數(shù)值計(jì)算方法試題集和答案

1、計(jì)算方法期中復(fù)習(xí)試題、填空題:1、已知f（1）1。f（2） 12 f（3） 1.3,則用辛普生（辛卜生）公式計(jì)算求得31 f(x)dx,用三點(diǎn)式求得f （1）2、f（1）1，f（2）2，f（3） 1 ,則過(guò)這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為拉格朗日插值多項(xiàng)式為11答案：-1,L2(x)2(x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3)2(x 1)(X 2)3、近似值x* 0.231關(guān)于真值x 0.229有（2 ）位有效數(shù)字;4、設(shè)f （x）可微，求方程x f（x）的牛頓迭代格式是（）xn 1 xn答案xn f(xn)1 f (xn)5、對(duì) f(x)x3x 1,差商 f0,1,2,3 ( 1 ),

2、f0,1,2,3,4(6、計(jì)算方法主要研究（7、用二分法求非線性方程截?cái)啵┱`差和（舍入）誤差；f （x）=0在區(qū)間（a, b）內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為8、已知 f(1) =2, f(2) =3,f （4）=,則二次Newton插值多項(xiàng)式中x2系數(shù)為（）11、兩點(diǎn)式高斯型求積公式11 .13 1'310 f(x)dx=( 0f(x)dx 2f(17T) f(lTT)），代數(shù)精1012、為了使計(jì)算4(x 1)26（x 1）3的乘除法次數(shù)盡量地少,應(yīng)將該表一，一y 10達(dá)式改寫為(3(4,為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式“2001 V1999 改寫為2001 .1999313、用二分法求方

3、程f(x)x x 1 °在區(qū)間0,1內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為，1 ,進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為,。i14、計(jì)算積分0.5，xdx,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為 ，用辛 卜生公式計(jì)算求得的近似值為 ,梯形公式的代數(shù)精度為 工，辛卜生公式的代 數(shù)精度為/。15、設(shè) f(0)0，f(1)16, f (2) 46,則 l1(x) l1(x) x(x 2)_, f(x)的二次牛頓 插值多項(xiàng)式為_N2(x) 16x 7x(x 1)_。bnf (x)dxAkf(xk)16、求積公式ak 0的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高，具有(2n 1 )次代數(shù)精度。517、 已知 f

4、(1)=1, f (3)=5, f (5)=-3,用辛普生求積公式求 1 f(x)dx=(12 ) c18、 設(shè) f (1)=1 , f (2)=2 , f (3)=0 ,用三點(diǎn)式求 f (1)()。19、如果用二分法求方程x3 x 4 0在區(qū)間1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對(duì)分(10)次。x30 x 1S(x)1(x 1)3 a(x 1)2 b(x 1) c 1 x 320、已知 2是三次樣條函數(shù)，則a=( 3) , b= ( 3), c= (1)。21 |0(x),|1(x),，院(刈是以整數(shù)點(diǎn)x0,x1, ,4為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則nnlk(x)xklj(xk)k 0(1

5、), k 0( xJ ), 當(dāng) n 2 時(shí)n(x4 x23)lk(x)4222、區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù) 數(shù)。23、改變函數(shù)f(x)八k 0( x x 3)。S(x)在a,b上具有直到 2階的連續(xù)導(dǎo)(x 1)的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確24、若用二分法求方程f x 0在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對(duì)分10 次。Sx2- x 125、設(shè)x ax bx c, 1 x 2是3次樣條函數(shù)，則a= 3 , b= -3 , c= 1 1exdx 626、若用復(fù)化梯形公式計(jì)算0,要求誤差不超過(guò)10 ,利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用477個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。1 2 .1f (x)dx -f( 1) 98

6、f (0) f (1)的代數(shù)精度為27、若 f(x) 3x4 2x 1,則差商 f2,4,8,16,3228、數(shù)值積分公式2。選擇題1、三點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為(B )A . 2B. 5 C . 3 D 2、舍入誤差是(A ) 產(chǎn)生的誤差。A,只取有限位數(shù)B.模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C.觀察與測(cè)量D.數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值3、是冗的有(B ) 位有效數(shù)字的近似值。A . 6B. 5 C . 4 D . 74、用1 + x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是(C ) 誤差。A.模型 B .觀測(cè)C.截?cái)?D .舍入x35、用1 + 3近似表示寸1 x所產(chǎn)生的誤差是(D )誤差。A.舍入 B

7、.觀測(cè) C .模型 D.截?cái)?、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(C ) 位有效數(shù)字。A . 5 B . 6C. 7 D . 87、設(shè)f (-1)=1, f (0)=3, f (2)=4,則拋物插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為(A )。A.-0. 5 B .0.5 C . 2 D . -28、三點(diǎn)的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C)。A . 3 B . 4C. 5 D . 29、( D )的3位有效數(shù)字是X 102。(A) X 103 (B) X10- 2 (C)(D) X 10-110、用簡(jiǎn)單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根，把方程f(x)=0表示成x= (x),則f(x)=0 的根是(B)

8、。(A) y= (x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(B) y=x與y= (x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C) y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(D) y=x 與y= (x)的交點(diǎn)11、拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(B ),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(C )(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(x x2) - (x xn 1)(x xn),Rn(x)f(x)Pn(x)-(n 1)()(B)(n 1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn),(D)Rn(x) f(x) Pn(x)f (n 1) ()(n 1)!n 1(X)12、用牛頓 切線法解 方程f

9、(x)=0,選初始值x0滿足(A ),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0 的根。(A) f (x0)f (x) 0(B)f(4)f(x) 0(C)f(%)f(x) 0(D)f(x0)f(x) 013、為求方程x3x21=0在區(qū)間口內(nèi)的一個(gè)根,把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )(A)(B)(C)(D),，迭代公式：xk 1x 14,迭代公式：xk1 x2 xkx2,迭代公式：xk 1x2,迭代公式：xk 114、在牛頓-柯特斯求積公式:(12,1/3 xk)2xkxkbf(x)dx a(ba)Ci(n)f(xi)中，當(dāng)系數(shù)Ci是負(fù)值時(shí),

10、 )時(shí)的牛頓-柯特斯求積公式不x012f(x)一-2-12(4) n 6,所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是(0(1)二次;(2)三次;(4)五次公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)( 使用。(1) n 8,(2) n 7, n 10,23、有下列數(shù)表15、取出1.732計(jì)算x (石1)(3)四次;4,下列方法中哪種最好(1616(A) 28 163 ；S(x)26、已知(B) (4 2圾2;( C)x3032(x 1)3 a(x 2) b 2(4 2場(chǎng)2 .x 2(D)(石 1)4 0x 4是三次樣條函數(shù)，則a，b的值為Xi123f(Xi):-1(A) 5；Aif(Xi) A2f(X2) A3f

11、(X3)()(A)6, 6;(B)6, 8;(C)8, 6;(D)8, 8。16、由下列數(shù)表進(jìn)行Newton插值，所確定的插值多項(xiàng)式的最高次數(shù)是(B)ba f(x)dx4；(C)3；( D 2。17、形如度為(A) 9；(B)7；( C)18、計(jì)算百的Newton迭代格式為(xk(A)Xk1萬(wàn)3 xkxk ； (B)Xk5；)32xk ; (C)19、用二分法求方程4x210則對(duì)分次數(shù)至少為()(A)10;(B)12(C)8的高斯(GausS)型求積公式的代數(shù)精(D)3。xk 1xk 2xk ； (D)xkXk 33Xk 。0在區(qū)間1,2內(nèi)的實(shí)根，要求誤差限為10 3(D)9。20、設(shè)1i(x

12、)是以 xk k(k9kli(k)0,1,L為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則k 0(A) x；33、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式,(C) i ;(D) 1。至少具有()次代數(shù)精度(A)5;(B)4(C)6S(x)21、已知 (A)6, 6;35、已知方程()3 x2(x1)3 a(x(B)6 x3 2x2) b (C)8(D)30 x2 x24是三次樣條函數(shù)，則(D)8, 8。a，b的值為(0在x 2附近有根，下列迭代格式中在x02不收斂的是xk 123Xk ； ( C) xk 1 xk xk 5 ；xk(D)2x3 53x2 20X01234f(x)1243-5確定的唯一插值多項(xiàng)式的

13、次數(shù)為()(C)1(D)3。(A) Xk 1 J2Xk 5 ; (B)22、由下列數(shù)據(jù)(A) 4;(B)223、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為()(A)8;(B)9;(C)10(D)11。三、是非題(認(rèn)為正確的在后面的括弧中打，否則打 )1、已知觀察值(xi，yi)(i0,1,2，m)，用最小二乘法求n次擬合多項(xiàng)式Pn(x)時(shí),Pn(x)的次數(shù)n可以任意取。2x2、用1- 2近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。()(x X0 )( x X2 )3、(x1 x0)(x1 x2)表示在節(jié)點(diǎn)xi的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。()4、牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)，高一級(jí)的插值多項(xiàng)式可利用前

14、一次插值的結(jié)果。()3112535、矩陣A=1 答案：f(x) 1，x，x是精確成立，即5具有嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)。()四、計(jì)算題：1 1 1f (x)dx A f( 1) f (1) Bf ( -) f (-)1、求A、B使求積公式1 ' '2，2'的代數(shù)精度盡量高，并求其代數(shù)精度；利用此公式求(保留四位小數(shù))。2A2A2B1B 21f(x)dx求積公式為19f(1)f(1)8f(2)1f(-)當(dāng)f(x) x3時(shí)，公式顯然精確成立；當(dāng)f(x)1右=3 。所以代數(shù)精度為3。ft1 x2x1dt -1t 391 3972、已知0.69286140xi1345f(xi)2654分別

15、用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(x)的三次插值多項(xiàng)式p3(x),并求f(2)的近似值(保留四位小數(shù))。(x 3)(x 4)(x 5) (x 1)(x 4)(x 5)L3( x) 2 6:案.(1 3)(1 4)(1 5)(3 1)(3 4)(3 5)(x1)(x3)( x5)(x1)(x3)( x4)5 4(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表為xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10#41P3(x)N3(x)2 2(x 1) (x 1)(x 3) (x 1)(x 3)( x 4)4f(2)P3(2) 5.55、已知xi-2-1012f(xi)4213

16、5求f(x)的二次擬合曲線P2(X),并求f (0)的近似值答案：解：ixiyi2 xi3 xi4 xixi yi2xi yi0-244-816-8161-121-11-22201100r 0P 0013131113342548161020015100343415a° 10a2 1510a13正規(guī)方程組為P2(X)10311 2x x7 1014a010P2(x)103, a21011x7f (0)P2(0)310111410a0 34a2 416、已知sinx區(qū)間,的函數(shù)表xiYi如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最小并求該近似值。答案：解： 應(yīng)選三

17、個(gè)節(jié)點(diǎn)，使誤差M 3|R2(x)| 康| 3(x)|盡量小，即應(yīng)使| 3(x)|盡量小，最靠近插值點(diǎn)的三個(gè)節(jié)點(diǎn)滿足上述要求。即取節(jié)點(diǎn)0.5，06，0.7最好，實(shí)際計(jì)算結(jié)果Sin0.63891 0.596274,sin 0.638910.59627413 (0.638910.5)(0.63891 90.6)(0.63891 0.7)0.55032 107、構(gòu)造求解方程ex 10x 2 0的根的迭代格式xn 1(xn),n 012 ，討論其收斂4性，并將根求出來(lái)，氏 1 xn| 10 o答案：解：令 f(x) ex 10x 2, f(0)2 0,f (1) 10 e 0且 f (x) ex 10

18、0 對(duì) x (),故f(x) 0在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.將方程f(x) 0變形為1x (210則當(dāng)x (0,1)時(shí)(x) 110(2 a 1(x)|x e10故迭代格式xn 1(2 e n)106且滿足 |x7 x6 1 0.000 000 95 10 .所以 x收斂。取x。0.5 ,計(jì)算結(jié)果列表如下:n0123xn127 872424 785877 325n4567xn595 993517 340525 950525 008*0.090 525 00810、已知下列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)xif(Xi)1口 exdx且0試按最小二乘原理求一次多項(xiàng)式擬合以上數(shù)據(jù)。解：當(dāng)0<x<1時(shí),f (x)

19、ex,則有一位整數(shù).要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差Ri(n)(f)10 4Ri(n)(f)(b a)312n2Ri(n) (ex)e12n2e12n210 4即可，解得e 102 67.30877,6所以 n 68,因此至少需將0,1 68 等份。12、取節(jié)點(diǎn)x00，xi0.5，x21，求函數(shù)f（x）e ”在區(qū)間0，1上的二次插值多項(xiàng)式P2（x），并估計(jì)誤差Pz(x) e 解：f（x） e x,f又故截?cái)嗾`差14、給定方程f（x）0 (x 0.5)(x 1)0.5 (x 0)(x 1)e (0 0.5)(0 1)(0.5 0)(0.5 1)1 (x 0)( x 0.5)e (1 0)(1

20、0.5)2(x 0.5)(x 1) 4e 0.5x(x 1) 2e 1x(x 0.5)(x) e x,M 3 max | f (x)| 1 x 0,1|R2(x)| |e x P2(x)| -|x(x 0.5)( x 1)|3!(x 1)ex 1 01）分析該方程存在幾個(gè)根；2）用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；3）說(shuō)明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程（x 1）ex 1 0（1）改寫為xx 1 e（2）x*作函數(shù)f1（x） x 1, f2（x） e的圖形（略）知（2）有唯一根X （1,2）2）將方程（2）改寫為x 1 e xxk 11 e xk構(gòu)造迭代格式x。L5（k 0，1,2，

21、）計(jì)算結(jié)果列表如下：k123456789xk3)(x) 1 e x ,(x) e x當(dāng) x 1,2時(shí)，(x) (2), (1)1,2,且1I (x)| e 1 1所以迭代格式xk 1(xk) (k 0,1,2,)對(duì)任意 xo 1,2均收斂。15、用牛頓(切線)法求J3的近似值。取x0=,計(jì)算三次，保留五位小數(shù)。解：聲是f(x) x2 30的正根,f (x) 2x，牛頓迭代公式為xn 1 xn16、已知 f (-1)=2 , f (1)=3 , 近似值，取五位小數(shù)。解:L2(x)2 (x 1)(x 2)(1 1)( 12)3 (x 1)(x 2) 4 (x 1)(x 1) (1 1)(1 2)(

22、2 1)(2 1)i(x 1)(x2)34/ 1)(x 2) 91n123xn取xo=,列表如下:x232xnxn 1 當(dāng) t3- (n 0,1,2,)2 2xnf (2)=-4 ,求拉格朗日插值多項(xiàng)式L2(x)及f (1 , 5)的.1f(1.5)L2(1.5)0.041672417、n=3,用復(fù)合梯形公式求1exdx0的近似值(取四位小數(shù))，并求誤差估計(jì)。解:；exdx T3 Ue002 3c, 1 32(e2 31e ) e 1.7342f (x) ex, f (x) ex, 0x 1 時(shí)，1f(x)I e|R| |exe0.0250.05108xi19253038至少有兩位有效數(shù)字。2

23、0、(8分)用最小二乘法求形如y2a bx的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)據(jù):解:AT1192解方程組其中*2、span 1, x 111252 312 382AT AC AT yATA433913391 352960319.0ATy32.3 49.0 73.3173.6179980.7C解得：0.92555770.0501025 所以0.9255577,b 0.050102521、（15 分）用 n 項(xiàng)估計(jì)其誤差。用 值。8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計(jì)算n 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化1e Xdx0e時(shí)，試用余Simpson公式）計(jì)算出該積分的近似|RTf解：T(8) hf(a)25)112

24、1 0.00130276872 g f(b) k 111 2 (0.88249690.77880080.606530660.53526140.472366550.41686207) 0.367879470.632943422、（15分）方程x30在x 1.5附近有根，把方程寫成三種不同的等價(jià)形式 （1）%x 1對(duì)應(yīng)迭代格式Xn1對(duì)應(yīng)迭代格式Xn 13 Xn3 xnT對(duì)應(yīng)迭代格式Xn1 3 ;10判斷迭代格式在X。13的收斂性，選一種收斂格1.5附近的根，精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位。解：（1）1、2(x) (x 1) 33 ，(1.5)0.18 1 ,故收斂;(3)選擇(X)(X)(1)：2x13x2

25、X01.5x ,(1.5)(1.5)3 1.520.17 1,故收斂;X5Xi1.324761.3572 X2x61.324721 ,故發(fā)散。1.3309 X3 1.3259 乂 1.3249? ? ?25、數(shù)值積分公式形如1oxf(x)dx S(x) Af (0) Bf(1) Cf (0) Df試確定參數(shù)A,B,C,D使公式代數(shù)精度盡量高；(2)設(shè)f(x)c4°,1,推導(dǎo)余項(xiàng)公式R(x)10xf(x)dx S(x)并估計(jì)誤差。23,一 A解：將f(x) 1,x,x ,x分布代入公式得：20，b20，b3o，d120H3(K) f(K)構(gòu)造Hermle插值多項(xiàng)式H3(x)滿足H3(x

26、) f (xi) i 0,1其中x。0,x11則有:1o xH3 (x)dx S(x)£fN ) 22f(x) H3(x)二宣* DR(x)10xf(x) S(x)dxf(4)()4!(x 1)2dx g4! 604!f(4)x3 (x 1)2dx144027、(10 分)已知數(shù)值積分公式為:.h2 .'.,f (x)dx - f (0) f (h) h f (0) f (h)21 ' l試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：f(x) 1顯然精確成立；f(x)f(x)f(x)所以,28、f (x)2x時(shí),3 x時(shí),4x時(shí),x時(shí),h

27、 2x dx0h 3 x dx0hx4dx0其代數(shù)精確度為hxdx0h33 h44h553。h22h 020h 02020h20 h h 122. 2._h h 0 2h1；h32 h2112 ；h3 h20 3h212；h4 h20 4h3126 ；(8分)已知求 嘉(a 0)的迭代公式為:1 , xk 1-(xkx00 k0,1,2xk是單調(diào)遞減的,證明：對(duì)一切k 12 從而迭代過(guò)程收斂。證明:1axk 1 二 d -)2xkaxk 一 xk、,a k0,1,2故對(duì)一切k 1,2, , Xk axk 11q-(1又xk2迭代過(guò)程收斂12(11)所以xk1 xk,即序列xk是單調(diào)遞減有下界，

28、從而29、(9分)數(shù)值求積公式 精度是多少解：是。因?yàn)閒(x)在基點(diǎn)f(x)dx 3f f(2)_2是否為插值型求積公式為什么其代數(shù)x 2x 1P(x)f (1) f(2)1、2處的插值多項(xiàng)式為122 133 .0 P(x)dx J f(2)其代數(shù)精度為1。30、(6分)寫出求方程4x 斂性。cos X1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收(6分)xn 1xn114cos xn，n=0,1,2,sin對(duì)任意的初值a 0，1,迭代公式都收斂。14432、(10分)用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分1 sin xdx的近似值，要求誤差限為31、(12 分)以 100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算了5的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差用Newton插值方法：差分表:100101211114412,115 10+(115-100)(115-100)(115-121)f''' xf'''R 115 100 115 121 1153!_ 50.5 10