n 2 g/ = 38.2 m/s,最大局度：h - 02 sin2 j/2g(3)由(1),(2),(3)可得 0 = 19.6m s- , a =5117 , h=11.9m.1-13小球以10m/s的初速率從距地面高度為50m的懸崖邊上水平拋出.求:(1)小球落地時(shí)飛行的時(shí)間；(2)落地位置；(3)小球飛行中任意時(shí)刻的速度.解：可將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分解為水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直方向勻加速直線運(yùn)動(dòng).以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)，向上為y

11、軸正向，則有Xiot,(1)12y -gt2,2y = -gt.(3)小球落地時(shí)y=-50 m,帶入(2)式，可得小球飛行時(shí)間t=3.19s.落地位置x =u0t = = 31.9m,任意時(shí)刻小球的飛行速度.=.1 00 926 ,速度的方向角u=arcot 0.981-14 一列火車以70km/h的速率奔跑，車上一個(gè)信號(hào)燈掛在距地面高度為 4.9m的位置，當(dāng)燈過(guò)地面某處時(shí)開始落下.(1)當(dāng)燈落地時(shí)，求燈與車之間的距離 以及燈的落地點(diǎn)與開始下落處的距離.(2)求燈相對(duì)車和相對(duì)地的運(yùn)動(dòng)軌跡.解：設(shè)該地為原點(diǎn)，車行進(jìn)方向?yàn)?x軸正向，y軸向上為正(1)燈相對(duì)于車在水平方向無(wú)位移，燈與車之間的距離為

12、0;相對(duì)于地，燈在垂直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)：x= t,(1)12y= -gt ,2落地時(shí)，取y=0,由上兩式得x=20 m.從上兩式中消去t,得到運(yùn)動(dòng)軌跡：y =4. 9- 0.好2(2)燈相對(duì)于車作自由落體運(yùn)動(dòng)：12y = % -2gt(3)1-15地面上一根旗桿高20.0m,中午時(shí)太陽(yáng)正位于旗桿上方.下午2點(diǎn)時(shí) 旗桿影子的運(yùn)動(dòng)速度多大？什么時(shí)候旗桿影子的長(zhǎng)度等于20.0m?解：設(shè)旗桿和旗桿影子的長(zhǎng)度分別為 H和x,則有而旗桿影子的運(yùn)動(dòng)速度為Mhq 所以，下午2點(diǎn)時(shí)旗桿影子的運(yùn)動(dòng)速度是0.727 103=H 2 =H 2=1.939 10 m/s.cos【cos 二 /

13、6令H和x相等，則t =3點(diǎn)鐘(15時(shí)).1-16 一質(zhì)點(diǎn)的加速度為a =6 i +4 j m/s2, t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度等于零,位矢為r =10i m.求：(1)質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和位矢.(2)質(zhì)點(diǎn)在x-y平面內(nèi)的軌跡方程并畫出軌跡示意圖.解： (1) t=0時(shí)，=0, % =10i md 2rdt dtt1adt = (6t i + 4t j) m st0tadt +u0 = t0t2. _ _ 2 _vdt +r0= 10 3t ) i +2t j10(2)由 r = (10 + 3t2) i +2t2 j得乂= (10+3t2) ； v= 2t2 ,消去t得到軌跡方程：3y -2x -

14、20.1-17 一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程(SI)為x u-10t 30t2, y =15t -20t2,求：(1)質(zhì)點(diǎn)初速度的大小和方向；(2)質(zhì)點(diǎn)加速度的大小和方向.解(1) u質(zhì)點(diǎn)初速度dt =dt i + dy j =(10+60t )i +(15 40t) j ,，一-1u |t=0= 10i + 15j(m s1 ),大小u =18.03m，方向角(與 x 軸夾角)arctg (-2/3) =12341 .(2) a =迫 i +旦 j =60i 40j, dt dt大小 a = 72.11m s；與 x 軸夾角：arctg (ax/ay) = arctg (-3/2) = -5618.1-

15、18小球以30m/s的初速率水平拋出.求小球拋出后5s時(shí)的切向加速度和 法向加速度.1919斛：小球的運(yùn)動(dòng)方程 r = - ot i -g gt j =30t i - gt j,30 gtdr3 = 30 i -gt j, u dtd.a = -g jdt當(dāng)t =5s時(shí),g2tdt 900 g2t2= 8.4 m/s2,an = a2 - a； = 5.1 m/s2.1-19 一人在靜水中的劃船速度為1.1m/s,他現(xiàn)在想劃船渡過(guò)一寬為 4000m,水流速度為0.55m/s的河.(1)如果他想到達(dá)正對(duì)岸的位置，應(yīng)對(duì)準(zhǔn)什么方向劃船？ 渡河時(shí)間多長(zhǎng)？(2)如果他想盡快渡河，應(yīng)對(duì)準(zhǔn)什么方向劃船？沿河

16、方向上的位 移是多少？解：設(shè)靜水中的劃船速度為 u0=1.1m/s,水流速度為u=0.55m/s,河寬為 l =4000m.(1)如果他想到達(dá)正對(duì)岸的位置，應(yīng)對(duì)準(zhǔn)的方向?yàn)槠蛏嫌?，角度為?. u. 1一Pa =arcsin =arcsin =30 ,u2.(1)試證快艇必須在船到達(dá)距離港1-20 一條船沿著平行于海岸的直線航行，到海岸的距離為D,航速為5.為攔口為x處之前開出，x = 若快艇盡可能晚開出，它在什么題1-20圖位置和什么時(shí)間攔截到這條船？解：(1)由A點(diǎn)做直線AB垂直于AC,則所以x t, i2 - . 2(2)由于而l =u2t，所以%1-21 一架飛機(jī)從甲地向南飛到乙地又返

17、回甲地，甲乙兩地的距離為1.若飛機(jī) 相對(duì)空氣的速率為u,空氣相對(duì)地面的速率為u ,且飛機(jī)相對(duì)空氣的速率保持不 變，試證明：一、- 21若空氣靜止，即U=0,則飛機(jī)往返時(shí)間為t= ；V(2)若刮北風(fēng)，則飛機(jī)往返時(shí)間為tit02 u若刮西風(fēng)，則飛機(jī)往返時(shí)間為t22證：(1)飛機(jī)相對(duì)空氣的速率為U,空氣相對(duì)地面的速率為U?？諝忪o止，即 U=0,這飛機(jī)相對(duì)地面的速率為U,飛機(jī)往返時(shí)間為t -21t0 一 .V(2) x軸向東，y軸向北建立坐標(biāo)系。若刮北風(fēng)，空氣相對(duì)地面的速度 為牽連速度為一u,飛機(jī)從甲地向南飛到乙地時(shí)，飛機(jī)相對(duì)于大地的速度為U機(jī)地=-u-v;又返回甲地飛機(jī)相對(duì)于大地的速度為 明幾地=U

18、 -U ,飛機(jī)往返時(shí)間t1(3)若刮西風(fēng)，。機(jī)地方向沿y軸，則飛機(jī)相對(duì)空氣的速率在直角三角形斜邊上,飛機(jī)往返時(shí)間為習(xí)題2A題2-3圖2-1如圖所示，水平桌面上有兩個(gè)緊靠著的物體,水平力F作用在左邊物 體上，試求兩物體間的作用力.已知m1=2.0kg, m2=1.0kg, F=15N,兩物體與 桌面的摩擦系數(shù)為0.20.EB確LF52-1圖解：設(shè)兩物體間的作用力大小為目2,由牛頓第二定律F-F27 mlg= m, aF12=5N.消去a,得2-2一質(zhì)量50kg的貨物，放在與水平面成30的斜面上，貨物與斜面的摩擦系數(shù)為0.20.要使貨物以5.0m s-2的加速度沿斜面上升，需用多大的水平推力？解：

19、設(shè)水平推力為F, 9=30，N=0.2,在斜面方向上以向上為正，則有解得F =6 6 9 .N5.2-3如圖所示，一個(gè)斜面與水平面的夾角為30 , A和B兩物體的質(zhì)量都是0.20kg,物體A與斜面的摩擦系數(shù)為0.40.求兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度，以及絕對(duì) 物體的拉力.純與滑輪之間的摩擦力以及繩與滑輪的質(zhì)量均略去不計(jì).解：設(shè)兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度 a,純對(duì)物體的拉力為T,假定B往下運(yùn)動(dòng)，則有T-mgsin -mgcoa= ma(1)m g-m m.a(2)由(1),(2)式得a= 0.753(m s”)，T=1.81N.若使它以速率沿2-4 一木塊能在與水平面成角的斜面上以勻速滑下 此斜面向上滑動(dòng)，試

20、證明它沿該斜面向上滑動(dòng)的距離為 /4gsinu.證：木塊能在與水平面成口角的斜面上以勻速滑下，有mgsin : - mgcos? - 0,若使它以速率u0沿此斜面向上滑動(dòng)，有Nmgcost+mgsi 昨 m a (2). 12 = . 2 2a s(3)而：1 = 0,于是得6 = ： / 4g si：n.2-5如圖所示，將質(zhì)量為10kg的小球掛在傾角a =30光滑斜面上.問(wèn)：(1) 當(dāng)斜面以a =g/3的加速度水平向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩中的張力及小球?qū)π泵娴恼龎毫?為多大？(2)當(dāng)斜面的加速度至少多大時(shí)，小球?qū)π泵娴恼龎毫榱?解：(1)設(shè)繩中的張力T,小球?qū)π泵娴恼龎毫?N, a = g/3,將

21、小球受 力分解在水平和垂直方向上，則有TcosN sn= m a (1)M g- Tsi n- N co s= . 0 (2)聯(lián)立上兩式，解得T -77 .N, N -68.5N.(2)同上，在(1), (2)兩式中取N = 0,可解得 _2a -1 7. m t2-6如圖所示，在水平桌面的一端固定著一只輕定滑輪.一根細(xì)繩跨過(guò)定滑輪系在質(zhì)量為1.0kg的物體A上，另一端系在質(zhì)量為0.50kg的物體B上.設(shè)物 體A與桌面間的摩擦系數(shù)為0.20,求物體A、B的加速度.純與滑輪間的摩擦力 以及純與滑輪的質(zhì)量均略去不計(jì).2-7如圖所示，一根細(xì)繩跨過(guò)一光滑的定滑輪， 純兩端分別懸掛著質(zhì)量為 mi和m2的

22、物體，mim2. 求物體的加速度及純對(duì)物體的拉力.純與滑輪間的 摩擦力可以略去不計(jì)，繩不伸長(zhǎng)，滑輪和繩的質(zhì)量也可略去不計(jì).解:設(shè)物加速度.為a,純對(duì)物體的拉力為T,有m1g -T = ma .(D可解得:題2-8圖2-8T - m2 g = qam2 -m1ag,m1 m22 ml m2.(2)題12-9圖題2-7圖如圖所示，重量為Q1和Q2的兩物體用跨過(guò)定滑輪的細(xì)繩連接， Q1Q2.如開始時(shí)兩物體的高度差為h,求由靜止釋放后，兩物體達(dá)到相同高度所需的時(shí)問(wèn).不計(jì)滑輪和純的質(zhì)量及摩擦.解：設(shè)物加速度.為a,純對(duì)物體的拉力為T,兩物體達(dá)到相同高度所需的時(shí)問(wèn)為t,有mig -T = m1a.(DT

23、- m2 g = m2a(2)兩物體達(dá)到相同高度時(shí)Qi下降高度為(3)h 1 .2 at ,2 2于是得t=(m1 m2)h(m -m2)g2-9有兩塊混凝土預(yù)制板塊放在木板上，甲塊質(zhì)量 木板被起重機(jī)吊起送到高空.試求在下述兩種情況中,200kg,乙塊質(zhì)量100kg. 木板所受的壓力及乙塊對(duì)甲塊的作用力：（1）勻速上升；（2）以1m s的加速度上升.解：（1）設(shè)木板所受的壓力為N,乙塊對(duì)甲塊的作用力F12, m,=200kg, m2=100kg.木板勻速上升時(shí)，有n - m g- F2 8F12 - m2g =0.可得:F12 =980N , N= 2.98黑10飛.(2)木板以a=1m的加速

24、度上升時(shí)，則有N - mig - F12 = m1a,(3)Fi2-m2g=m2a.(4)可得 F12 = 1.08M103 N ; N=3.24m103N2-10 一質(zhì)量為60kg的人乘電梯上樓.電梯先以0.40m s2的加速度上升，速 率達(dá)到1.0m s,后勻速上升.試求在上述兩過(guò)程中，人對(duì)電梯地板的作用力.解：(1)設(shè)人對(duì)電梯地板的作用力 N,電梯先以0.40m 5/的加速度上升，則有N - m疔 m,a則N = m g m右 612N.(2)速率達(dá)到1.0m s,后勻速上升，則N - m g=0 ,N =mg =588N.2-11半徑為R的半球形碗內(nèi)有一粒質(zhì)量為 m的小鋼球.若小鋼球以

25、角速度 切在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它距碗底有多高？解：設(shè)距碗底有高h(yuǎn),則小鋼球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r= 7R2 -(R-h)2，小球受力重力mg,和指向碗中心的壓力N,則有N co S - mg= ,0(1)N c o s = m r2,(2)s i n = r R .(3)可解得：h=R-三. 2-12 一根柔軟而均勻的鏈條，長(zhǎng)為l ,單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為九.將此鏈條跨過(guò)一無(wú)摩擦的輕而小的定滑輪，一邊的長(zhǎng)度為 x(m2.忽略滑輪質(zhì)量及其與細(xì)繩之間的摩擦，求兩個(gè)物體相對(duì)于地的加速度和繩子的張力.解：設(shè)繩子的張力為T,兩個(gè)物體相對(duì)于地的加速度大小為 a1和a2,則有其中的m1a和m2a分別是

26、兩個(gè)物體所受慣性力的大小，a是物體相對(duì)于電梯的加速度的大小.(1)+(2)，得g -m2)(a g)色 m2注意到對(duì)于 m1 , a = a1 -(-a) =a+a；對(duì)于m?, -a4-a,于是，兩個(gè)物體相對(duì)于地的加速度為(m1 -m2)g -2m2am1 m2a2 = -(a a) = -(m2)g 2m1a.m1 m2(1產(chǎn)(2)得繩子的張力T =2m1m式二七).m1 m2習(xí)題33-1已知地面上的石塊質(zhì)量為20kg,用力推石塊，力的方向平行于地面.當(dāng)石塊運(yùn)動(dòng)時(shí)，推力隨位移的增加而線性增加，即F =6x (SI).試求石塊由x1 =16m移動(dòng)到X2 = 20m的過(guò)程中推力所作的功ab202

27、2解：4=a F ds = 16 6x dx = 3(202 -162) =432(J).3-2如圖所示，一細(xì)繩跨過(guò)無(wú)摩擦的定滑輪，系在質(zhì)量為1.0kg的物體上，餐/f起初物體靜止在無(wú)磨擦的水平面上.若,用5.0N的恒力拉繩索的另一端，使物5n 1m體向右作加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)系在物體上的純r(jià)-30jq37- 11索從與水平面成30,角變?yōu)?7角時(shí)，力題3-2圖對(duì)物體作多少功？已知滑輪與水平面的距離為1m.解：x = Hctg 仇有dx = H csc20d6 ,Afb子237；2=Ja F ds = J f cos8(H csc 8)d8 = Hf 13d csc 6d sin。=1.69(J).3

28、-3 一物體按規(guī)律x=ct3作直線運(yùn)動(dòng).設(shè)媒質(zhì)對(duì)物體的阻力正比于速度的平方試求物體由=0運(yùn)動(dòng)到x=l時(shí)阻力所作的功，已知阻力系數(shù)為K.解：由題意,阻力dx c x2 u =3ct , dt24_2二二f - -K - -9Kc3x3(D(2)阻力作功xA x0fdx=-Klip2 72dx = 一27 KCl3 .73-4一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的柔軟鏈條，4/5長(zhǎng)度在光滑桌面上，其余1/5自 由懸掛在桌子邊緣.試證將此鏈條懸掛部分拉回桌面至少需要作功mgl/50.解：將此鏈條懸掛部分拉回桌面至少要作的功為1/5 mg1A xdx mgl .o 150 ”3-5電子質(zhì)量為9.1M10*g,速率為3

29、M107m s-1.問(wèn)：電子的動(dòng)能是多少？電 子從靜止到獲得這樣大的動(dòng)能需要對(duì)它作多少功？解：電子的動(dòng)能1m2 =4.10 1106 J ,2電子從靜止到獲得這樣大的動(dòng)能需要對(duì)它作的功等于電子動(dòng)能的增量A=Ek =4.10 10“6J.3-6 一質(zhì)量為0.20kg的球，系在長(zhǎng)為2m的繩索上，繩索的另一端系在天花 板上.把小球移開，使繩索與鉛直方向成30角，然后從靜止放開.求：(1)在純 索從30：角到0角的過(guò)程中，重力和張力所作的功.(2)物體在最低位置時(shí)的動(dòng)能 和速率.(3)在最低位置時(shí)繩子上的拉力.解：(1)張力始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，不作功.重力作功為A = mgR-cos3他 0.525J

30、.(2)以最低處為勢(shì)能零點(diǎn)，在整個(gè)過(guò)程中只有重力作功，機(jī)械能守恒，最低位置時(shí)的動(dòng)能Ekm k1 ky即h = |-一(y0+y)T (y0+y=-.|-1 (y 忒y) = 0.51m. mg_2.mg 一3-9設(shè)兩個(gè)粒子之間的相互作用力是排斥力，大小是F =k/r2,k為常數(shù).設(shè) 力為零的地方，勢(shì)能為零，試求兩粒子相互作用的勢(shì)能函數(shù).=0.5252因此，速率。=空=2.29 (m/s).m(3)設(shè)在最低位置時(shí)繩子上的拉力為 T,則有2T - mg = m,2于是得T = mg m- =5.42 N.3-7 一乒乓球自高于桌面70cm處自由下落，落至桌面后又跳起 50cm高， 如果球的質(zhì)量為2

31、.5g,試計(jì)算在此過(guò)程中它損失的機(jī)械能.解：在此過(guò)程中它損失的機(jī)械能即為重力勢(shì)能的增量：2E =mg(h2 -h1) = -4.90 10 J .3-8彈性系數(shù)為100N的彈簧垂直地放在地板上，一個(gè)25g的物體放在彈簧的頂端，但沒(méi)有系在彈簧上.若把彈簧壓縮5.0cm然后物體從靜止被釋放出 來(lái)，問(wèn)此物體拋出的高度比原彈簧高多少？解：設(shè)物體放在彈簧頂端時(shí)彈簧被向下壓縮了y0且靜止，則有ky = mg即y0 = g =2.45 13m .k取物體從靜止被釋放時(shí)的位置為重力勢(shì)能的零點(diǎn).物體彈起的過(guò)程中只有保守力作功，機(jī)械能守恒.設(shè)物體拋出的高度比原彈簧高h(yuǎn),則有,1 ,2mg h y y =二 k y

32、0 y ,2解法1:設(shè)兩粒子相互作用的勢(shì)能函數(shù)為 V(r),顯而易見,在r = g處力為零,故令V(g) =0 .根據(jù)教材第40頁(yè)的公式(3-3-8)式，取參考點(diǎn)勢(shì)能V(g) = 0,則_ . k kV(r) = F dr =工 dr =-rr r2,2 Ep(t) =mgy = mgh -mg t , r解法2:由于一注drQ0V(二)-V (r) =rdV=rF dr由于V(g) = 0 ,得V(r)= Frdr二.二 k , kdr =故動(dòng)能勢(shì)能動(dòng)能和勢(shì)能之和為Ek (t) Ep t mgh.注意下面的寫法是錯(cuò)誤的：r V(r)= F3-10如果一物體從高為h處?kù)o止下落.試以(1)時(shí)間為

33、自變量，(2)高度為自 變量，畫出它的動(dòng)能和勢(shì)能圖線.并證明兩曲線中動(dòng)能和勢(shì)能之和相等.解：(1)以時(shí)間為自變量.物體下落過(guò)程中速率為u=gt,高度為y = h-Igt2,21212 2Ek(t) = mu = mg t ,22(2)以高度為自變量.勢(shì)能,122由 y = h gt 得U =2g(h y),則動(dòng)能212Ek( t);一m = m g h ,)y 2Ep(t) =mgy,動(dòng)能和勢(shì)能之和為Ek(t) Ep t( ) mgh.顯然兩曲線中動(dòng)能和勢(shì)能之和均為 mgh.3-11設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力F =4i +3j (N)的作用下，由原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x=8m、y=6m處.(1)如果質(zhì)點(diǎn)是沿直線從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

34、到終了位置，問(wèn)力作多少功？(2)如果質(zhì)點(diǎn)先沿x軸從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x=8m、y=0處，然后再沿平行于y軸的路徑運(yùn)動(dòng)到終了位 置，問(wèn)力在每段路程上所作的功以及總功為多少？ (3)如果質(zhì)點(diǎn)先沿y軸運(yùn)動(dòng)到 x=0、y=6m處，然后再沿平行于x軸的路徑運(yùn)動(dòng)到終了位置，問(wèn)力在每段路程上 所作的功以及總功為多少？比較上述結(jié)果， 說(shuō)明這個(gè)力是保守力還是非保守力？3解：(1) r =xi + yj = xi+xj,4r 2A = F dr =50J.x2V2(2) A=Ai+A2=玉 F dr + % F dr86=0(4i +3j) i dx+ f0(4i +3j) j dy=0 4dx + 0 3dy= 32J

35、+ 18J=50J.V2X2(3) A=Ai+A2=F dr +F drViXi68=I (4i +3j) j dy+ J0(4i +3j) i dx68=(3dy+ j04dx= 18J+ 32J=50J.可見該力作功與路徑無(wú)關(guān)，是保守力.3-12 斜面高1.0m長(zhǎng)為2.0m.把一質(zhì)量為10kg的物體放在斜面上，物體 與斜面間的摩擦系數(shù)為 0.1.若物體在斜面最低點(diǎn)時(shí)的速率為零，在最高點(diǎn)時(shí)的速率為0.2m，s-1,問(wèn)沿斜面需用多大的力推物體才行？解：由題可知斜面傾角3 =30 ,令斜面高h(yuǎn)=1.0m,長(zhǎng)度l=2.0m,物體末速率為u=0.2m s-1.根據(jù)動(dòng)能定理，有12Fl - mgh -

36、 mgcoslm ,2于是得F - m：2/ 2 mgh Mg co*=57.6N.l系于彈性系數(shù)為k的彈簧一端，彈簧另一端固定.設(shè)物體在彈簧未伸長(zhǎng)時(shí)的動(dòng)能為Ek1 ,彈簧的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，試證物體在彈簧伸長(zhǎng)為x時(shí)的速度可由下式1 2 一.1 , 2得至ij:m： = Ek1 mgxsin kx .2 2證明：取物體與彈簧為系統(tǒng)，光滑斜面，只有重力和彈力作功，機(jī)械能守包.以彈簧未伸長(zhǎng)處為勢(shì)能零點(diǎn)，則該處機(jī)械能為Ek1，則有,2k X Ep1 21 .2故 -m. = Ek1 mgxsin 二-kx3-14如圖3-14所示，質(zhì)量為0.1kg的木塊,在一個(gè)水平面上和一個(gè)倔強(qiáng)系數(shù)為20.0N的輕彈

37、簧碰撞，木塊將彈簧由靜止位置壓縮0.4m.題3-14圖假設(shè)木塊與水平面間的摩擦系數(shù)為 0.25.問(wèn)在開始碰撞時(shí)木塊的速率為多少?解：設(shè)開始碰撞時(shí)木塊的速率為u ,碰撞后非保守力只有摩擦力f= Nmg作功，則有fx =Im-1kx2.22可解得：v = 5.83 (m s1)3-15有一物體與斜面之間的摩擦系數(shù)為0.2,斜面的傾角為45 .設(shè)物體以 10m s-1的速率沿斜面上滑，求物體能達(dá)到的高度.當(dāng)該物體返回最低點(diǎn)時(shí)，其速 率又為多少？解：非保守力只有摩擦力f= Nmg cos6作功，設(shè)物體達(dá)到的高度h,以斜面最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能定理，有-m gc o s h c sc=； m2

38、解得：h=4.25m.同理，物體返回最低點(diǎn)時(shí)，有,.1Jm gc o s1 h c sc= m g h可得：=8.16m s-13-16如圖3-16所示，自動(dòng)卸貨礦車滿 載時(shí)的質(zhì)量為m ,斜面傾角為：=30,斜 面對(duì)車的阻力為車重的1/4.當(dāng)車下滑距離 為l時(shí)，車壓彈簧一起向下運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最大 壓縮量時(shí)自動(dòng)卸貨，然后借助彈簧作用回 到初位置重新裝貨.問(wèn)：要完成這個(gè)過(guò)程， 空載時(shí)車的質(zhì)量為多大？解：設(shè)空載時(shí)車的質(zhì)量為m,彈簧最大壓縮量l0,非保守力只有斜面對(duì)車的阻力f= mg/4作功.以彈簧最大壓縮量處為勢(shì)能零點(diǎn),根據(jù)機(jī)械能定理，有112一 mg(l l0) =mg(l l)sin : -kl0

39、,(1)42mg =kl0.m= 1m.3習(xí)題44-1 一質(zhì)量為m,速率為u的球與一平面垂直碰撞，碰撞后小球以原先的速 率沿反方向運(yùn)動(dòng).設(shè)球與平面碰撞時(shí)間為t,問(wèn)球與平面碰撞時(shí)，球?qū)ζ矫孀饔玫?平均沖力為多少？解：設(shè)平土中力為F ,由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理I = F =t =. PF =.：P/.：t = 2m /t.4-2質(zhì)量為5.6g的子彈水平射入一靜止在水平面上,質(zhì)量為2kg的木塊內(nèi)， 木塊和平面間的摩擦系數(shù)為0.2.子彈射入木塊后，木塊向前移動(dòng)了 50cm,求子 彈的初速.解：設(shè)子彈的初速度為,射入后子彈與木塊一起以初速度 叫運(yùn)動(dòng)。取木塊 和子彈為系統(tǒng)，射入過(guò)程在水平方向動(dòng)量守恒:m. 0 =

40、(M m) 1.(1)子彈射入木塊后與木塊一起作末速度為零的勻減速運(yùn)動(dòng)，阻力為L(zhǎng)(M m) g = ( M m), a(2)；=2 2a 6 = 0.(3)由以上三式可解得： = 501m s.4-3在沖擊擺實(shí)驗(yàn)中，質(zhì)量為9.6g的子彈射入質(zhì)量為5kg的砂箱，砂箱擺高 10cm,求子彈的初速.解：解：子彈進(jìn)入沙箱和沙箱上擺是同時(shí)進(jìn)行的，但為了便于分析，可把這 個(gè)實(shí)際過(guò)程看作兩個(gè)先后進(jìn)行的過(guò)程：先是子彈進(jìn)入沙箱，沙箱保持靜止，然后沙箱帶著子彈以某個(gè)共同初速度開始上擺.第一個(gè)過(guò)程是子彈與沙箱發(fā)生完全非彈性碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量守恒.設(shè)子彈進(jìn)入沙箱的初速率為 ,沙箱上擺的初速率為u ,有(m m) - m

41、0.在第二個(gè)過(guò)程中，只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒.取沙箱初位置為重力勢(shì)能零 點(diǎn)，有(m m )gh =1 (m m ) 2.2聯(lián)立以上兩式，得 = mlm再h = 730.6m.m4-4質(zhì)量為m的物體，以速率4沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中突然射出一塊物體,1 其質(zhì)量為 m,并以速率2%沿y軸正向運(yùn)動(dòng)，求余下部分的速度.3解：設(shè)余下部分的速度為0=以i + uy j ,射出物體過(guò)程在x和y軸方向動(dòng)量2 均守恒:m. 0 = - m： x,33可行.(X = 20 , % =一廿0 .2 y故余下部分的速度為:=1.5 0 i - 0j.4-5質(zhì)量為2.0kg的木塊系在一彈簧的末端，靜止在光滑的平面上，彈簧的彈性系數(shù)為200N m,，如圖所示.一質(zhì)量為10g的子彈射進(jìn)木塊后，木塊把彈 mo簧壓縮了 5cm,求子彈的速率.p Q/VWV- 四、他4圖題4-7圖i解：設(shè)了弓單的速率u0,由題意m=10g= 0.01 kg, M=2kg 200N -m .射入過(guò)程在水平方向動(dòng)量守恒:m 0 = (M m) 1.射入后子彈與木塊一起以初速度 飛運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒:1 212(M m) 1 kx ,(2)2 2其中，x= 5cm=0.05m.由以上兩式可得：1u0 = 100.2m s .4-6如圖所示，質(zhì)量為1.0kg的鋼球系在長(zhǎng)