數(shù)學(xué)函數(shù)求值域的12種好方法

1、.數(shù)學(xué)函數(shù)求值域的12種好方法一.觀察法通過(guò)對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。例1求函數(shù)y=3+2-3x的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出2-3x的值域。解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知2-3x0，故3+2-3x3。函數(shù)的值域?yàn)閥y3.點(diǎn)評(píng)：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：1被開方數(shù)的非負(fù)性，2值的非負(fù)性。此題通過(guò)直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對(duì)于一類函數(shù)的值域的求法，簡(jiǎn)捷明了，不失為一種巧法。練習(xí)：求函數(shù)y=x0x5的值域。答案：值域?yàn)椋?，1，2，3，4，5二.反函數(shù)法當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，那么其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。例2求函數(shù)y=x+1/x+

2、2的值域。點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。解：顯然函數(shù)y=x+1/x+2的反函數(shù)為:x=1-2y/y-1,其定義域?yàn)閥1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)閥y1,yR。點(diǎn)評(píng)：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法表達(dá)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。練習(xí)：求函數(shù)y=10x+10-x/10x-10-x的值域。答案：函數(shù)的值域?yàn)閥y1三.配方法當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域例3：求函數(shù)y=-x2+x+2的值域。點(diǎn)撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。解：由-x2+x+20,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤-1，2

3、。此時(shí)-x2+x+2=-x-1/22+9/40，9/40-x2+x+23/2,函數(shù)的值域是0,3/2點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的值域不但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。練習(xí)：求函數(shù)y=2x-5+15-4x的值域.答案:值域?yàn)閥y3四.判別式法假設(shè)可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無(wú)理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。例4求函數(shù)y=2x2-2x+3/x2-x+1的值域。點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。解：將上式化為y-2x2-y-2x+y-3=0*當(dāng)y2時(shí),由=y-22-4y-2x+y-30，

4、解得：2當(dāng)y=2時(shí),方程*無(wú)解。函數(shù)的值域?yàn)?點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程Fx,y=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=ax2+bx+c/dx2+ex+f及y=ax+b±cx2+dx+e的函數(shù)。練習(xí)：求函數(shù)y=1/2x2-3x+1的值域。答案：值域?yàn)閥-8或y0。五.最值法對(duì)于閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)y=fx,可求出y=fx在區(qū)間a,b內(nèi)的極值,并與邊界值fa.fb作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。例52x2-x-3/3x2+x+10,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)條件求出自變量x的取值范圍，將目的函數(shù)消元、

5、配方，可求出函數(shù)的值域。解：3x2+x+10，上述分式不等式與不等式2x2-x-30同解，解之得-1x3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x-1x3/2,z=-x-22+4且x-1,3/2,函數(shù)z在區(qū)間-1,3/2上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當(dāng)x=-1時(shí)，z=-5;當(dāng)x=3/2時(shí)，z=15/4。函數(shù)z的值域?yàn)閦-5z15/4。點(diǎn)評(píng)：此題是將函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對(duì)開區(qū)間，假設(shè)存在最值，也可通過(guò)求出最值而獲得函數(shù)的值域。練習(xí)：假設(shè)x為實(shí)數(shù)，那么函數(shù)y=x2+3x-5的值域?yàn)锳.-，+B.-7，+C.0，+D.-5，+；答案：D。六.圖象法通過(guò)觀察函

6、數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。例6求函數(shù)y=x+1+x-22的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉符號(hào)后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。解：原函數(shù)化為-2x+1x1y=3-12顯然函數(shù)值y3,所以，函數(shù)值域3，+。點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn)。利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，表達(dá)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問(wèn)題的重要方法。求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過(guò)不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。七.單調(diào)法利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。例7求函數(shù)y=4x-1-3xx1/3的值域。點(diǎn)撥：由的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即gx=-1-3x,y=fx+gx，其定義域?yàn)閤1/3，在此區(qū)間

7、內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。解：設(shè)fx=4x,gx=-1-3x,x1/3,易知它們?cè)诙x域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=fx+gx=4x-1-3x在定義域?yàn)閤1/3上也為增函數(shù)，而且yf1/3+g1/3=4/3,因此，所求的函數(shù)值域?yàn)閥|y4/3。點(diǎn)評(píng)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=3+4-x的值域。答案：y|y3八.換元法以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域。例8求函數(shù)y=x-3+2x+1的值域。點(diǎn)撥：通過(guò)換元將原函數(shù)

8、轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。解：設(shè)t=2x+1t0,那么x=1/2t2-1。于是y=1/2t2-1-3+t=1/2t+12-41/2-4=-7/2.所以，原函數(shù)的值域?yàn)閥|y-7/2。點(diǎn)評(píng)：將無(wú)理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法表達(dá)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用非常廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y=x-1x的值域。答案：y|y-3/4九.構(gòu)造法根據(jù)函數(shù)的構(gòu)造特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。例9求函數(shù)y=x2+4x+5+x2-4x+8的值域。點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識(shí)，確定出函數(shù)的值域。解：原

9、函數(shù)變形為fx=x+22+1+2-x2+22作一個(gè)長(zhǎng)為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個(gè)單位正方形。設(shè)HK=x,那么ek=2-x,KF=2+x,AK=2-x2+22,KC=x+22+1。由三角形三邊關(guān)系知，AK+KCAC=5。當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)。原函數(shù)的值域?yàn)閥|y5。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如函數(shù)y=x2+a±c-x2+ba,b,c均為正數(shù)，均可通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡(jiǎn)捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的表達(dá)。練習(xí)：求函數(shù)y=x2+9+5-x2+4的值域。答案：y|y52十.比例法對(duì)于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目的函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)的值

10、域。例10x,yR，且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。點(diǎn)撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。解：由3x-4y-5=0變形得，x3/4=y-1/3=kk為參數(shù)x=3+4k,y=1+3k,z=x2+y2=3+4k2+14+3k2=5k+32+1。當(dāng)k=-3/5時(shí)，x=3/5,y=-4/5時(shí)，zmin=1。函數(shù)的值域?yàn)閦|z1.點(diǎn)評(píng)：此題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過(guò)設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法表達(dá)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識(shí)。練習(xí)：x,yR，且滿足4x-y=0,求函數(shù)fx,y=2x2-y的值域。答

11、案：fx,y|fx,y1十一.利用多項(xiàng)式的除法例11求函數(shù)y=3x+2/x+1的值域。點(diǎn)撥：將原分式函數(shù)，利用長(zhǎng)除法轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式與一個(gè)分式之和。解：y=3x+2/x+1=3-1/x+1。1/x+10，故y3。函數(shù)y的值域?yàn)閥3的一實(shí)在數(shù)。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如y=ax+b/cx+d的形式的函數(shù)均可利用這種方法。練習(xí)：求函數(shù)y=x2-1/x-1x1的值域。答案：y2十二.不等式法例12求函數(shù)Y=3x/3x+1的值域。點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)自變量的取值范圍，構(gòu)造不等式。家庭是幼兒語(yǔ)言活動(dòng)的重要環(huán)境，為了與家長(zhǎng)配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作，孩子一入園就召開家長(zhǎng)會(huì)，給家長(zhǎng)提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我

12、把幼兒在園里的閱讀活動(dòng)及閱讀情況及時(shí)傳遞給家長(zhǎng)，要求孩子回家向家長(zhǎng)朗讀兒歌，表演故事。我和家長(zhǎng)共同配合，一道訓(xùn)練，幼兒的閱讀才能進(jìn)步很快。解：易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3x/1-x,由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知x/1-x0，1-x0。解得：01或y唐宋或更早之前，針對(duì)“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書學(xué)各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士，這與當(dāng)今“博士含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對(duì)那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者，又稱“講師?！敖淌诤汀爸叹瓰閷W(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)“律學(xué)“醫(yī)學(xué)“武學(xué)等科目的講授者；而后者那么于西晉武帝時(shí)代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國(guó)子、博士培養(yǎng)生徒?！爸淘诠糯粌H要作入流的學(xué)問(wèn)，其教書育人的職責(zé)也十清楚晰。唐代國(guó)子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教一席，也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代，只設(shè)國(guó)子監(jiān)國(guó)子學(xué)一科的“助教，其身價(jià)不謂顯赫，也稱得上朝廷要員。至此，無(wú)論是“博士“講師，還是“教授“助教，其今日老師應(yīng)具有的根本概念都具有了。