數(shù)學(xué)建模真題 艾滋病

1、艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目學(xué)生姓名：劉琰博（專升本051班）指導(dǎo)老師：張國(guó)志摘要：目前控制愛滋病的主要手段就是盡量減少愛滋病毒（HIV）在人體內(nèi)的數(shù)量，所以本文根據(jù)美國(guó)愛滋病醫(yī)療機(jī)構(gòu)所給的兩組數(shù)據(jù)（附件1和附件2），運(yùn)用Excel及Matlab軟件對(duì)其進(jìn)行處理，分別擬合出CD4和HIV的濃度隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式和問題中所給4種療法中CD4的變化圖象，然后利用Logistic模型，穩(wěn)定性模型，最大曲邊面積模型及層次分析法可分別得到同時(shí)服用3種藥物的病人的最佳治療終止時(shí)間是167.4117周；在4種療法中療法三對(duì)30歲以下的患者效果最好，療法四對(duì)30歲以上的患者效果最

2、好；考慮4種療法的費(fèi)用后，療法一是最經(jīng)濟(jì)的關(guān)鍵詞：CD4細(xì)胞；HIV；最佳治療時(shí)間；抑制率；相對(duì)增長(zhǎng)率；對(duì)比圖；預(yù)測(cè)目錄1問題的提出 12問題的解決 22.1 問題的假設(shè) 2 2.2 符號(hào)說明 2 2.3 問題分析 2 2.4 模型的建立與求解 33模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn) 8 3.1 模型的評(píng)價(jià) 8 3.2 模型的改進(jìn) 9參考文獻(xiàn) 10The Evaluation of The Therapy of AIDS and Prediction of Its Curative EffectThe topic of china undergraduate mathematics contest in mod

3、elingStudent：Liu Yan-bo (Class 051)Instructor：Zhang Guo-zhiAbstract：Currently，the main means which controls AIDS is to decreas as much as possible the amount of HIV in the human bodySo the article is relate to two sets of data from the AIDS medical treatment organization of the United States (access

4、ory 1 and accessory 2)，then using the Excel and Matlab software to deal with them，and respectively get the function which responses a change about the density of CD4 ad HIV going along with time，and the picture on a change about 4 kinds of therapies in the problemThen make use of Logistic model，stab

5、ility model，the biggest area model of covering with the curve，and the method of analysis in layers can get the best treatments terminate time for the patient who take 3 kinds of medicine at the same time is 167.4116 weeks；Among the 4 kinds of therapies，the third one is the best one for the patient u

6、nder the age of 30 and the forth one is the best one for the patient over the age of 30；when considering the expenses of the 4 kinds of therapies，the first one is the most profitableKey words：CD4 cell；HIV；The best treatment time；Repress rate；Opposite growth rate；Contrast diagram；Estimate1問題的提出艾滋病是當(dāng)前

7、人類社會(huì)最嚴(yán)重的瘟疫之一，它的醫(yī)學(xué)全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡(jiǎn)稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學(xué)全名為“人體免疫缺損病毒”，英文簡(jiǎn)稱HIV）引起的這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴(yán)重危害人的生命人類免疫系統(tǒng)的CD4細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當(dāng)CD4被HIV感染而裂解時(shí)，其數(shù)量會(huì)急劇減少，HIV將迅速增加，導(dǎo)致AIDS發(fā)作 艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時(shí)產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力迄今為止人類還沒有找到能根治AIDS的療法，目前的一些AIDS療法不僅對(duì)人體有副作用，而且成本也很高許多國(guó)

8、家和醫(yī)療組織都在積極試驗(yàn)、尋找更好的AIDS療法現(xiàn)在得到了美國(guó)艾滋病醫(yī)療試驗(yàn)機(jī)構(gòu)ACTG公布的兩組數(shù)據(jù) ACTG320（見附件1）是同時(shí)服用zidovudine（齊多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韋）3種藥物的300多名病人每隔幾周測(cè)試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數(shù)量）193A（見附件2）是將1300多名病人隨機(jī)地分為4組，每組按下述4種療法中的一種服藥，大約每隔8周測(cè)試的CD4濃度（這組數(shù)據(jù)缺HIV濃度，它的測(cè)試成本很高）4種療法的日用藥分別為：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羥基苷），這兩種藥按月輪換使用

9、；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他濱）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韋拉平）請(qǐng)你完成以下問題：（1）利用附件1的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間（繼續(xù)治療指在測(cè)試終止后繼續(xù)服藥，如果認(rèn)為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）（2）利用附件2的數(shù)據(jù)，評(píng)價(jià)4種療法的優(yōu)劣（僅以CD4為標(biāo)準(zhǔn)），并對(duì)較優(yōu)的療法預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間（3）艾滋病藥品的主要供給

10、商對(duì)不發(fā)達(dá)國(guó)家提供的藥品價(jià)格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元如果病人需要考慮4種療法的費(fèi)用，對(duì)（2）中的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)（或者提前終止）有什么改變2問題的解決2.1問題的假設(shè)1.在適合的條件下，HIV獨(dú)立生存是以指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)2.在適合的條件下，CD4細(xì)胞獨(dú)立生存是以二分裂的形式增長(zhǎng)3.CD4細(xì)胞均無記憶性 4.病人服用藥物后直接作用于CD4細(xì)胞，增加CD4細(xì)胞的數(shù)量來抑制HIV5.人群的年齡最大可以達(dá)到70歲6.四個(gè)星期為一個(gè)月，

11、一個(gè)月為30天2.2符號(hào)說明x(t)：t時(shí)刻HIV的數(shù)量 y(t)：t時(shí)刻CD4細(xì)胞的數(shù)量 ：HIV的相對(duì)增長(zhǎng)率（為常量）：CD4細(xì)胞的固有增長(zhǎng)率（為常量）：病人服用問題（1）中所提到的藥物進(jìn)入人體后人體內(nèi)CD4細(xì)胞數(shù)量的增長(zhǎng)率：每周每個(gè)CD4細(xì)胞對(duì)HIV的抑制數(shù)量與HIV數(shù)量的比例系數(shù),即抑制率（為常量）：每周每個(gè)單位的HIV對(duì)CD4細(xì)胞的感染和裂解的數(shù)量與CD4細(xì)胞數(shù)量的比例系數(shù)（為常量）：第（1，2，3，4）種藥物的費(fèi)用 ：第（1，2，3，4）種療法的費(fèi)用 2.3 問題分析問題（1）的分析：因?yàn)閱栴}（1）是要預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳的治療終止時(shí)間同時(shí)由已知條件中可知在人類免疫系統(tǒng)

12、中CD4細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起著重要的作用，即是說CD4細(xì)胞對(duì)HIV有著一定的抵制作用，在一定程度上可以控制HIV的增長(zhǎng)，而HIV又會(huì)對(duì)CD4細(xì)胞感染裂解，根據(jù)這些關(guān)系列出模型，同時(shí)可以從數(shù)據(jù)中分析得到CD4細(xì)胞及HIV與時(shí)間變化的關(guān)系，從而可確定出最佳治療時(shí)間就是要確定什么時(shí)間的時(shí)候CD4細(xì)胞的數(shù)量和HIV的數(shù)量保持平衡，即在此時(shí)CD4細(xì)胞不在減少且HIV的數(shù)量不再增加 問題（2）的分析：在附件2中給出了年齡這個(gè)變量，以及CD4的log(cd4 count+1)的值，可以預(yù)測(cè)到結(jié)果當(dāng)中應(yīng)該是不同療法的療效與年齡這個(gè)變量有關(guān)對(duì)于給出的大量數(shù)據(jù)，要求解出哪種療法具有更好的療效，我們可以通過對(duì)

13、大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，從而找出CD4與測(cè)量時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，擬合出圖象，對(duì)圖象進(jìn)行分析，預(yù)測(cè)在該年齡階段哪種療法更好，并預(yù)測(cè)該療法繼續(xù)治療的效果問題（3）的分析：可以認(rèn)為問題（3）是對(duì)問題（2）的補(bǔ)充，需要進(jìn)一步考慮費(fèi)用問題，可以考慮引用層次分析模型來解決該問題2.4模型的建立和求解 模型I因?yàn)镃D4細(xì)胞與HIV在病人體內(nèi)的增加與減少都是相互制約的，所以該模型是一種相互作用的模型，它是對(duì)Logistic規(guī)律的推廣應(yīng)用，從而對(duì)于HIV規(guī)模的變化情況的方程就為，同時(shí)對(duì)CD4細(xì)胞數(shù)量就滿足下面的方程，這樣便可以得到CD4細(xì)胞與HIV相互作用的數(shù)學(xué)模型這是一個(gè)非線形微分方程組,對(duì)此進(jìn)行討論:令解得系統(tǒng)的兩

14、個(gè)平衡位置為 (0，0)， ，作變換:，,將坐標(biāo)系平移，系統(tǒng)化為在所作變換下，點(diǎn)變?yōu)?0，0)，它是上式所對(duì)應(yīng)線形系統(tǒng)的中心點(diǎn)系統(tǒng)的解，都是周期解盡管CD4細(xì)胞和HIV的規(guī)模在周期時(shí)間內(nèi)的平均值卻分別保持常數(shù)，而且正好分別等于平衡位置處CD4細(xì)胞和HIV的規(guī)模，即 ， ，其中為周期解，的周期，這里的周期即為所求因?yàn)镃D4細(xì)胞增長(zhǎng)是屬于兩分裂的，所以它在單位時(shí)間內(nèi)自身的固有增長(zhǎng)率b1根據(jù)附件1中所給的數(shù)據(jù)，剔除掉一些數(shù)量殘缺的數(shù)據(jù)后對(duì)剩余數(shù)據(jù)中有規(guī)律的數(shù)據(jù)通過Matlab程序進(jìn)行六維擬合得到CD4細(xì)胞數(shù)量及HIV數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系的圖象及函數(shù)表達(dá)式如下： 圖2-1 CD4細(xì)胞數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系，圖2

15、-2 HIV的數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系，然后將，的表達(dá)式帶入到上面的非線形微分方程組的數(shù)學(xué)模型中取三組數(shù)：5.7211，2.9631；3.1792， 127.168； 3.4017， 134.9535；則可計(jì)算出各未知系數(shù)的值：0.7103，0.0230，代入由周期式，得周期（即最佳終止用藥時(shí)間）T=167.4116周模型II利用Excel軟件對(duì)附件2中的大量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出每種療法中患者的數(shù)量，這樣就將全部患者按療法分成四組，分別對(duì)每組數(shù)據(jù)按年齡進(jìn)行排序，便于研究我們將年齡分成030，3040歲，4050歲，5070歲四個(gè)階段然后按比例隨機(jī)抽取不同年齡的患者，分析他們體內(nèi)CD4細(xì)胞的數(shù)量，從而也就可以擬合

16、出每個(gè)固定的測(cè)量時(shí)刻CD4細(xì)胞數(shù)量與年齡的變化曲線關(guān)系，也即分別作出在t=0，t=8，t=16，t=24，t=32，t=40（單位：周）時(shí)刻時(shí)的圖形圖形如下： 圖2-1 圖2-2 圖2-3 圖2-4 圖2-5 圖2-6對(duì)六個(gè)圖形進(jìn)行數(shù)據(jù)的分析，我們利用曲線的面積模型，各種療法在以上六幅圖中各個(gè)不同的年齡段曲線所覆蓋的面積，所得的面積就是該年齡段所測(cè)量的時(shí)刻患者體內(nèi)CD4細(xì)胞的總數(shù)量，然后得到每種療法在我們所取的各個(gè)年齡段中，患者體內(nèi)CD4細(xì)胞的總數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系（見表2，其中每個(gè)表格第一行表示測(cè)量時(shí)刻，以下的數(shù)據(jù)表示所得的面積值）表2-1 三十歲以下0816243240療法一4013.8325

17、665.7-254.2-2018.892010.339-7699.21療法二6091.7-3729.94.31-1337.5290.8111492.905療法三-824.5-815.646321714.8786416.642-2090.74療法四1563.239762523.783.742315.279-2090.74表2-2 三十歲-四十歲年齡段0816243240療法一60.2711.766779.97675.439-75.196療法二-684.2-558.76.3-688.015-147.327-281.312療法三123.7393.6-313.3-75.961127.874409.52

18、5療法四-90.7477.2166.466.321607.399409.525表2-3 四十歲-五十歲年齡段0816243240療法一1174.712663.910999.912888.9111826.33-2669.24療法二-10993.2-10483.29832.2-12516.2-3079.86-4652.92療法三1743.26213.1-5518.2-1337.822620.2985362.951療法四-1935.587032347.6729.5919962.6995362.95表2-4 五十歲-七十歲年齡段0816243240療法一120.41875.21742.6136.191

19、1587.2191049.745療法二-1880.5-1531.71576.8-1897.9-444.129-801.452療法三281.2985.03-918-250.42308.7041049.745療法四-289.91193.8374.6131.1911587.2191041.745利用Matlab軟件繪出圖形，可以得出在四個(gè)不同的年齡段患者體內(nèi)的CD4細(xì)胞與時(shí)間的關(guān)系，具體圖形如下： 圖2-7 圖2-8 圖2-9 圖2-10通過對(duì)圖2-7到圖2-10的分析，年齡為三十是一個(gè)療效的分界點(diǎn).三十歲以下療法三的效果最佳，三十歲以上療法四的效果最佳而對(duì)于療法二而言，CD4的數(shù)量處于一個(gè)相對(duì)較低

20、的狀態(tài)，并且他的波動(dòng)急劇療法二的療效最差同時(shí)分析以上的四幅圖像，可以得出療法與年齡的變化無關(guān)系從整體來看療法四的治療效果相對(duì)穩(wěn)定，療法一與療法三次之本文對(duì)四種療法評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)有兩個(gè)：整體的CD4數(shù)量相對(duì)較高，它的波動(dòng)相對(duì)較小，亦即方差較小模型III由問題（2）中的條件可得各療法的費(fèi)用分別為：其中1.60，0.85，1.85，1.20（單位：美元），設(shè)t=30(單位：天)，則102.3，207，147，219（單位：美元）根據(jù)該條件，使用層次分析，設(shè)目標(biāo)層為選擇療法，準(zhǔn)則層為最經(jīng)濟(jì)，方案層為，則可得成對(duì)比較陣（正互反陣）為 ，由歸一法可得該模型的權(quán)向量矩陣w=，和它的最大特征根，從矩陣中可以看出療法一所占的權(quán)重最大，所以療法一是最經(jīng)濟(jì)的療法所以當(dāng)病人考慮上四種療法的費(fèi)用后，對(duì)問題（2）中的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)發(fā)生了變化，因?yàn)榻?jīng)濟(jì)原因，患者可選擇療法一來治療3 模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)3.1 模型的評(píng)價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)：(1) 采用的數(shù)學(xué)模型有成熟的理論基礎(chǔ)，可信度較高(2) 建立的數(shù)學(xué)模型都有相應(yīng)的專用軟件支持，算法簡(jiǎn)便，編程實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，推廣容易(3) 利用數(shù)學(xué)工具，通過Matlab,Excel的方法，嚴(yán)格地對(duì)模型求解，具有科學(xué)性(4) 在曲線的擬合中采取多維擬