必修二空間幾何體的三視圖和直觀圖一校蔡遠(yuǎn)方

1、精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義講義編號(hào) 學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)： 課時(shí)數(shù)： 3 學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 學(xué)科教師： 課 題空間幾何體的三視圖和直觀圖授課日期及時(shí)段 教學(xué)目的1.掌握斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平設(shè)置的平面圖形的直觀圖；2.采用對(duì)比的方法了解在平行投影下畫(huà)空間圖形與在中心投影下畫(huà)空間圖形兩種方法的各自特點(diǎn)；教學(xué)內(nèi)容1、 課前檢測(cè)1下列說(shuō)法正確的是( )A相等的線段在直觀圖中仍然相等B若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行C兩個(gè)全等三角形的直觀圖一定也全等D兩個(gè)圖形的直觀圖是全等的三角形，則這兩個(gè)圖形一定是全等三角形.2對(duì)于一個(gè)底邊在x軸上的三角形，采用斜二測(cè)畫(huà)法作出其直觀圖， 其直觀圖面積是

2、原三角形面積的( ).A2倍 B倍 C倍 D倍3如圖所示的直觀圖，其平面圖形的面積為( ).A3 B6 CD 4一個(gè)平面的斜二測(cè)圖形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則原圖形的高是_.5利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的圖形，有下列說(shuō)法：三角形的直觀圖仍是三角形；正方形的直觀圖仍是正方形；平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形；菱形的直觀圖仍是菱形.其中說(shuō)法正確的序號(hào)依次是_.6關(guān)于“斜二測(cè)”直觀圖的畫(huà)法，有如下說(shuō)法：原圖形中平行于y軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于y軸，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的；畫(huà)與直角坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的必須是45°；在畫(huà)直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同；等腰三角形的直觀圖仍為等腰三角形；梯形的直觀圖仍然是

3、梯形；正三角形的直觀圖一定為等腰三角形.其中說(shuō)法正確的序號(hào)依次是_.BCB 或；、2、 知識(shí)梳理1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖（1）知識(shí)歸納1.中心投影與平行投影光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫做 ，中心投影的 交于一點(diǎn)在一束平行光線照射下形成的投影叫做 平行投影的 是平行的，在平行投影中，投影線 投影面時(shí)，叫做正投影，否則叫斜投影與投影面平行的平面圖形，在平行投影下得到的影子與原平面圖形全等；在中心投影下的影子與原平面圖形相似2.三視圖三視圖是觀察者從 觀察同一個(gè)幾何體畫(huà)出的空間幾何體圖形，三視圖包括 、 和 換言之，正視圖即從正面往投影面看所看到的圖；側(cè)視圖即從左面往投影面看所看到的圖；俯視

4、圖即從上面往投影面看所看到的圖知識(shí)歸納答案：1中心投影，光線；平行投影，光線，垂直于2從三個(gè)不同的位置，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖方法點(diǎn)撥1. 畫(huà)三視圖的基本方法(1)確定正視方向，確定投影面；(2)布置視圖，按三視圖的位置關(guān)系，畫(huà)各視圖的定位線，如中心線或某些邊線；(3)一般從正視圖畫(huà)起，按投影規(guī)律，再畫(huà)另兩個(gè)視圖(4)完成三視圖繪制，把能看見(jiàn)的輪廓線和棱用實(shí)線表示，不能看見(jiàn)的用虛線表示2.三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正視圖的下面，長(zhǎng)度與正視圖的長(zhǎng)度一樣；側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度與正視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣，可間記為“長(zhǎng)（左右距離）對(duì)正；高（上下距離）平齊；寬（前后距離）相等”或

5、“正側(cè)一樣高，正俯一樣長(zhǎng)，側(cè)俯一樣寬”如下圖是六棱柱的三視圖:3.幾種常見(jiàn)幾何體的三視圖(1)圓柱的正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖是一個(gè)圓；(2)圓錐的正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形，俯視圖是一圓和其圓心；(3)球的三視圖都是圓如下圖所示: (1)圓柱的三視圖(2)圓錐的三視圖(3)球的三視圖4.組合體的三視圖應(yīng)認(rèn)清結(jié)構(gòu)，把組合體分解成基本的幾何體，再按基本幾何體畫(huà)圖，并注意三視圖的位置和大小關(guān)系1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖（2）知識(shí)歸納1.直觀圖直觀圖是觀察者 觀察幾何體畫(huà)出的空間幾何體的圖形2.利用斜二側(cè)畫(huà)法畫(huà)空間圖形的平面直觀圖的一般步驟:建立直角坐標(biāo)系在已知水平放置的平面圖形中取互相

6、垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O畫(huà)出斜坐標(biāo)系在畫(huà)直觀圖的紙上（平面上）畫(huà)出對(duì)應(yīng)的，使 ，它們確定的平面表示水平平面畫(huà)對(duì)應(yīng)圖形在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于 ，且長(zhǎng)度 ；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于 ，且長(zhǎng)度 擦去輔助線圖畫(huà)好后，要擦去軸、軸及為畫(huà)圖添加的輔助線（虛線）3.立體圖形直觀圖的畫(huà)法畫(huà)立體圖形的直觀圖，在畫(huà)軸時(shí)，要多畫(huà)一條與平面垂直的軸且平行于的線段長(zhǎng)度 其他同平面圖形的畫(huà)法知識(shí)歸納答案：1.站在某一點(diǎn)2.450（或1350）；軸，保持不變，軸，為原來(lái)的一半；3.保持不變方法點(diǎn)撥1.利用斜二側(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的直觀圖的步驟:在已知圖形所在的空間中取水平

7、平面，作互相垂直的軸、，再作軸，使畫(huà)出與、對(duì)應(yīng)的軸，使所確定的平面表示水平平面已知圖形中，平行于軸、軸和軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于軸、軸和軸的線段，并使它們?cè)谒?huà)坐標(biāo)軸中的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同已知圖形中平行于軸和軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變；平行于軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半擦除作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖 2.應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題(1) 直觀圖與三視圖的區(qū)別繪制物體的直觀圖一般采用斜投影或中心投影，可以顯示空間幾何體的直觀形象，但作圖復(fù)雜，且線段長(zhǎng)度不如三視圖要求嚴(yán)格；而三視圖對(duì)線段的長(zhǎng)度有嚴(yán)格的規(guī)定，一般在工程制

8、圖中應(yīng)用廣泛(2)由直觀圖還原實(shí)際圖形將水平放置的平面圖形的直觀圖還原成原來(lái)的實(shí)際圖形，其作法就是逆用斜二測(cè)畫(huà)法，也就是使平行于軸的線段的長(zhǎng)度不變，而平行于軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍(3) 求直觀圖面積求直觀圖面積關(guān)鍵是依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，求出相應(yīng)的直觀圖的底邊和高，也就是在原來(lái)實(shí)際圖形中的高線，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成角且長(zhǎng)度為原來(lái)的一半的線段，以此為依據(jù)來(lái)求出相應(yīng)的高線即可3、 重難點(diǎn)突破 1.一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，那么這個(gè)幾何體是（ ） A B C D 解析：由正視圖可排除A、B、D，選C2.給出下列四個(gè)命題：平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)；空間圖形經(jīng)過(guò)中心投

9、影后，平行線可能變成了相交的直線；在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比；空間幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式上述命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4解析：由平行投影和中心投影的概念可知，以上四個(gè)命題均正確，選D3.如下圖，是幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是 解析：利用還原法，根據(jù)三視圖畫(huà)出它的立體圖形本題的立體圖形如上左圖所示，可知正確答案應(yīng)該是5個(gè)填54.如下右圖是由四個(gè)相同的小立方體組成的立體圖形的正視圖和側(cè)視圖，那么原立體圖形可能是 (把下圖中正確的立體圖形的序號(hào)都填在橫線上)解析：

10、分別作出四個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖，填5.如圖，設(shè)所給的方向?yàn)槲矬w的正視方向，試畫(huà)出它的三視圖（單位：cm）解：該幾何體的三視圖如下圖所示6.用三個(gè)正方體，一個(gè)圓柱，一個(gè)圓錐的積木擺成如圖所示的幾何體，其正視圖為( )解析：正視圖的左上方應(yīng)該是一個(gè)三角形選A7.甲、乙、丙、丁四人分別面對(duì)面坐在一個(gè)四邊形桌子旁邊，桌上一張紙上寫(xiě)著數(shù)字“9”，甲說(shuō)他看到的是“6”，乙說(shuō)他看到的是“”，丙說(shuō)他看到的是“”，丁說(shuō)他看到的是“9”，則下列說(shuō)法正確的是( )A.甲在丁的對(duì)面，乙在甲的左邊，丙在丁的右邊B.丙在乙的對(duì)面，丙的左邊是甲，右邊是乙C.甲在乙的對(duì)面，甲的右邊是丙，左邊是丁D.甲在丁的對(duì)面，乙在甲的

11、右邊，丙在丁的右邊解析：易得甲、乙、丙、丁四人位置如下圖所示，選D例8 利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的三角形的直觀圖一定是三角形；正方形的直觀圖一定是正方形；等腰梯形的直觀圖一定是等腰梯形；平行四邊形的直觀圖一定是平行四邊形以上結(jié)論正確的是（ ）A.B.C.D.解析:依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的要求，平行于軸的線段，在直觀圖中的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，則正方形的直觀圖不是正方形，等腰梯形的直觀圖不是等腰梯形故錯(cuò)誤，正確，選B評(píng)注: 斜二測(cè)畫(huà)法保持平行性和相交性不變，即平行直線的直觀圖仍是平行直線，相交直線的直觀圖仍是相交直線例9一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二側(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形

12、，則這個(gè)平面圖形的面積是（ ）A B C D 解析：如圖，在直觀圖ABCD中，CDAD1、，因此，在原平面圖ABCD中，AB、CD1，AD2故梯形ABCD的面積選D評(píng)注:用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的水平放置的平面圖形的直觀圖的面積是原圖形面積的倍或本題可以用該結(jié)論解為：由已知可得等腰梯形的高為、下底長(zhǎng)為、其面積為，根據(jù)結(jié)論，有原平面圖形的面積為例10如圖1，表示水平放置的直觀圖，在軸上，與軸垂直，且，則的邊上的高為 圖1 圖2解析：如圖2，過(guò)作平行于軸，交點(diǎn)為，則在中，=，所以的邊上的高為填評(píng)注: 要求實(shí)際圖形的高，需在直觀圖中過(guò)頂點(diǎn)作與軸的平行線，求出其長(zhǎng)度，再將所求長(zhǎng)度變?yōu)閮杀都纯善鋵?shí)由結(jié)論，原三角

13、形的高是直觀圖中的三角形高的倍即可得到例11用斜二測(cè)畫(huà)法作出長(zhǎng)為3cm、寬為4cm的矩形的直觀圖分析：用斜二測(cè)畫(huà)法，即在已知圖形所在的空間中取水平平面，作軸，軸使，然后依據(jù)平行投影的有關(guān)性質(zhì)逐一作圖解：（1）在矩形ABCD中取AB、AD所在邊分別為軸與軸，相交于O點(diǎn)（O與A重合），畫(huà)對(duì)應(yīng)軸、軸使；（2）在軸上取 A、B使AB=AB，在軸上取D，使AD=AD，過(guò)D作DC平行軸的直線，且等于DC的長(zhǎng)；（3）連結(jié)CB，所得的四邊形ABCD 就是矩形ABCD的直觀圖評(píng)注：要盡量運(yùn)用原有直線為坐標(biāo)軸或圖形的對(duì)稱直線為坐標(biāo)軸，或利用圖形的對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)或原有垂直正交的直線為坐標(biāo)軸例11畫(huà)出底面是正五邊形且側(cè)

14、棱與底面垂直的五棱柱的直觀圖，使底面邊長(zhǎng)為3cm側(cè)棱長(zhǎng)為5cm分析：先畫(huà)個(gè)正五邊形，再利用斜二測(cè)畫(huà)法作底面為正五邊形的直觀圖，而后沿平行于軸方向平移即可得解：作法如下：（1）畫(huà)軸：畫(huà)、軸，記坐標(biāo)原點(diǎn)為，使；（2）畫(huà)底面：建立直角坐標(biāo)系，按軸、軸畫(huà)正五邊形的直觀圖；（3）畫(huà)側(cè)棱：過(guò)各點(diǎn)分別作軸的平行線，并在這些平行線上分別截取，使它們都等于5cm；（4）成圖：順次連結(jié)，并加以整理，去掉輔助線，改被遮擋的部分為虛線，就得到原幾何體的直觀圖評(píng)注：(1)用此方法可以依次畫(huà)出棱錐、棱柱、棱臺(tái)等多面體的直觀圖；(2)用斜二測(cè)畫(huà)法作立體圖形的直觀圖，原圖形的高在直觀圖中不變；(3)畫(huà)幾何體的直觀圖時(shí)，如果不

15、做嚴(yán)格要求，圖形尺寸可以適當(dāng)選取，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)圖的角度可以自定，但是要求圖形具有一定的立體感4、 課堂練習(xí)1、畫(huà)出水平放置的等邊三角形的直觀圖. 解：畫(huà)法，如圖：(1)在三角形ABC中，取AB所在直線為x軸，AB邊的高所在直線為y軸；畫(huà)出相應(yīng)的軸和軸，兩軸交于點(diǎn)，且使；(2)以為中點(diǎn)，在軸上取，在軸上取；(3)連接、，并擦去輔助線軸和軸，便獲得正ABC的直觀圖.斜二測(cè)畫(huà)法的作圖技巧：1.在已知圖中建立直角坐標(biāo)系，理論上在任何位置建立坐標(biāo)系都行，但實(shí)際作圖時(shí)，一般建立特殊的直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用原有直線為坐標(biāo)軸或圖形的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，以線段的中點(diǎn)或圖形的對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)；2.在原圖中平行于軸和軸的線

16、段在直觀圖中仍然平行于軸和軸，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫(huà)出線段的端點(diǎn)再連線，畫(huà)端點(diǎn)時(shí)利用與坐標(biāo)軸平行的線段；3.畫(huà)立體圖形的直觀圖，在畫(huà)軸時(shí)，要再畫(huà)一條與平面垂直的軸，平行于軸的線段長(zhǎng)度保持不變.舉一反三：【變式1】等腰梯形ABCD，上底邊CD=1，腰，下底AB=3，按平行于上下底邊取x軸，則直觀圖的面積是多少？思路點(diǎn)撥：由平面圖準(zhǔn)確的畫(huà)出直觀圖是解題的關(guān)鍵；解：1.以等腰梯形的下底邊所在直線為x軸，以過(guò)D點(diǎn)的高所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系；過(guò)C點(diǎn)做垂直于AB的直線與AB相交于點(diǎn)E；DC=1，AB=3，AO=OE=EB=DO=1；2.建立坐標(biāo)系，在軸上取，且，在軸上取線段；過(guò)點(diǎn)做

17、；連接和，則梯形為等腰梯形ABCD的直觀圖；3.過(guò)點(diǎn)做垂直于下底邊的垂線段，則為等腰直角三角形，斜邊，所以梯形的高； 4.梯形面積.【變式2】正方形的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是多少？思路點(diǎn)撥：由直觀圖畫(huà)原圖的過(guò)程與原圖畫(huà)直觀圖的過(guò)程相反，即1.直觀圖中平行于軸和軸的線段在原圖中分別為平行于軸和軸的線段；2.直觀圖中平行于軸的線段，在原圖中保持長(zhǎng)度不變；平行于軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍.解：1.建立平面直角坐標(biāo)系，在x軸上取；2.為正方形的對(duì)角線，且在軸上，則，所以在y軸上??；3.取，且平行于x軸；4.連接AB、CO，所得圖形OABC即為直觀圖的原圖；四邊形

18、OABC為平行四邊形；5.因?yàn)?，由勾股定理，BA=3，所以平行四邊形OABC周長(zhǎng)為8.例2、一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，試建立容器的容積V與底邊邊長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式. 解：如圖，在中，所以，.3、一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，求這個(gè)正三棱柱的表面積. 解：由三視圖知正三棱柱的高為2mm.由左視圖知正三棱柱的底面三角形的高為.設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則， . 正三棱柱的表面積為.五、課堂小結(jié)1.用來(lái)表示空間圖形的平面圖形叫作空間圖形的直觀圖；2.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的步驟：(1)建系：在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系，畫(huà)直觀

19、圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸和軸，兩軸交于點(diǎn)，且使(或)；(2)位置關(guān)系：已知圖形中平行于軸和軸的線段在直觀圖中分別畫(huà)成平行于軸和軸的線段；(3)長(zhǎng)度規(guī)則：已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.六、課后作業(yè)A組1.下列關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖說(shuō)法，不正確的是（ ）A在實(shí)物圖中取坐標(biāo)系不同，所得的直觀圖有可能不同B平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標(biāo)軸C平行于坐標(biāo)軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中仍然保持不變D斜二測(cè)坐標(biāo)系取的角可能是135°解析： 平行于軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的二分之一，選C2.如圖所示的直觀圖表示的平面圖形為（ ）A.等腰

20、直角三角形B.銳角三角形C.非等腰直角三角形D.不能確定解析：與軸平行，可判定平面圖形為直角三角形，但非等腰直角三角形，選C3.已知的平面直觀圖是邊長(zhǎng)為的正三角形，那么原的面積為 解析：根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，正三角形的邊長(zhǎng)是原三角形的底邊長(zhǎng)，如圖，過(guò)作軸的平行線與軸交于點(diǎn)，則；又是原的高的直觀圖，所以=，故填4.下列說(shuō)法中:角的水平放置直觀圖一定是角；相等的角在直觀圖中仍然相等；兩條相交直線的直觀圖可能平行；水平放置的正方形的直觀圖可能是梯形；)互相垂直的兩條直線的直觀圖仍然互相垂直其中正確的是 解析: 對(duì)于，角在直觀圖中仍是角，只不過(guò)是大小變了；對(duì)于，相等的角在直觀圖中未必相等；對(duì)于，相交直線的直觀圖仍然相交； 對(duì)于，水平放置的正方