線性代數(shù)解題心得

1、.數(shù)量矩陣是對角矩陣的一種！A- B相似，不管是不是實對稱矩陣一定是特征值一樣的?。ǚ粗?？沒有實對稱這個前提對嗎？對比書上195頁例14）實對稱的更是的！而正負慣性指數(shù)前提是二次型函數(shù)的，所以一定要實對稱矩陣的！標準型不定，可以有很多種，但是不管化成哪種，慣性指數(shù)是一定的，一樣的！因此判斷兩個二次型能否相互化成關(guān)鍵是看慣性指數(shù)是否一樣！這個定理為什么成立？而慣性指數(shù)等同（相等）于一個對角矩陣的大于零的特征值！相似（對角矩陣就是相似引出的），合同，和可逆和有特征值的矩陣（可以證明的）二次型的矩陣，矩陣一定是方陣但是線性方程組的矩陣不一定的是。二次型（是指多元的，但是最低和最高次數(shù)只有二次的才行！

2、）的秩就是指這個實對稱矩陣（說上為了方便要求這樣寫的，實際上對應的和等于那個數(shù)就行）的秩！這個未知數(shù)的變量不能因為式子里面的沒有這個數(shù)就說把這個變量去掉，是不對的，即使線性變化，也還是個數(shù)一樣的！書上說的任何一個二次型的（當然一般指那個實對稱矩陣，但是不是唯一指這個的）都可以通過可逆線性替換化為標準型！題目中的正交變換，一般就是指正交線性變換！實對稱矩陣有個特性，就是存在一個-見二次型第無講！實對稱矩陣才有慣性指數(shù)，因為慣性指數(shù)是來源于化簡二次型函數(shù)的，指出的！實對稱矩陣可以畫成規(guī)范型的，但是不是隨便一個規(guī)范型的就是他可以化的，這就要看大于零的個數(shù)，相當于兩個二次型之間是否可以互相轉(zhuǎn)化！能互相

3、轉(zhuǎn)化的是慣性指數(shù)一樣?。ㄒ簿褪且粋€實對稱矩陣和一個對角矩陣能夠合同的條件是正負慣性指數(shù)個數(shù)一樣，當然不管這個對角矩陣的對角線上的數(shù)大小變化和順序變化了）（）思考方式是這個實對稱矩陣先變成一個對角矩陣，然后這個對角矩陣再和它對比，可以用書上的直接找到C的數(shù)值了，因為可以直接比如說用Y來代替多少的Z了！二個對角矩陣之間，對角線上的數(shù)字順序變了，則可以說是合同，但是也可以說是相似，（假如說大小不變，但是順序變了，則可以說是相似，根據(jù)視頻上說的A-B相似的充要條件是特征值大小一樣，A-B合同的充要條件是慣性指數(shù)個數(shù)一樣，是不是這個A和B都是實對矩陣這個前提下？但是特征值一樣是性質(zhì)啊，可以作為充要條件嗎

4、？是對的，因為相似的條件條件和合同一樣都是存在一個可逆的矩陣的了，而對于二型的對角矩陣是可以直接找到一個可逆矩陣的，見課本的從標準型到規(guī)范型的例子。）因此，如果說一個二次型通過正交變換是成一個對角矩陣，則對角上的數(shù)字順序變化是沒有關(guān)系的，如變換后的是6Y21和6Y22一樣的！但是這個6不能變的！不能說變成5！鑒于上面的結(jié)論實對稱矩陣的代數(shù)余子式也是實對稱的！注意求和公式的寫法，對比書上！規(guī)范型一般說兩個是否相等，實際上等于說慣性指數(shù)是否相等，因為都化為對角矩陣后，經(jīng)過變化要求系數(shù)為一，實際上當然慣性指數(shù)一樣可以說規(guī)范性相等了！特征值的問題要好好看看，為什么要特征值，對稱矩陣和各種特殊矩陣時，特

5、征值有什么特點？前面視頻中，實對稱矩陣的對應的可以變化成對角矩陣的那個正交矩陣，可以用特征值來找向量，如果其中某一個根沒有其他的和它相同的了，就直接找了，如果根有相同的，則可以找到，但是二次型的畫法:實對稱矩陣存在一個正交矩陣使實對稱矩陣和化后的對角矩陣相似且合同，但是他不一定正好是找到的正交矩陣，其他的也可以化，那只能是說合同了，特征值問題也無從考慮，但是，二者之間還有關(guān)系，那是二次型的實對稱矩陣和化后的對角矩陣 （不是說任何一個對角矩陣，而是這個對應的化后的對角矩陣， 正負慣性指數(shù)個數(shù)一樣，當然實對稱矩陣的正負慣性指數(shù)（之所以給它叫這個名字，是因為人和一個實對稱矩陣有可以化成對角矩陣，而對

6、角矩陣有正負慣性指數(shù)，所以它也叫有，當然可以證明（見視頻）是等同于其特征值的正負個數(shù)的，）等同于其特征值正負個數(shù)。但是如果說通過正交變換的（就是這個C是個正交矩陣（那是因為二次型是一個對稱矩陣，對于任何一個實對稱矩陣都相似于自己對應的一個對角矩陣，同時還存在一個正交矩陣使之能成為對角矩陣），任何一個正交矩陣都滿足自身的轉(zhuǎn)置等于自身的逆），則新的矩陣和二次型的實對稱矩陣是也相似且合同的！特征值也一樣。當然這里也是說化成標準型的，如果化成規(guī)范型的就不一定是相似了（其中一個性質(zhì)是因為特征值變化了，如果只是數(shù)字順序變化是可以相似的，但是規(guī)范型要求的就是都是單位系數(shù)（見上面有個紅字的性質(zhì)），但是也是合同

7、的，那是因為從標準型化到規(guī)范性，也是利用合同的原則的，但是這個C就不一定是正交矩陣了，無法滿足C的轉(zhuǎn)置等同于C的逆，（而上述的相似和合同就是利用這一個原理證明出來的！）（如果說是正交變換，則即使化成了規(guī)范型的，也說明是乘以正交矩陣的，結(jié)果是巧合，當然也滿足上面的結(jié)論）正交化后的對角矩陣（對角線上的順序可以變嗎？變得時候還是合同的，但是相似嗎？是的，見上面的紅字）大小變化就不是的了。變化后當然也相似？但是對應嗎？）和原來的實對稱矩陣是相似的，但是如果條件中要求的字母在對角線上，則可以利用（下面的定理） 利用其和一樣，如果不在，只有利用其行列式了?。ㄒ姇系亩ɡ恚┤魏尉仃嚨男辛惺蕉嫉扔谔卣髦担ú还?/p>

8、其是實特征值還是虛的特征值）的乘積，（行列式可以大于零也可以小于零的，不是絕對值的?。蔷€上的和等于特征值的和。（并不是說一個對應一個的，只是和一樣的，書上也有例子說明不對應的，）（有一個情況是對應的，就是下三角和上三角（也只是利用定義算的，但是順序當然可以變了，同時說相似于另一個對角矩陣，當然順序可以變的?。┘词箖蓚€行列式相似，能明顯看出來其特征值一樣，但是也不一定是按照順序?qū)模。▎枺杭尤胍粋€矩陣相似于另一個對角矩陣，那么吧對角線上的順序變換一下可以相似嗎？可以的，根據(jù)特征值一樣就可以判定相似的，前提是實對稱矩陣，所以大小不變，改變順序是可以的！怎么找這個矩陣？）（有時讓你求其方程的解

9、，如何理解！？見視頻二次型第六講！）對于配方法：首先要保證變換后的變量是和原來的一樣的個數(shù)，如果思維過程中出現(xiàn)多了的，就想辦法表示出！而且并不是說每一個變量用新的變量表示時系數(shù)不能為零的！中間可以變換多次，不一定說立馬表示出來最終的平方的形式（中間可以形式不統(tǒng)一）！可以見視頻二次型第六講！配方法）但是最終要表示成和原來一樣的整體變量的個數(shù)個平方的代數(shù)和！而且如果經(jīng)過多次變換就要寫出來變換的變量之間的關(guān)系！具體方法：先進行變量的整合，把第一個變量的平方，和相關(guān)的式子整合在一起，在使用平方，具體可以見配方法的例子！另外：如果沒有要求使用正交方法的時候，要求p的時候，可以用這個方法比較簡便！如果求的

10、是矩陣，即使沒有涉及到方程的問題，如果是實對稱矩陣時，可以想著用二次型的思維來解決問題！正定問題：X可以取負數(shù)的！關(guān)于正定問題，滿足定義即可，相當于從整體形式上來說都是平方，但是不是代表原始的就是對角矩陣了，只要能化成那種剩的都是平方即可，原理是不變的，根據(jù)慣性定理，慣性指數(shù)是決定于原函數(shù)的法則的，當然也就一味著如果二次型的實對稱矩陣可以化成對角矩陣，而且這個對角矩陣的對角線上的值都是正數(shù)就可以了！當然，要保證對角矩陣為正定矩陣就要保證都大于零。可逆對于合同問題，如果A是實對稱矩陣，則合同后的矩陣也是實對稱矩陣，可以證明的！而一般的，對于正定問題，一般前提是函數(shù)，當然，前提是實對稱矩陣了，這個

11、大的前提，而且這些證明都是基于此的！（定義是這樣定義的）而對于沒有說A是實對稱矩陣時，它合同于一個矩陣，則只有幾個小小的結(jié)論的！四個充要條件：1.當然用合同性來判斷一個實對稱矩陣是否是正定矩陣，當然標準型合同于規(guī)范型，同時因為是正定，所以要合同于一個標準的單位矩陣?。☉T性指數(shù)是基本中介）2.同時也可以用特征值來表示，前面可以具體解釋，當然特征值全為正數(shù)（充要條件）！或者說這個實對稱矩陣是行列式大于零的?。ㄐ辛惺绞谴笥诹愕牟皇瞧涑湟獥l件，因為有偶數(shù)個負特征值也保證了行列式為正，但是不一定每個都是正，）3.C乘C的轉(zhuǎn)制等于A，相當于中間乘以一個實對稱矩陣E，了，所以這也是它的充要條件的！4.同時實

12、對稱矩陣為正定矩陣則A的逆也是的！用最后一個定理來證！5，關(guān)于直接用定義來思考，因為對于任何不等于零的式子結(jié)果都是正數(shù)，所以隨便取幾個數(shù)字是零，其他的不為零，這樣也會使結(jié)果是正數(shù)，所以這樣就形成了（或者可以這么想的）小一點的矩陣，他的行列式大于零，（因為行列式等于特征值的乘積，特征值要求都是大于零）同時可以解釋書上的順序主子式的定理了，同時因為這些自變量可以互換，所以這樣滿足是個基本的形式，不管怎么變化不脫離這個形式的?。ㄟ@種定理非常適用）（當然這首先要是實對稱矩陣的）加入隨便給你一個實對稱矩陣是自己可以證明這種成立的，那么就是正定型了，想想它具備那些性質(zhì)，思考正定型矩陣的性質(zhì)：1.正慣性指數(shù)

13、等于N，2，這個矩陣可以和單位矩陣合同，（但是合同于單位矩陣，沒有說是相似于單位矩陣，所以特征值不一定都是一）3，這個矩陣特征值都是正數(shù)，行列式都大于零，4，這個矩陣可以寫成一個C乘C的轉(zhuǎn)置（C為可逆的N階矩陣）5，其可逆矩陣也是正定型！ （根本思維在于轉(zhuǎn)換成二次型函數(shù)思考）對于正定二次型的例9，老師說可以不考慮第二個式子，是因為X1X3可以相互調(diào)換，原理上沒有什么區(qū)別的，只是如果換成Y，Z等等的原理不是一樣的嗎！所以那個兩個字母C和兩個二調(diào)換且那個對角線的四和一對換，是可以的，但是這也說明了不是說主順序式不要求了，只要求一個了，加入有變量進入的，換的時候也可能各個位置都有未知字母的了，同時，

14、在判定一個實對稱矩陣是不是正定，這個矩陣是確定的，當然每一個式子都要算的，當然可以利用上面的原理換個位置，但是還是一樣啊，只是上面就要計算關(guān)于字母的了，所以沒有字母的就算了的?。ㄔ黾右稽c特征值的東西，正定型第六講例11，A+E的特征值就是A的特征值加上1，由定義可以得到?。嫌嘘P(guān)于一個矩陣的函數(shù)的特征值的計算的！161頁！當然中間含有一個其他的矩陣是不行的！2. A的轉(zhuǎn)置和A一樣的特征值！（定義證明）（當然涉及到特征值，A必然是方陣才行）3. 如果KA與A的特征值之間的關(guān)系？如果從矩陣的角度來看是沒有辦法證明的，但是這樣想，從行列式大小上變化，應該是大小變化因該是K的N次方，根據(jù)定義，那么是

15、否N個負數(shù)特征值上的每一個都是過大K倍？答案是正確的（從特征值的定義上看，或者從上面的矩陣多項式的特征值計算來看）正定型判定：1.順序主子式2.關(guān)于實對稱矩陣的多項式的矩陣的正定的判定，一般用特征值，這樣好計算！可以利用特征值的某些性質(zhì)來計算多項式的特征值，然后判定特征值都大于零就是的了！3.有時還可以考慮定義，在很抽象的時候，條件很少的時候，求不出特征值的時候，或者有秩的問題，出現(xiàn)秩矩陣的列時，利用線性方程組的條件的！有解還是無解！還可以倒退法！見二次型第六講例13。（當）r(B)=n時，BX的大小問題（只有X=0才時BX=0也就是說，當X不等于零時它是不等于零的），和BX0的條件問題（X0

16、是它才等于零）（學會轉(zhuǎn)換思維）從這兩屆題目可以看出基本思維都是一樣的，會反過來考的例14也很好。這個結(jié)論和例13把不是方陣的東西結(jié)合在一起了，而且又是關(guān)于秩的問題，（這也是求秩的一種方法的?。˙不一定是方陣）BTB正定充要條件r(B)=n（不要和上面的正定可以等于一個可逆的轉(zhuǎn)置和其本身的乘積）.注意：CTAC不同于14題里的，這里C是可逆的（方陣）C4.還有一個不是充要條件的：A正定B正定則A+B正定（用定義證）（在判定正定型時，首先判定是實對稱矩陣，如A乘A轉(zhuǎn)置，A對稱A*對稱，（如果可逆）A-1也是對稱的。（因為其等于A*/detA），（A*）-1（如果可逆）也對稱）求矩陣的行列式：對于

17、多項式的，一種方法化乘最終一個的（如：求（3A）-1-2A*的行列式）（用的一些方法：逆的性質(zhì)如：（AK）-1=(A-1）K，（KA）-1=K-1A-1代數(shù)余子式的性質(zhì)代數(shù)余子式的行列式與原來矩陣的關(guān)系，），或者用特征值來求（利用相似的矩陣行列式一樣的）（用定義來定！)A的代數(shù)余子式和A的矩陣的行列式之間的關(guān)系，（特征值為行列式除原矩陣的每個特征值，（利用定義，利用逆的特征值）相似的性質(zhì)：特征值，行列式，秩都一樣，轉(zhuǎn)置也相似（定義可以證明），對角矩陣的性質(zhì)：可以和所有同價的矩陣可交換！關(guān)于例13的內(nèi)積問題有待探討??？關(guān)于分塊矩陣的問題：準對角矩陣，它正定，則里面的小的對稱矩陣（？）也正定。還有

18、這個分塊矩陣行列式的計算問題，見最后一個視頻的例子！看看最后一個題目是怎么回事！為什么？一般的自己理解怎么樣才能夠?qū)Π?？這個題目給我新的想法，正如我以前所想的，只要能化成平方的形式就可以了，這是不完全正確，關(guān)鍵就是這個能否等于零的問題。反推法可以看出標準型的要求只要變量不全為零就可以的，但是那個二次型一眼看不出啊，就像f(x1，x2，x3xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(x3+a3x4)2+(xn-1+anxn)2+(xn+b1x1)2 +(xn+b2x2)2+(xn+b2x3)2+(xn+bnxn)2雖然說是都是平方相項，但是即使不等零，又可能出現(xiàn)這種情況，其他的平方項都

19、為零，但是某一項不為零，但是也同時滿足X不都為零，比如，一個正，一個負，正好消了。那怎么要那個避免這種情況，就是要轉(zhuǎn)換成標準型反推，要保證X取不全為零時，新的變量不全為零的。這種情況只能用方程組的定理。轉(zhuǎn)成行列式不為零，這個矩陣可以不是方陣（這里的思路不同于書上的，是正的順序思路，沒有完全使用到矩陣的公式，有點用到初中的思維，結(jié)合矩陣里解的問題）。而書上的，是方陣，要保證這個條件，就是要求C可逆，也就是秩的問題，也就是保正只有X取零時Y才能取零的！當X沒有取零時，Y是沒有辦法取零的！而視頻里的例題比這題更簡單，f(x1，x2，x3xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(x2+a3

20、x4)2+(xn-1+anxn)2關(guān)于特征值和特征向量關(guān)于矩陣多項式的特征值，：因為都是關(guān)于A的，所以同一個矩陣，好代入，然后又再次利用這個矩陣，所以可以有這個特征值，其他矩陣加入進來是不行的，因為無法再次利用這個矩陣，但是單位矩陣是個特殊的，因為它不管乘誰都是這樣的，所以，A的K次方，和加減都可以的，乘以一個常數(shù)也行的，因為符合定義。（一種思路是從要求的式子出發(fā)，帶入看可以消掉的式子，如，A2á=代入*得出結(jié)論，另一種是從原式出來經(jīng)過變形可以變成結(jié)果得式子如，在原式得兩邊同時乘以*，逆和轉(zhuǎn)置可以用這種方法求得。）有的特征向量一樣，有的特征值一樣，注意區(qū)別，證明方法類似。多項式和原矩

21、陣的同一特征值的特征向量是很大關(guān)系的，原矩陣的特征向量是多項式的特征向量，但是反之是不一定的。轉(zhuǎn)置，代數(shù)余子式都是的。因此，A的多項式的行列式（包括，逆，轉(zhuǎn)置，代數(shù)余子式的矩陣（特征值為行列式除每個特征值（利用逆的特征值），以及這些式子綜合的多項式？（轉(zhuǎn)置和逆，可以證明這里特征向量都是一樣的，）所以也應該對。也是很好求的，都是關(guān)于特征值的運用的，只要看到關(guān)于A的行列式的都要想到這點！而多項式只是表達多項式的特征值和原A的特征值之間的關(guān)系，沒有表達，本身等于多少的，如果，多項式有等于一定的值，則相當于特征值也具有一定的值，（可以用定義來表達，驗證）N階矩陣N個特征值，但是不一定都是實數(shù)，但是實對

22、稱矩陣特征值一定是實數(shù)，如果條件中有關(guān)于特征值的函數(shù)（這里的特征值是任何一個特征值的表現(xiàn)形式），可以判斷是不是都是實數(shù)了！呵呵，不是說特征值是實數(shù)的一定是實對稱矩陣，比如說滿足特征值的多項式可以推出是實數(shù)，所以知道矩陣滿足這個多項式，但是這個矩陣不一定是實對稱的！注意這個形式：aE-A，既可以用多項式來表示，又可以與特征值那個形式來觀察，當a不是A的特征值時，這個矩陣aE-A的行列式不為零，即可逆，但是，當它為它的特征值是當然行列式為零，不可逆的了！同時，當特征值滿足一個多項式方程，如果一個值不滿足這個式子的時候，aE-A當然可逆了.，但是滿足這個式子的一個數(shù)值不一定就是這個矩陣的特征值。（因

23、為是充分條件，不是必要條件，它是正面推出的，反過來沒有辦法推的。）根源是，是特征值就滿足上面的形式的aE-A行列式為零，不是特征值就可逆，至于其他條件，那是推出是不是特征值的條件的。即一個特征值滿足一個多項式方程，不代表這個矩陣也滿足這個式子。但是一點要非常的注意，是因為A滿足的多項式推出的特征值滿足的多項式方程，不是代表解都是這個矩陣的特征值，但是可以知道特征值就是這里面的數(shù)值，至于重復幾個，多少重復都是不知道的。（這就不同于課本上通過定義制造的一個函數(shù)A的特征方程的解都是A的特征值，這些數(shù)值再帶入矩陣的式子，是可以證明出來定義的要求的形式的，但是多項式的方程的值無法證明出定義要求的形式?。?/p>

24、所以正好同上面解釋的不謀而合。根源是，是特征值所以，當一個值滿足特征值的某個多項式方程，并不能說明aE-A就一定不可逆，（它不一定是其特征值）已經(jīng)知道特征值，和特征向量求矩陣問題：不從對角化出發(fā)，而直接從定義出發(fā)（不過實質(zhì)上原理是一樣的），N階的，有N個特征值（每個至少一個特征向量，如果正好），那么就寫出對應的等式，再轉(zhuǎn)化乘矩陣，就可以乘出來矩陣了。然而（這是對角化的前提，當特征向量組成的矩陣如果可以可逆，那么就相當于對角化了。）（同時這也是AP=PC的一種方式）當然矩陣的特征向量是很多的，那些基礎(chǔ)解系的解都是其特征向量，（從方程的思維），但是不同特征值對應的特征向量之間的線性組合不是其特征向

25、量，而同一個特征值之間的任意的特征向量的線性組合都是其這個特征值的特征向量，（可以根據(jù)定義加和可得）是不是其特征值，只要滿足特征方程那個式子就行。（下面也有解釋的）要關(guān)注這個特征方程，可以設(shè)f（a）特征方程。充分利用這個特征方程。只要能證明f(a)=0,就知道a就是這個特征方程的特征值。如，正交矩陣（行列式為1或-1），如果為1，那么一定有特征值-1.A,B都是方陣，AB與BA的關(guān)系，一定是行列式一樣（能說明特征值的乘積一樣），根據(jù)行列式的性質(zhì)（分別相乘）有個重要的特征，這兩個矩陣有同樣的特征值，（證明的用定義，當然特征值一樣，特征向量可以不一樣的，正如書上的轉(zhuǎn)置了，特征值一樣，但是特征向量不

26、同，要學會對比證明的方式，A的特征向量是A多項式的，但是不是說一樣，因為反過來不一定是的。）證明可逆問題：（這幾個又是相互關(guān)聯(lián)的）從慣性指數(shù)來看，當然對于實對稱矩陣問題了，從秩（正負慣性指數(shù)的和就是秩，還有那些為零的就不叫正負慣性指數(shù)了，但是正負和加上零的個數(shù)就是等于N）角度來看從特征值來看，如果不存在特征值為零的，就可逆，也就是行列式不為零（因為行列式等一特征值的乘積）。從行列式的角度來看：從行列式的性質(zhì)：兩個矩陣的乘積的行列式等于這兩個矩陣（要保證這兩個分開的矩陣是方陣，否則不行）各自行列式的乘積。因此只要證明這兩個矩陣行列式都不為零就行。如：相似問題，（學會代入法利用已知條件，和同乘一個

27、矩陣的方法。）可以從根源上特征值上找。這些是推出那些行列式（還可以用行列式的性質(zhì)，等于各個矩陣的行列式的乘積（也要求方陣），秩和可逆不可逆的等價了，但是這個沒法推出另外的相似（因為實對稱矩陣特征值相等才推出相似才是充要條件）但是，A-B兩個矩陣相似，：可以推出各自的M次方也是相似的，同時aE-A同aE-A也是相似的A和B的逆（當然需要可逆）也相似。多項式相似，代數(shù)余子式頁相似，（但是反推就不行了，如果反推還能用同樣的道理，也行）同時還可以知道相似要找的矩陣和原相似要找的那個矩陣都是一樣的，（可以用定義證明）。雖然A轉(zhuǎn)置和A的特征值一樣（證明的途徑不是一定要代進去的，可以變換形式來考慮），但是特

28、征向量很不相同，但是A-B相似，特征向量又緊密的聯(lián)系的。就是B的特征向量乘以存在的那個矩陣的逆矩陣。（可以證明的）那么這里面的P 之間還有關(guān)系的。（用定義思考）但是特征矩陣的行列式一樣，并不能推出各個矩陣相似。AO COOC OD如果A相似于B，C相似于D，那么這兩個分塊矩陣形式的也相似。可以利用已知條件代入法證明。反過來思考，作為一個矩陣提供了一種思路。秩的問題：一個矩陣乘一個可逆矩陣，秩不改變。（在視頻的相似里面那個）（怎么證明：用行列式性質(zhì)可以說明一點，行列式為零不為零是不改變的，因為初等變換不改變行列式的秩？，而初等變換相當于乘個矩陣，而可逆矩陣之所以可逆的一個充要條件是等于多個初等矩

29、陣的乘積。？（這個也這么證明必要性，因為初等矩陣都是可逆矩陣？初等矩陣的性質(zhì)書P39頁（因為初等變換就這三種形式（第三種形式怎么證明），可以證明其行列式），根據(jù)行列式乘積的性質(zhì)，所以這個矩陣行列式不為零，但是怎么證明充分條件？）也可以用特征值來表達，也可以用線性方程組來表達，也可以用合同來表達。問，特征值一樣，就不一定相似嗎？不是。首先無法證明出定義的形式，（而實對稱矩陣不一樣，它可以，當然還要注意，和單位矩陣相似的只有它自己想想為什么）舉例：只要在對角線上都是1，下三角的一個矩陣，上面那些數(shù)字可以隨便給，可以知道U-1AU=B,即UBU-1=A,，上面已經(jīng)知道特征值都是1，加入說BE，那么，

30、如果說特征值都相等就相似的話，所以A=UEU-1=E,結(jié)論錯誤。對角化問題：當一個矩陣能夠?qū)腔?，相當相似于一個對角矩陣（實對稱矩陣了，用二次型里面的變化，這個對角矩陣就合同與單位矩陣。）（但是不能說原矩陣合同于單位矩陣，也不能說相似于這個單位矩陣）（注意，相似不一定合同，只有實對稱矩陣的相似就等于合同，（因為它存在一個正交矩陣的東西使這個正交矩陣的轉(zhuǎn)置等于逆。這是正交矩陣的性質(zhì)，因為定義AAT=E而AA-1=E）和單位矩陣相似的只有它自己，和數(shù)量矩陣相似的只有它自己。（視頻特征值和特征向量里在說明不是任何矩陣都對角化的里面解釋了。）但是和單位矩陣合同的就很多了，只要實對稱矩陣正慣性指數(shù)等于N

31、就行！實對稱矩陣必可以對角化。能夠?qū)腔臈l件：也就是意味著這個對角矩陣和原矩陣相似，相當于AU-1=UB,把U給拆分，可以證明，U里面的列向量就是A的特征向量。對角化要求這個矩陣有N個線性無關(guān)的向量，而這個向量組成矩陣就是U，正好說明U可逆。（A-B相似，特征向量又緊密的聯(lián)系的。就是B的特征向量乘以存在的那個矩陣的逆矩陣。）為什么例題中的，u的列向量不是A的特征向量？關(guān)于方程組解的問題：如果方程組的系數(shù)矩陣的秩小于列向量的個數(shù)N，則有無數(shù)多個解的，這無數(shù)多個解的關(guān)系是：這無數(shù)多個解形成的矩陣中最大線性無關(guān)的個數(shù)是M（因為最大下面的那些更不相關(guān)了），M=N-r，就是沒法確定數(shù)字的自變量的個數(shù)，

32、但是這不能說就固定在哪幾個上面了，就象線性無關(guān)組定義那頁的概念，一個矩陣里的可以有另外同樣個數(shù)（極大無關(guān)組數(shù)目）的線性無關(guān)的組。但是并不是說一個矩陣里任意R（個數(shù)等同于線性無關(guān)組的個數(shù)）線性組就不相關(guān)。所以，我們就把解中的任意N-r個線性無關(guān)組（即最大無關(guān)組）叫基礎(chǔ)解系（同時可以證明其他解都可以用這N-r來線性表出。當然即使線性表出的這些解中，并不是都相關(guān)的，只是說拿出任意一個和原來這些給出的解是線性相關(guān)的了）。所以基礎(chǔ)解系不止一個，（一般的求法就是用標準的帶入那些未知的變量。作為其中的一個，但是寫其他的也行的，只要滿足不相關(guān)就行，）矩陣對角化要求有N個不相關(guān)（之所以不相關(guān)是因為U要求可逆的原

33、因）的特征向量（相當于是那些特征值的滿足aE-A行列式為零的解的），當然是每個特征值對應一個了，如果重根就對應重根的個數(shù)，可以證明當相似時，aiE-A對應的每個特征值的秩就是特征向量基礎(chǔ)解系的個數(shù)。當然特征值各不相同的矩陣是可以對角化的。反之錯所謂的特征值和特征向量對應的對應是指的是，當U（就是使相似的那個可逆矩陣）的組成特征向量組成的，它的順序怎么排，那么對應的對角化的矩陣就是對角線上的特征值對應U的列向量的對應的順序。（所以說相似的那個對角矩陣對角線上的數(shù)字可以隨便的調(diào)換）注意：U-1A*U，這里的*不是代表乘，而是指A的代數(shù)余子式。不要看錯了。如果題目出的是已經(jīng)知道一個矩陣可以對角化，讓

34、你求里面含有的字母，可以找個特征值方程的，一種角度，（知道對角線上的和等于特征值的和，但是積不等于行列式，而是特征值的積等于行列式，但是知道這個不是約束這個方程的，因為這個關(guān)系就是從這個方程中出來的，但是可以利用這個角度。）U的求法，就是特征向量，不相關(guān)的特征向量。例題中那個U為什么不是特征向量？不同特征值之間的特征向量是線性無關(guān)的。而且同一個特征值不相關(guān)的特征向量，加入上面那些特征向量中，仍然是不相關(guān)的。糾正：二次型里面的正交化，開始找的那幾個行列式是不相關(guān)的，但是不一定正交，所以還要正交化。從那個特征方程中可以知道每個特征值帶入可以使aE-A，的秩小于N的，但是沒法說明到底是等于幾的，所以

35、，能證明那個對角化的充要條件的等式才可以對角化的，不等于是不可以對角化的學會向量的乘法，見（特征值與特征向量那講，一個例題，用向量表示的例題）當知道幾個向量不相關(guān)時，如果知道每個向量的行數(shù)等于這幾個向量的個數(shù)，就要想到組成的矩陣是可逆的。一般的幾個向量組成的矩陣一般不一定是方陣。注意：告訴U-1AUB，B不一定是對角矩陣，但是可以說A與B相似，當然如果A相似與一個對角矩陣，則B也相似，但是他們不一定能夠相似與對角矩陣（也就是對角化）如果想求A的對角化的那個C，可以通過求出B對角化的那個可逆矩陣P，則C=UP（通過定義）注意連環(huán)相似的各個可逆矩陣的關(guān)系。注意：前面是不同的特征值的特征向量之間是線

36、性無關(guān)的，當然這里可以指的是這兩個特征向量線性無關(guān)，同時定理還說，是這幾個向量組的向量組之間也是線性無關(guān)的，即整體線性無關(guān)的，不僅僅是任意兩個無關(guān)的，當然前面要求對角化的是無關(guān)是因為可逆的要求，當然不緊緊是指兩兩線性無關(guān)的，同時要求整體無關(guān)的。而且還有一個定理4.5指出重特征值幾個不相關(guān)的特征向量（這里是整體不相關(guān)的，不是量量不相關(guān)就行的）再加上不同特征值的特征向量也是不相關(guān)的。當然這里面重特征值的特征向量個數(shù)是沒有定的，當然根據(jù)理解，不可能超過這個特征值組成的特征方程的基礎(chǔ)解系的個數(shù)的。但是特征向量可以有很多，整體不相關(guān)的向量組的個數(shù)只有N-R的，但是可以存在大于個數(shù)的向量，使他們兩兩不相關(guān)

37、，（但整體一定相關(guān)的，因為可以線性表出）但是也并不是隨便的就都不相關(guān)的。關(guān)于維度問題，首先知道正交（即垂直）的的向量的個數(shù)一定小于向量的維度（即每個向量的豎的個數(shù)，）因為一種解釋的角度：一個向量和其他的向量正交不存在緯度的約束的（象一個平面坐標系里，二維的，可以一個和很多個垂直的），但是又要保證其他的之間也相互垂直（即正交）相當于一個向量同時垂直于其他相互垂直的向量，比如說，一個向量垂直于另外兩個相互垂直的向量，這個肯定是三維的，等等，所以當維度一定，就不可能出現(xiàn)個必維度個數(shù)還大的相互正交的向量另一種解釋，因為相互正交肯定是這幾個向量組整體線性無關(guān)，而我們知道，對于N維的向量組，他的個數(shù)如果大

38、于N，則這個向量組一定線性相關(guān)。所以也可以知道要正交，相互正交向量的個數(shù)一定小于維度。同時正交向量組線性無關(guān)，當然，里面的任何都線性無關(guān)。（證明的方法也可以這樣的證明，設(shè)矩陣A等于向量組，用ATA等于一個個數(shù)為S（為向量組個數(shù)）的方陣，因為r(AB)小于等于A和B的秩的最小值？（書上？）所以A的秩為S，所以線性無關(guān)。注意，向量組的線性無關(guān)不是一定能說明組成的矩陣可逆，當然要滿足方陣了。但是向量組的秩定義是極大無關(guān)組的個數(shù)。注意矩陣的秩和向量組的秩有關(guān)系，二者相等，矩陣的行秩等于列秩，一般的我們說矩陣的秩都正常的看做是行秩，而向量組的秩一般是看作列秩。向量的內(nèi)積：還有性質(zhì)的。三個1.可交換，雙線

39、性，本身的內(nèi)積大于等于零。向量正交（內(nèi)積為零）就是幾何上的垂直。零向量和任何向量是正交的，注意，向量的內(nèi)積（是一個數(shù)），就是對應的相乘，當然如果一個矩陣的內(nèi)積（必須）就不是一個數(shù)的，它起源于向量的內(nèi)積。在表達向量的內(nèi)積的時候ATB(這里A和B假設(shè)為向量)表達方式（保證一行一列），然而向量內(nèi)的元素是數(shù)字，還有在表大矩陣的內(nèi)積時，可以看做是有S個向量元素的矩陣，它的也是ATB,否則表達的就是不一樣了。當然矩陣的內(nèi)積一般稱為同一個矩陣轉(zhuǎn)置和它相乘的。相乘后就是對稱矩陣的，（看對應的位置相等的，對角線上就是向量的內(nèi)積）正好可以驗證ATA是對稱矩陣的。正交向量組，是里面兩兩正交，沒有說整體正交的，而線性

40、不相關(guān)則是既有兩兩，又有整體的概念。正交矩陣：（當然根據(jù)內(nèi)積的方法，不是方陣的矩陣也可以是轉(zhuǎn)置和其相乘等于E）當然，如果A是N階，ATA（為實對稱矩陣，可以用定義證明，也可以用內(nèi)積證明）AAT的，同時列向量之間是正交的，而且每個向量是單位向量，就是A正交矩陣的了。所以如果說A是正交矩陣，可以利用這個條件的：同時列向量之間是正交的，而且每個向量是單位向量（表明本身的內(nèi)積和為1）。（向量內(nèi)積的性質(zhì)）同時可以利用A的逆等于A的轉(zhuǎn)置。N階實矩陣正交矩陣的充要條件還可以說AATE，或者說A可逆，并且，A-1=AT（實際上只要這么說就承認有了可逆的條件了）但是正交矩陣不一定是實對稱矩陣。正交矩陣的充要條件

41、是（N維向量個數(shù)等于維度的前提）行向量（因為這里ATAAAT）和列向量都是單位正交向量組。正交矩陣的性質(zhì)：特征值（特征值的乘積等于1或者等于-1）？秩（因為可逆，線性無關(guān)，或者和其轉(zhuǎn)置的行列式乘積等于1），ATAAAT，A-1當然也正交矩陣了（反之也成立），A,B，都正交矩陣則AB也正交矩陣。，AT也是正交的。用到分塊矩陣的性質(zhì)，向量內(nèi)積的性質(zhì)。于對角化的矩陣的那么根聯(lián)系，可以看出一些東西。要求所有的矩陣都是實數(shù)的。矩陣AB的很多性質(zhì)：A,B都可逆，則AB也可逆，A,B，都正交矩陣則AB也正交矩陣（反之不行），施密特正交法：（為什么基礎(chǔ)解系經(jīng)過這個畫法后還是基礎(chǔ)解系？）（就是利用正交矩陣的性質(zhì)

42、，把其中列向量給正交化的就可以說明是正交矩陣了）相當于物理里面的把各個方向的力給分解乘相互垂直的力，所以先第一個確定一個方向，第二個向量分解乘一部分是沿著第一個向量的方向，第二個是垂直于第一個的方向的，（同時注意向量的加減法原理同力一樣，平行四邊形法，當然畫圖可以看見就相當于垂直分解的向量的坐標的加減的）所以，第二個方向的向量等于這個向量減去在第一個方向上的分量，不知道是多少，就用一個系數(shù)乘第一個方向向量來表示，剩下的就是第二哥方向的向量，根據(jù)正交可以求出這個系數(shù)。第三個向量也是，分解三個部分，分別同上面兩個方向一樣，另外還有一個同時垂直于這兩個方向，也用系數(shù)表示，根據(jù)垂直可以分別求出系數(shù)。正

43、交化求出的只是滿足正交，再單位化就可以了。當然能正交化的一個必要條件是不相關(guān)?；A(chǔ)解系問題：假如a1，a2，a3（因字不好打，暫說明為向量），為一個基礎(chǔ)解系，那么另外還可以怎么用這三個向量表示，需要滿足什么條件？首先基礎(chǔ)解系是線性無關(guān)的，個數(shù)就是這么多，其他的解都可以用這三個向量來線性表示（所以也不是任意的向量都是其解的），所以再找基礎(chǔ)解系，一個滿足無關(guān)，個數(shù)一樣，另外一個要能為這個向量組線性表出。當然同時因為這個也是基礎(chǔ)解系，原來的也可以用這新的三個線性表出。那如果一個無關(guān)組可以由另外的無關(guān)組線性表出，那么，這兩個等價嗎？實對稱矩陣：對于實對稱矩陣，每一個特征值重數(shù)的個數(shù)等于特征方程的秩（能

44、對角化的矩陣都是的）還說存在一個正交矩陣使之對角化，當然，首先我們知道對于任意的矩陣只要滿足條件都可以對角化，那矩陣的能對角化的可逆矩陣是那些特征向量組成的。因此實對稱矩陣也是，只要它的特征向量的矩陣都可以使之對角化。因為這里特征向量里面，只有不同特征值的特征向量是正交的，（只所以要求對稱是因為證明的過程中用到對稱的轉(zhuǎn)置等于原來的這個性質(zhì)），同一個特征值的特征向量是不一定正交的，但是一定不相關(guān)，而且也不一定是單位向量的，當然施密特正交化后，可以得到正交矩陣的，這里形成的對角矩陣和不正叫化后的矩陣有什么區(qū)別？沒有什么區(qū)別的，都是特征值組成的對角矩陣。而不管是用的正交矩陣還是特征向量組成的特征向量

45、組成的矩陣計算出來的A都是一樣的，（當然計算時特征值何特征向量要對應，只要保證這個原則，不管怎么調(diào)換，即使U不一樣，結(jié)果都是一樣的，根據(jù)是：對角化的條件的證明）(參考二次型的正交變換)？而用正交矩陣的好處是，求U-1可以用UT來代替，簡便。（例子第五講例八，和書上對比）單位化后的向量仍然是特征向量。注意向量組和矩陣的綜合運用。證明線性無關(guān)的問題：1. 正交矩陣的任何向量組都是線性無關(guān)的，2. 齊次方程組的解沒有非零解3. 矩陣的秩是N（r（A,B）r(A)充要條件是B能被A線性表出，解釋：因為既然相當，相當于A，B的極大無關(guān)組個數(shù)等于A的極大無關(guān)組個數(shù)，根據(jù)下面線性表出問題，可以得到解釋？一般

46、情況下，r（A,B）r(A），當B不能為A線性表出的時候，是大于號，能，是等于號。4. 矩陣可逆（這里不僅是利用單獨的好看的形式的，還可以利用組合的形式，如，(b1,b2,b3）=(a1+2a2+3a3,4a2+5a3,6a4）可以看成一個矩陣，同時可以看成（a1,a2,a3）乘一個數(shù)字矩陣的，然后利用一個矩陣乘可逆矩陣，秩不變。如果（a1,a2,a3）可逆，那么秩決定于C5. 反證法6. 定義證7. 極大無關(guān)組8. 利用看里面是不是有個別向量可以成為其他的線性表出。如果可以，就線性相關(guān)。線性問題和方程組的結(jié)合。AX=B有解的充要條件是R(A,B)=R(A),也是提供一種聯(lián)合矩陣的思維方式。線

47、性表出沒有說一定是非零解，而特征向量一定是非零向量，但是線性相關(guān)一定要非零系數(shù)線性表出的問題：根據(jù)極大無關(guān)組的定義，任一向向量都可以表示為極大無關(guān)組的線性組合，那么相當于說明任何一個向量都可以表示成包含向量組在內(nèi)的向量組的線性組合。（那些可以為零的。）一個向量組線性相關(guān)，不是代表里面每個都可以表示成為其他向量組的線性組合，就象開始極大無關(guān)，加入一個就相關(guān)了，只能說可以任意的可以線性表出為極大無關(guān)組的線性組合。如果開始極大無關(guān)，加入一個秩增加一個，那么，這個也是無法線性表出其他的。當一個線性無關(guān)的組秩為N，加入一個后也許還是不相關(guān)，比較，N維的，N個向量組，那么任意的都可以表示成之行向量線性相關(guān)

48、不等同于列向量線性相關(guān)，只是說行秩等同于列秩，即個數(shù)相等。（列數(shù)不等于行數(shù)時）如果列向量線性無關(guān)，那么行向量一定線性相關(guān)，如果數(shù)目相等，那一定不相關(guān)（根源都是行秩等于列秩，而且N維里面，如果列向量個數(shù)大于N一定相關(guān)，得來的。）（但是注意如果列向量為單位正交向量組，那么也可以說明行向量也是單位正交向量組。因為這就是正交矩陣。）只要不是零矩陣，秩一定大于零。 因為一個非零向量線性無關(guān)對于三階的矩陣的秩，可以用行列式判定等不等于3，然后看兩個的線性相關(guān)嗎，這是個簡便的方法。什么時候取等號？對于AB0的問題：如果存在一個非零矩陣的B能滿足這個式子，（假如A為方陣）則A的行列式一定為零，（假如不為零，則

49、B的秩等于0的秩，那么錯了?；蛘逺(A)+R(B)<=A的列數(shù)，那么B的秩至少大于一，所以A的秩小于A的列數(shù)）。對于AB的秩的問題：R(A)+R(B)<=R(AB)+A的列數(shù)。同時又滿足R(AB)<=min(R(A),R(B)（這里的等于可以舉例，A,B，都正交矩陣則AB也正交矩陣，其他條件一般要求什么？）當然如果一個矩陣能用兩個非零向量相乘，則根據(jù)定理，則之歌矩陣秩一定為1。（同時也說明了不是任何矩陣都能表示成兩個向量的）但是向量組就不是這樣了。對于A+B的秩的問題（A-B？）：（因為A+B可以用（A,B）向量組線性表出，所以R(A+B)<=R(A,B)<=R(

50、A)+R(B)）關(guān)于（A,B）的秩的問題：R(A,B)<=R(A)+R(B)，同時R(A,B>=maz(R(A),R(B)判定一個A多項式的可逆性，看其有無特征值為零的。求一個A的K次方，可以用對角化的公式。P-1D對角矩陣P P-1 對角矩陣P P-1對角矩陣P，或者直接求其特征，再對角返回。對于選擇題可以用特殊值法。求逆的類型：1。求一個A多項式逆，2。一個多項式滿足一個方程，求這個A的逆（先要證明A可逆）。方法：可以用定義，化簡成AB=E的形式，關(guān)鍵找到乘積的形式和E。3.一直一個可逆，求等式。任意兩個矩陣之間的關(guān)系：存在合同，對角化，相似，特征值相等，逆，轉(zhuǎn)置，秩相等許多關(guān)

51、系的，那么要明確這些關(guān)系要求的條件。比如，前面講過任意的矩陣都可以初等變換（左右分別乘各自的初等矩陣（當然是可逆的）形如一個矩陣，那么說明，當A，B都可逆，就存在這種關(guān)系使有可逆的初等矩陣P,Q滿足，PAQ=B。什么是非奇異矩陣？分塊矩陣的計算：特征值的問題：關(guān)于分塊矩陣的研究：行列式：如果一個矩陣可以表示成兩個向量的乘積，那么，這個矩陣秩為1。（根據(jù)秩的公式，R（AB）<=min(R(A)R(B）)線性問題：（上面的線性結(jié)論可以從下面得到真正的順序的解釋）如果一個向量組線性無關(guān)，并不是代表他們再線性組合之間的向量之間也是無關(guān)的。正同幾何里面的向量關(guān)系可以理解。然而一個向量組的部分向量也

52、是無關(guān)的，可以從幾何角度更好理解，也可以反證法來解釋。注意，向量的線性表出與矩陣的乘法和方程組有很大關(guān)系，甚至可以說是一個原理，有很大的關(guān)系，如果一個向量可以用一個向量組線性表出，則AXB,有解（因為這里沒有考慮非零的問題，不像線性無關(guān)要求非零解。），也可以寫成（a1,a2,a3,a4,an）X=B,有解，（但是注意這么寫，沒有代表是（a1x,a2x,a3x,a4x,anx）=B,這樣是不對的，注意，怎么寫都無所謂，但是計算時要保證行列對應，哪個看成一個整體，要注意的。這AB可以用A的列向量線性表出和B的行向量線性表出的一個很好的解釋）如果一個向量組可以用一個線性用一個向量組線性表出，那么AB

53、=C是一樣的道理，也就是能找到一個矩陣B滿足這個式子的，（當然這是先知道A，C而問B的存在的，不是說兩個矩陣相乘當然也會產(chǎn)生一個矩陣了）（但是記住即使存在這么一個式子他們的秩和A和B的秩不一定就是相等的，也就是線性無關(guān)的問題不一定能說明什么，但是如果說給了某些條件，那么也許會推出一些結(jié)論的）。相當于廣義的AX=B，X是作為一個矩陣的，或者相當于（b1,b2,b3,b4,bn）=（a1,a2,a3,a4,an）X一樣的道理。當然這正是上面也提到了(b1,b2,b3）=(a1+2a2+3a3,4a2+5a3,6a4）可以看成一個矩陣，同時可以看成（a1,a2,a3）乘一個數(shù)字矩陣的應用。這樣理解好

54、些。（注意，也可以AB與秩的問題，那個不等式問題共同研究，注意，AB可以用A的列向量線性表出和B的行向量線性表出）所以要研究列向量之間的關(guān)系，就是要找B，找X，所以位置也要搞清楚。還有個重要的性質(zhì)，線性表示的傳遞性，如果A向量組可以被B向量組線性表出，B又可以被C線性表出，那么A也可以被C線性表出。從一般的思維出發(fā)也可以，從矩陣的乘積出發(fā)也可以。當然向量組的線性表出是每一個都可以用其他的線性表出的。注意，這是一種角度，另外一種也是角度，要學會兩種角度思考問題。關(guān)于線性相關(guān)和無關(guān)的定義：線性表出是表達向量組于外面向量之間的關(guān)系，而線性相關(guān)和無關(guān)是表達向兩族內(nèi)部的關(guān)系的，無關(guān)就相當于內(nèi)部的任何一個

55、向量都無法表示成其他的組合，也就是說之間是沒有線性關(guān)系的，獨立的，當然這種定義不好，從數(shù)學角度來定義，就是不存在不全為零的矩陣使之組合成為0，相關(guān)就是存在，也就是說至少有一個能表示成其他向量的組合，當然是有關(guān)系的了，對這個式子進行變形，有一個系數(shù)不等于零，除過去，就可以知道了。定義的好處：1.而且同時考慮到一個向量的問題，如果是一個非零向量，那么本身線性無關(guān)，如果是一個零向量本身線性相關(guān)。（利用定義，是否存在不全為零的數(shù)使之等于0）2.這個也于方程組聯(lián)系起來了。（注意線性表出有唯一和不唯一分。）當然線性相關(guān)性的性質(zhì)：與方程組聯(lián)系，（克來母法則，）行列式等于零2，維度問題。（如果個數(shù)等于維度，相

56、關(guān)，如果個數(shù)大于維度一定相關(guān)，如果小于，不一定。）但是如果無關(guān)，個數(shù)一定小于維度。局部問題，如果無關(guān)，局部也無關(guān)（就是說每一個都不能為另外的表示，這個表示當然也可以說某個為零，也相當于不能為其他的任意個數(shù)的向兩組的表示）反之也行，說線性相關(guān)，只要有其他組內(nèi)的的任意個的線性組合都可以說是相關(guān)了（因為某個數(shù)可以為零了），所以從表達上可以說不為其他的向量組線性表出，這是個基本的形式。，（也可以從幾何角度思考）所以局部也就是說不行了。如果一個向量可以表示為一個向量的線性組合，那么如果表示唯一，則這個向量組一定不相關(guān)（充要條件）。如果表示不唯一說明線性相關(guān)，（原因在于其中某些向量可以用其他的向量來代替，

57、如果法唯一就是說沒法代替，就是說沒法變動系數(shù)，只有線性無關(guān)了）（從數(shù)學上，秩和方程組解也可以解釋）如果一個向量組A可以有另外一個B線性表出，而且這個向量組的個數(shù)大于用之的向量組的個數(shù)，則這個向量組線性相關(guān)。（反之的命題也要知道）（不管另外的向量的關(guān)系。）（用BC和B的秩的關(guān)系）（線性表出秩的關(guān)系，秩小于等于B向量的秩，而這個A向量組個數(shù)大于秩，所以線性相關(guān)了。當然其中的一個小點單獨拿出來，如果B維度等于個數(shù)，那么A的就個數(shù)大于維度了，肯定相關(guān)了。）解釋）（這也是用外部來表示內(nèi)部的一個角度。）（可以這種解釋，從定義的理解出發(fā)，非獨立性理解，因為大于另外向量組的個數(shù)，說明這個向量組之間肯定有關(guān)系，因為其他的可以相互加減可以消去（因為元少，所以容易消）某些元，帶入其中的某個向量，但是如果）正如ABC如果，A的列數(shù)大于B的列數(shù)，那么A一定線性相關(guān)（不管要表出別人的向量組是相關(guān)的還是無關(guān)的，證明時都保證了，如果相關(guān)如果證明時復雜一點，（注意如果一直一個向量組相關(guān)，不是說只有一組X能滿足的，也許會有很多X會滿足的），但是小于，是