數(shù)學北京市各區(qū)一模試題分類解析18空間幾何體已整理

1、2011年北京市各區(qū)一模試題分類解析：空間幾何體 第一部分 三視圖1（2011西城一模理12）.一個棱錐的三視圖如圖所示，則這個棱錐的體積為_.正(主)視圖俯視圖側(cè)(左)視圖3443332（2011西城一模文正(主)視圖俯視圖側(cè)(左)視圖3443335）一個棱錐的三視圖如圖所示，則這個棱錐的體積是 （A）（B）（C）（D）側(cè)視圖正視圖1俯視圖3（2011朝陽一模理6）已知某個三棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖是等邊三 角形，側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是等腰直角三角形，則此三棱錐的體積等于 （B） （A） （B） （C） （D）4（2011門頭溝一模理2主視圖左視圖俯視圖1113）2主視圖左視圖

2、俯視圖111一幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是(A) (B) (C) (D) 5（2011石景山一模理4）一個空間幾何體的三視圖及部分數(shù)據(jù)如圖所示（單位：），則這個幾何體的體積是（ ）A B C D 6（2011朝陽一模文正視圖俯視圖側(cè)視圖16.）已知三棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖為直角三角形，俯視圖為等腰直角三角形，則此三棱錐的體積等于（B）（A） （B） （C） （D）7（2011豐臺文ABCDOEA1B1C1D15）如圖所示，O是正方體ABCD-A1B1C1D1對角線A1C與AC1的交點，E為棱BB1的中點，則空間四邊形OEC1D1在正方體各面上的正投影不可能是(A) (

3、A) (B) (C) (D)8（2011海淀一模文11）. 如圖，在正方體中，點P是上底面內(nèi)一動點，則三棱錐的主視圖與左視圖的面積的比值為_1_. 9(2011門頭溝一模文10).一幾何體的三視圖如左下圖所示，則該幾何體的體積是 俯視圖1015主視圖左視圖1010（第10題圖）10（2011石景山一模文4）一個空間幾何體的三視圖及部分數(shù)據(jù)如圖所示（單位：），則這個幾何體的表面積是（ ）A BC D9（）第二部分 立體幾何1（2011西城一模文6）對于平面和異面直線，下列命題中真命題是（A）存在平面，使，（B）存在平面，使，（C）存在平面，滿足，（D）存在平面，滿足，2（2011東城一模理8）空

4、間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離已知平面，兩兩互相垂直，點，點到，的距離都是，點是上的動點，滿足到的距離是到到點距離的倍，則點的軌跡上的點到的距離的最小值是（C）（A） （B） （C） （D）3（2011西城一模理8）如圖，四面體的三條棱兩兩垂直，,，為四面體外一點.給出下列命題.不存在點,使四面體有三個面是直角三角OABDC形不存在點,使四面體是正三棱錐存在點,使與垂直并且相等存在無數(shù)個點,使點在四面體的外接球面上其中真命題的序號是（A）（B）（C）（D）4（2011東城一模文4）給定下列四個命題：若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一

5、個平面都平行，則這兩個平面平行；若兩個平面都垂直于同一條直線，則這兩個平面平行；若兩個平面互相垂直，則在其中一個平面內(nèi)的直線垂直另外一個平面；若兩個平面互相平行，則在其中一個平面內(nèi)的直線平行另外一個平面其中為真命題的是（A）和 （B）和 （C）和 （D）和5（2011東城一模文8）空間點到平面的距離如下定義：過空間一點作平面的垂線，該點和垂足之間的距離即為該點到平面的距離平面，兩兩互相垂直，點，點到，的距離都是，點是上的動點，滿足到的距離是到到點距離的倍，則點的軌跡上的點到的距離的最小值為（A） （B） （C） （D）3（2011豐臺一模理5）設m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面有下列四

6、個命題： 若，則； 若/，則m /； 若，則； 若，則其中正確命題的序號是(D)(A) (B) (C)(D) 4(2011海淀一模理5)已知平面，是內(nèi)不同于的直線，那么下列命題中錯誤的是 DA若，則 B若，則C若，則 D若，則 5(2011門頭溝一模理8)對于四面體，有如下命題 棱與所在的直線異面；過點作四面體的高，其垂足是的三條高線的交點；若分別作和的邊上的高，則這兩條高所在直線異面；分別作三組相對棱的中點連線，所得的三條線段相交于一點，其中正確的是(A) (B) (C) (D) 6(2011豐臺文7)設m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面有下列四個命題： 若，則； 若/，則m /； 若

7、，則； 若，則其中正確命題的序號是(D)(A) (B) (C) (D) 6(2011朝陽一模文5)已知a，b是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面,下列命題中正確的是（C）（A） ，則（B） a，則（C） ，則（D） 當，且時，若，則7(2011門頭溝一模文4).已知直線，平面，且，那么“”是“”的A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件2（）3（）4（）解答1（2011西城一模理17）.（本小題滿分13分）ABCDFE如圖, 是邊長為的正方形，平面，與平面所成角為.()求證：平面；()求二面角的余弦值；（）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得平面

8、，并證明你的結(jié)論.()證明： 因為平面，yBCAEzDFxM所以. 2分因為是正方形，所以，從而平面. 4分()解：因為兩兩垂直，所以建立空間直角坐標系如圖所示.因為與平面所成角為，即， 5分所以.由可知，. 6分則，所以， 7分設平面的法向量為，則，即，令，則. 8分因為平面，所以為平面的法向量，所以. 9分因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為. 10分()解：點是線段上一個動點，設.則，因為平面，所以， 11分即，解得. 12分此時，點坐標為，符合題意. 13分2（2011西城一模文16）. （本小題滿分13分）ABCDFE如圖所示，正方形與直角梯形所在平面互相垂直，.()求證：平面；(

9、)求證：平面；（）求四面體的體積.()證明：因為平面平面，所以平面， 2分所以. 3分因為是正方形，所以，所以平面. 4分()證明：設，取中點，連結(jié)，所以，. 5分因為，所以， 6分從而四邊形是平行四邊形，. 7分因為平面,平面, 8分所以平面，即平面. 9分（）解：因為平面平面，,所以平面. 11分因為,，所以的面積為， 12分所以四面體的體積. 3（2011東城一模理16）（本小題共14分）已知四棱錐的底面是菱形，與交于點，分別為，的中點OECABDPH（）求證：平面；（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值 （）證明：因為，分別為，的中點， 所以OECDBAPH 又平面,平面 所以

10、平面（）證明：連結(jié)， 因為，所以在菱形中，又因為，所以平面又平面，所以在直角三角形中，所以又，為的中點，所以又因為所以平面（）解：過點作，所以平面如圖，以為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系可得，所以，設是平面的一個法向量，則，即，令，則設直線與平面所成的角為，可得所以直線與平面所成角的正弦值為4（2011東城一模文16）（本小題共13分）已知四棱錐的底面是菱形，為的中點（）求證：平面；（）求證：平面平面（）證明：因為，分別為，的中點， 所以 因為平面 平面 所以平面6分（）證明：連結(jié) 因為，所以在菱形中，因為所以平面 因為平面 所以平面平面 13分5（2011朝陽一模理16）（本小題滿分

11、13分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，側(cè)面底面. 若.（）求證：平面；ABPCD（）側(cè)棱上是否存在點，使得平面？若存在，指出點 的位置并證明，若不存在，請說明理由；（）求二面角的余弦值.解法一：（）因為 ，所以.又因為側(cè)面底面，且側(cè)面底面，所以底面.而底面，所以. 在底面中，因為，所以 ， 所以. 又因為， 所以平面. 4分（）在上存在中點，使得平面， EFABPCD證明如下：設的中點是， 連結(jié)，則，且.由已知，所以. 又，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以. 因為平面，平面，GHABPCD所以平面. 8分（）設為中點，連結(jié)，則 .又因為平面平面，所以 平面.過作于，連結(jié)，由三垂線

12、定理可知.所以是二面角的平面角.設，則, .在中，所以.所以 ，.即二面角的余弦值為. 13分zyxABPCD解法二：因為 ，所以.又因為側(cè)面底面，且側(cè)面底面，所以 底面.又因為，所以，兩兩垂直.分別以，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖.設，則，. （），,所以 ，所以，.又因為， 所以平面. 4分（）設側(cè)棱的中點是， 則，. 設平面的一個法向量是，則 因為，所以 取，則.所以， 所以.因為平面，所以平面. 8分（）由已知，平面，所以為平面的一個法向量.由（）知，為平面的一個法向量.設二面角的大小為，由圖可知，為銳角，所以.即二面角的余弦值為. 13分6(2011豐臺一模理16.)（本小題

13、共14分）PABCDQM如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD/BC，ADC=90°，平面PAD底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（）若點M是棱PC的中點，求證：PA / 平面BMQ；（）求證：平面PQB平面PAD； （）若二面角M-BQ-C為30°，設PM=tMC，試確定t的值 證明：（）連接AC，交BQ于N，連接MN 1分BCAD且BC=AD，即BCAQ四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點，又點M在是棱PC的中點， MN / PA 2分 MN平面MQB，PA平面MQB，3分 PA / 平面MB

14、Q 4分（）AD / BC，BC=AD，Q為AD的中點，四邊形BCDQ為平行四邊形，CD / BQ 6分ADC=90° AQB=90° 即QBAD又平面PAD平面ABCD且平面PAD平面ABCD=AD， 7分BQ平面PAD 8分BQ平面PQB，平面PQB平面PAD 9分另證：AD / BC，BC=AD，Q為AD的中點 BC / DQ 且BC= DQ， 四邊形BCDQ為平行四邊形，CD / BQ ADC=90° AQB=90° 即QBAD 6分 PA=PD， PQAD 7分 PQBQ=Q，AD平面PBQ 8分 AD平面PAD，平面PQB平面PAD 9分（）

15、PA=PD，Q為AD的中點， PQADPABCDQMNxyz平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD10分（不證明PQ平面ABCD直接建系扣1分）如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系則平面BQC的法向量為；，11分設，則， ， 12分在平面MBQ中， 平面MBQ法向量為 13分二面角M-BQ-C為30°， ， 14分7(2011海淀一模理16). （本小題共14分）在如圖的多面體中，平面，,，是的中點() 求證：平面；() 求證：；() 求二面角的余弦值. 解：()證明：，. 又,是的中點， ， 四邊形是平行四邊形， . 2分 平面，平面， 平面. 4

16、分() 解法1證明：平面，平面， 又，平面， 平面. 5分過作交于，則平面.平面， . 6分，四邊形平行四邊形，又，四邊形為正方形， ， 7分又平面，平面,平面. 8分平面,. 9分解法2平面，平面，平面，又,兩兩垂直. 5分以點E為坐標原點，分別為軸建立如圖的空間直角坐標系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），（2，2，0）. 6分，7分, 8分. 9分()由已知得是平面的法向量. 10分設平面的法向量為，即，令,得. 12分設二面角的大小為，則， 13分二面角的余弦值為 14分8(2011門頭溝一模理16)（本小題滿分14分）APDCO

17、B 已知四棱錐的底面為菱形，且，與相交于點.（）求證：底面；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）若是上的一點，且，求的值xzyAPDCOB （）證明：因為為菱形，所以為的中點1分因為,所以所以底面 3分（）因為為菱形，所以建立如圖所示空間直角坐標系又得 4分所以 ,5分設平面的法向量有 所以解得所以 8分 9分與平面所成角的正弦值為 10分（）因為點在上,所以所以,因為所以,得 解得所以 9（2011石景山一模理17） （本小題滿分14分）如圖，在棱長為的正方體中，分別為和的中點（）求證：平面；（）求異面直線與所成的角的余弦值；（）在棱上是否存在一點，使得二面角的大小為?若存在，求出的長；若不

18、存在，請說明理由解：如圖分別以所在的直線為 軸、軸、軸建立空間直角坐標系，由已知得， 2分（）取中點，則， 又，由，與共線從而，平面， 平面，平面 6分（），異面直線與所成角的余弦值為 9分（）假設滿足條件的點存在，可設點（），平面的一個法向量為， 則 ，取 11分易知平面的一個法向量，依題意知， 或，即，解得13分，在棱上存在一點，當?shù)拈L為時，二面角的大小為 14分10(2011朝陽一模文17)（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，側(cè)面底面，. 若.（）求證：平面；ABPCDE（）設側(cè)棱的中點是，求證：平面.解：（）因為 ，ABPCDE所以.又因為側(cè)面底面，且側(cè)面底面，所

19、以底面.而底面，所以.在底面中，因為，所以 ， 所以. 又因為， 所以平面. 6分EFABPCD（）設側(cè)棱的中點為， 連結(jié)，則，且.由已知，所以. 又，所以. 且.所以四邊形為平行四邊形，所以. 因為平面，平面，所以平面. 13分11(2011豐臺文16)（本小題共13分）PABCDQM 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，AD/BC，ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q為AD的中點（）求證：AD平面PBQ； （）若點M在棱PC上，設PM=tMC，試確定t的值，使得PA/平面BMQ證明：（）AD / BC，BC=AD，Q為AD的中點，PABCDQMN 四邊形BCDQ為平行四邊形， 2分CD / BQ ADC=90° ， AQB=90° ， 即QBAD 3分 PA=PD，Q為AD的中點， PQAD 4分 PQBQ=Q ， 5分AD平面PBQ 6分（）當時，PA/平面BMQ （沒寫結(jié)論扣2分） 8分連接AC，交BQ于N，連接MNBCDQ，四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中