2013屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教案 新人教A版

1、10對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)高考要求： 1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)，了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)，知道指數(shù)函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)(a0，a1)，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型知識(shí)梳理1.對(duì)數(shù)的概念(1)對(duì)數(shù)的定義如果axN(a0且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作_ xlogaN _，其中_ a _叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，_ N _叫做真數(shù).真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無(wú)對(duì)數(shù)）說(shuō)明：實(shí)質(zhì)上，上述對(duì)數(shù)表達(dá)式，不過(guò)是指數(shù)函數(shù)的另一種表達(dá)形式，例如：與 這兩個(gè)式子表達(dá)是同一

2、關(guān)系，因此，有關(guān)系式“”同“+”“”“”等符號(hào)一樣，表示一種運(yùn)算，即已知一個(gè)數(shù)和它的冪求指數(shù)的運(yùn)算，這種運(yùn)算叫對(duì)數(shù)運(yùn)算，不過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)寫(xiě)在數(shù)的前面。對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)從對(duì)數(shù)的實(shí)質(zhì)看：如果abN(a0且a1)，那么b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，即blogaN.它是知道底數(shù)和冪求指數(shù)的過(guò)程.底數(shù)a從定義中已知其大于0且不等于1；N在對(duì)數(shù)式中叫真數(shù)，在指數(shù)式中，它就是冪，所以它自然應(yīng)該是大于0的.(2)幾種常見(jiàn)對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對(duì)數(shù)底數(shù)為a(a0且a1)logaN常用對(duì)數(shù)底數(shù)為_(kāi)10_lg_N自然對(duì)數(shù)底數(shù)為_(kāi)e_ln_N2對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)(a0且a1)_ N _；_0_；_ N

3、 _； _1_. (2)對(duì)數(shù)的重要公式換底公式：logbN_(a，b均大于零且不等于1)；logab，推廣ogablogbclogcd_ logad _.(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a0且a1，M0，N0，那么 loga(MN)_ logaMlogaN _；loga_ logaMlogaN_；logaMn_ nlogaM _ (nR)；logaM.點(diǎn)評(píng)：（1）要熟練掌握公式的運(yùn)用和逆用。（2）在使用公式的過(guò)程中，要注意公式成立的條件。例如：真數(shù)為兩負(fù)數(shù)的積，不能寫(xiě)成=3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 對(duì)數(shù)函數(shù)定義：函數(shù)稱對(duì)數(shù)函數(shù)，說(shuō)明：（1）一個(gè)函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的條件是：系數(shù)為1； 底數(shù)為大于0且不等于1的

4、正常數(shù)； 變量為真數(shù). 在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax的定義域應(yīng)為x|x0. 對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域：特別應(yīng)注意的是：真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1。函數(shù)圖像：1）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、四象限；2）對(duì)數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向上無(wú)限接近軸；當(dāng)時(shí)，圖象向下無(wú)限接近軸）；3）對(duì)于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。a10a1時(shí)，_ y0_當(dāng)0x1時(shí)，_ y1時(shí)，_ y0_當(dāng)0x0_(6)在(0，)上是_增_(7)在(0，)上是_減_變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，從順時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸增大；在第四象限內(nèi)，從順時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸減小.奇偶性非奇

5、非偶4.反函數(shù)反函數(shù)及其性質(zhì)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。若函數(shù)上有一點(diǎn)，則必在其反函數(shù)圖象上，反之若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上。由對(duì)數(shù)的定義容易知道:指數(shù)函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)_.ylogax _互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線_yx _對(duì)稱. 由指數(shù)函數(shù)的定義域，值域，容易得到對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，題型分析題型一對(duì)數(shù)形式與指數(shù)形式的互化例1（1）下列指數(shù)式改寫(xiě)成對(duì)數(shù)式； ； （2）下列對(duì)數(shù)式改寫(xiě)成指數(shù)式； ；（3）求下列各式的； ； 解析由，得，即；由，得，即，故；由，得故；由，得故(4)若loga2=m,loga3=n,a2m+n= 12 。點(diǎn)評(píng)對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和

6、指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式與指數(shù)形式的互化又是解決問(wèn)題重要手段。題型二對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值例2（1）計(jì)算下列各式.lg 25lg 2lg 50(lg 2)2；(log32log92)(log43log83).解原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.原式.原式.（2）已知求解法一：，解法二：（3）設(shè)，求的值.解析（1）， 探究提高(1)在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后再運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并，在運(yùn)算中要注意化同底和指數(shù)與對(duì)數(shù)互化.

7、(2)熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變形是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明常用的技巧.變式訓(xùn)練2：(1)計(jì)算：log2.56.25lgln= （2）求下列各式的值：；解析原式；原式=解：原式 (3)已知f(3x)4xlog23233，求f(2)f(4)f(8)f(28)的值.解析令3xt，f(t)4log2t233，f(2)f(4)f(8)f(28)4(128)82334361 8642 008.（4）設(shè)2a5bm，且2，則m的值為()A.B10C20D100（5）已知均大于1，求解析由得由得，由得，即，解得題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)探究點(diǎn)三含對(duì)數(shù)式的大小比較例3(1)比較下列各組數(shù)的大小

8、log3與log5；log1.10.7與log1.20.7.解(1)log3log510，log3log5.方法一00.71,1.1log0.71.1log0.71.2.，由換底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二作出ylog1.1x與ylog1.2x的圖象，如圖所示，兩圖象與x0.7相交可知log1.10.7bcBbac Cacb Dcab (3)，則（ ）ABCD解析， (1)設(shè)alog3，blog2，clog3，則()AabcBacb CbacDbca解：alog31，blog23，則b1，clog32bc.（2）設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且2a,()b， ()clog2c，

9、則 () Aabc Bcba Ccab Dba1，logb()b(0,1)，log2c()c(0,1)0a，b1,1c2. 故abc.（3）設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，f(2x)f(x)，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)ln x，則有 ()A.f()f(2)f() B.f()f(2)f() C.f()f()f(2) D.f(2)f()|1|1|，f()f()f(2)（4）已知，則有（ ）ABCD解析，同理.，即故選D。(5)已知0ab1n _解析m0，n0，logaclogcblogabn.點(diǎn)評(píng)：用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小(1)同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較例如，比較logaf(x)與logag(x)的大小

10、，其中a0且a1.若a1，則logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0. 若0alogag(x)0f(x)g(x)(2)同真數(shù)的對(duì)數(shù)值大小關(guān)系如圖：圖象在x軸上方的部分自左向右底逐漸增大，即0cd1a0且a1)的圖象過(guò)兩點(diǎn)(1,0)和(0,1)，則a_2_，b_2_.（3）函數(shù)f(x)(x22x3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_（，1）_求解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的步驟：確定定義域；弄清函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)yf(u)，ug(x)；分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若這兩個(gè)函數(shù)同增或同減，則yf(g(x)為增函數(shù)，若一增一減，則yf(g(x)為減函數(shù)

11、，即“同增異減”（4）.函數(shù)y（1）的圖象關(guān)于（）Ay軸對(duì)稱 Bx軸對(duì)稱 C原點(diǎn)對(duì)稱D直線yx對(duì)稱(5)若函數(shù)是奇函數(shù)，則解：由于是奇函數(shù)，即，又， (6)已知函數(shù)，若，則等于（ ）ABC2D2題型四對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用例5（1）已知、為正數(shù)，且，求的取值范圍.解析，上式關(guān)于的方程有實(shí)根。. ，或或（2）已知函數(shù)f(x)loga(82x) (a0且a1).(1)若f(2)2，求a的值；(2)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)yf(x)f(x)的最大值.解(1)f(2)loga4，依題意f(2)2，則loga42，a2.(2)由題意知82x0，解得x0知，x3，函數(shù)yf(x)f(x)的定義域?yàn)?3,3).又yf(x

12、)f(x)loga(82x)loga(82x)loga658(2x2x)，2x2x2，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)，01時(shí)，函數(shù)yf(x)f(x)在x0處取得最大值loga49.探究提高本題的求解體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，主要涉及對(duì)數(shù)式的求值，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用以及與其他知識(shí)的結(jié)合(如不等式、指數(shù)函數(shù)等).變式訓(xùn)練5 （1）已知函數(shù)f(x)loga(x1) (a1)，若函數(shù)yg(x)圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖象.寫(xiě)出函數(shù)g(x)的解析式；當(dāng)x0,1)時(shí)總有f(x)g(x)m成立，求m的取值范圍.解(1)設(shè)P(x，y)為g(x)圖象上任意一點(diǎn)，則Q(

13、x，y)是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，Q(x，y)在f(x)的圖象上，yloga(x1)，即yg(x)loga(1x).(2)f(x)g(x)m，即logam.設(shè)F(x)loga，x0,1)，由題意知，只要F(x)minm即可.F(x)在0,1)上是增函數(shù)，F(xiàn)(x)minF(0)0. 故m0即為所求.（2）已知函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x4時(shí)，f(x)x；當(dāng)x4時(shí)，f(x)f(x1)則f(2log23)的值為()A.B.C.D.解：因?yàn)?2log234，故f(3log23)3log233.（3）定義在R上的偶函數(shù)f(x)在0，)上遞增，f()0，則滿足0的x的取值范圍是()A(0，)B(0，)(2，) C

14、(0，)(，2)D(0，)解：由題意可得：f(x)f(x)f(|x|)，f(|logx|)f()，f(x)在0，)上遞增，于是|logx|，解得x的取值范圍是(0，)(2，)（4）函數(shù)yloga(x3)1 (a0且a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mxny10上(其中mn0)，則的最小值為_(kāi)8_.（5）已知函數(shù)f(x)|lg x|，若0ab，且f(a)f(b)，則a2b的取值范圍是 ()A(2，)B2，) C(3，)D3，)解析：畫(huà)出函數(shù)f(x)|lg x|的圖象如圖所示0ab，f(a)f(b)，0a1，lg a0.由f(a)f(b)，lg alg b ，ab1.b，a2ba，又0a13，即

15、a2b3.（6）已知函數(shù)f(x)loga(1ax)(a0，a1)解關(guān)于x的不等式：loga(1ax)f(1)；求證：函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的一側(cè)；求證：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是f(x)圖象上的兩點(diǎn)，求證：直線AB的斜率小于0. 解f(x)loga(1ax)，f(1)loga(1a)1a0.0aloga(1a)，即0x0，得ax1， 當(dāng)a1時(shí)，x0，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0) ，此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象在y軸的右左側(cè)； 當(dāng)0a0，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的右側(cè). 函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的一側(cè).證明：設(shè)x10，ax1時(shí)，

16、f(x)的定義域?yàn)?，0)；0a1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?0，)當(dāng)0ax10，1.0.f(x2)f(x1)，即y21時(shí)，也有y2y1.綜上：y2y1，即y2y10.kAB0且a1)等價(jià)于f(x)g(x)，但要注意驗(yàn)根對(duì)于logaf(x)logag(x)等價(jià)于0a1時(shí)，(2)形如F(logax)0、F(logax)0或F(logax)0，且a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個(gè)方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.3.明確函數(shù)圖象的位置和形狀要通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)，要記憶函數(shù)的性質(zhì)可借助于函數(shù)的圖象.因此要掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先要熟記指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的

17、圖象.一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)axlogax(a0，a1)在1,2上的最大值與最小值之和為loga26，則a 的值為 ()A. B. C.2 D.4解：當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)ax，logax的單調(diào)性相同，因此函數(shù)f(x)axlogax是(0，)上的單調(diào)函數(shù)，f(x)在1,2上的最大值與最小值之和為f(1)f(2)a2aloga2，由題意得a2aloga26loga2.即a2a60，解得a2或a3(舍去)2.已知函數(shù)f(x)，若ab，且f(a)f(b)，則ab的取值范圍是 ()A.(1，) B. C.(2，) D.3. 設(shè)alog32，bln 2，c5，則()AabcBbca CcabDcb1，l

18、og2e1，log23log2e.1，0ablog3，a.bln 2ln ，b. c5，caf(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)解：當(dāng)a0時(shí)，f(a)log2a，f(a)，f(a)f(a)，即log2alog2， a，解得a1.當(dāng)af(a)，即log2(a)，a，解得1a0，由得1a1.二、填空題6若log2a0且a1)滿足對(duì)任意的x1、x2，當(dāng)x10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)(1,2)_.8已知函數(shù)f(x)lg在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(1,2)_解析因?yàn)閒(x)lg在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，所以g(x)a在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，且g(1)0，于是a20，即1a0，且a1)，若f(x1x2x2 013)8，則f(x)f(x)f(x)_16_.11.已知函數(shù)f(x)logaxxb (a0，且a1).當(dāng)2a3b0且a1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)若a1時(shí)，求使f(x)0的x的解集.解(1)f(x)loga(x1)loga(1x)，則解得1x1.故所求函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|1x1(2)由(1)知f(x)的定義域?yàn)閤|1x1時(shí)，f(x)在定義域x|1x01.解得0x0的x的解集是x|0x1，解得a2.所以a的取值范圍是(，1)(2，).14已知