歷屆希望杯全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高二數(shù)學(xué)精選100題詳析三

1、歷屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高二數(shù)學(xué)精選100題詳析（三）題21 若，且，則的最小值是 .（第一屆高二第一試第20題）解法1 比較：當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).可見，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).解法2 .令且，即，即.可證函數(shù)在上單調(diào)遞減，時(shí)，.即當(dāng) 時(shí)，.解法3 令，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.又.由，易得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.于是 （時(shí)取等號(hào)）.故當(dāng)，即時(shí)，.評(píng)析 解法1的依據(jù)就是課本上一道習(xí)題的結(jié)論.本賽題就是這道課本習(xí)題的變題.利用現(xiàn)成的一些重要結(jié)論可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，尤其是解選擇題、填空題時(shí)更可直接利用.由于、時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以解法2將展開成后，只能對(duì)使用上述公式（因?yàn)?，所以必須使時(shí)取等號(hào)）.若

2、也對(duì)使用上述公式就錯(cuò)了，因?yàn)橛?，得，此時(shí)與并不相等.這是同一式子中幾處同時(shí)使用基本不等式時(shí)必須注意的，是一個(gè)常見的易錯(cuò)點(diǎn).與不可能相等時(shí)，通常運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求的最小值（易證函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增）.解法3運(yùn)用三角代換法，雖然較繁，但仍可起到開闊視野，活躍思維的作用.拓展 命題“若且，則”可作如下推廣：推廣1 若且則.證明 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).又在及上都是減函數(shù)， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.推廣2 若，則.推廣3 若，則.推廣2、3的證明，敘述較繁，此處從略.題22 已知，且，則的最小值是 . (第八屆高二培訓(xùn)填空題第6題)解法1 .當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).解法2 =9，當(dāng)且僅當(dāng)，

3、即時(shí)取等號(hào). .解法3 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào). .評(píng)析 求條件最值離不開利用條件.如何利用條件？解法1把展開后將用1代，解法2與3將與中的1用代，其目的都是為了能利用均值不等式或基本不等式求最值.拓展 此題可作如下推廣：推廣1 若，且，則的最小值是.證明，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值是.推廣2 若，且，則的最小值是.證明 ，.同理.故 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 的最小值是.推廣3 若，且，則的最小值是.證明 由均值不等式得，,從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故的最小值是.推廣4 若，且，則的最小值為.推廣4的證明與推廣3類似，留給讀者.運(yùn)用這些推廣，讀者可做練習(xí)：1、 已知，且，求：（1）的最小值；

4、（2）的最小值；（3）的最小值.2、已知，且，求的最小值.3、已知，且，求的最小值.4、求的最小值.(提示：，原式.)5、已知，且，求的最小值.答案：1、（1）18 （2） （3）9 2、64 3、 4、9 5、題23 設(shè)，且，則的最大值是 ，最小值是 （第六屆高二培訓(xùn)解答題第2題、第八屆高二第一試第23題）解法1 ，由，有，記，立得和故當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，解法2 由題意，設(shè)則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)又令，則易知當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即或時(shí)，關(guān)于的最大值，還有下列解法解法3 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)解法4 ，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故.評(píng)析 解法2由考慮到三角換元，這是很自然的事解法3運(yùn)用基本不等式及，再由，分別求出與

5、的最大值（注意：必須是與取相同值時(shí)與同時(shí)取得最大值），從而得到的最大值解法4與解法3路子不同，實(shí)質(zhì)一樣但解法3、4都只能解決題中的最大值問題，如何求最小值是本題的難點(diǎn)解法1中將變形為，并由已知得出，是突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵第九屆高二第一試第15題：“實(shí)數(shù)適合條件，則函數(shù)的值域是 ”其形式與實(shí)質(zhì)都與本題一樣以三角代換法求解最為簡(jiǎn)捷（答案為）拓展 由題引伸，可以得到：定理1 設(shè)，則（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，證明 設(shè)，則又設(shè)， ，則1、當(dāng)，即時(shí)，（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)2、當(dāng)，即時(shí)（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，又函數(shù)，當(dāng)時(shí)是減函數(shù)，故綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，進(jìn)一步引伸，可得定理2 ，若

6、，則（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)證 令，再由定理1即可得證再引伸，還可得到定理3 設(shè)，且，則有 證明 及平均值不等式題24 若，則的最大值是（第十三屆高二培訓(xùn)題第68題）解法1 引入?yún)?shù)t,，又，考慮到待求最值的二元式是，故令，解得或（舍去），故只需令，即可得因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).解法2 已知條件式即.令即代入待求式,并化簡(jiǎn),得.故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值160解法3 令.從而有即代入已知等式,得,即解法4 ,而即解法5 設(shè)代入條件得令,則 解法6 設(shè)則即.由題設(shè)x,y不同時(shí)為0,故不妨設(shè),則將式兩邊同除以,得當(dāng)時(shí),由解得;當(dāng)時(shí),綜上, .故解法7 .故當(dāng)時(shí), 評(píng)析 破解此題的關(guān)鍵是消去條件

7、式中的xy項(xiàng).命題組給出的解法1,通過(guò)引入?yún)?shù)t,將xy變形為,再運(yùn)用基本不等式,從而得到.而要求的是的最大值,故令,從而使問題獲解,極其巧妙.此法還具有普遍性,是解決此類問題的通法解法2將變?yōu)?，從而為三角代換創(chuàng)造了條件，進(jìn)而運(yùn)用三角函數(shù)的有界性求得最值.此法也具一般性,且對(duì)于求式中含xy項(xiàng)時(shí)同樣適用解法5通過(guò)對(duì)稱換元消去了已知式中的乘積項(xiàng).當(dāng)式中項(xiàng)與項(xiàng)系數(shù)相等時(shí)這也是一種通法解法4的技巧性特強(qiáng).要知道,若,由,得,即,則仍然不能解決問題解法6運(yùn)用整體思想及方程思想,由二次方程有實(shí)根的條件使問題獲解,這也是一種常用的方法解法7巧用配方法,使得問題的解決極其簡(jiǎn)潔.可能有人要說(shuō)這是不是碰巧了,換個(gè)

8、題目此法就不靈了,其實(shí)不然,請(qǐng)看下面的問題:例1 若x,y, 則的最小值是_ （第十屆高二培訓(xùn)題第66題）解 ，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故所求最小值為再看一例：例2 實(shí)數(shù)x,y適合,則函數(shù)的值域是 (第九屆高二第一試第15題)解 （1）（2）故所求值域?yàn)榈降兹绾闻浞?，讀者可從上面的例子中體會(huì).配方法是高考明確要求學(xué)生掌握的一種數(shù)學(xué)方法,在解決一些競(jìng)賽問題時(shí)也有較廣泛的應(yīng)用.我們必須切實(shí)掌握好請(qǐng)用配方法解決下列問題:1.實(shí)數(shù)x,y滿足,則的值域是 （答：） (第六屆高二第二試第17題) 2.若,且,則的取值范圍是 （答：）3.已知x,y滿足,求的取值范圍（答：）4.已知,求表達(dá)式的最大值與最小值（

9、答：）題25 函數(shù)的最大值是（第九屆高二培訓(xùn)題第43題）解法1 由，得，即，.，解得.故.解法2 令，則，化為，即，解得.故.解法3 由，得（時(shí)取等號(hào)），故.解法4 .，.當(dāng)時(shí)，.解法5 由，得，解得.解法6 .令，它表示動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線的斜率，即表示單位圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，由圖易知，.解法7 顯然，.由得，又.由、可知點(diǎn)是坐標(biāo)系中的直線與圓的公共點(diǎn)，圓心到直線的距離不大于圓的半徑1，即，解之得，. 評(píng)析 類似本題分子、分母中含有、的一次式的函數(shù)的最值問題，總可以通過(guò)去分母、移項(xiàng)變?yōu)榈男问?，進(jìn)而變?yōu)椋ㄆ渲校┑男问剑儆汕蟮米钪?，解?正是這樣做的，也是解決這類問題的通法. 萬(wàn)能公式可將角

10、的各種三角函數(shù)表示成的正切，這在實(shí)質(zhì)上起到了消元的作用.故解法2令后，便將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成的二次分式函數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用判別式法解決了問題.解法3直接利用分子不大于分母，從而分式之值不大于1，簡(jiǎn)捷之至.解法4則是將已知函數(shù)變?yōu)楹螅謩e求出分子、分母的范圍，進(jìn)而確定y的范圍.解法5將已知函數(shù)式變?yōu)?，考慮到左邊的形式，聯(lián)想到柯西不等式，巧妙地利用而建立了關(guān)于的不等式，進(jìn)而求出最大值，可說(shuō)是匠心獨(dú)具.解法7將已知函數(shù)式變?yōu)楹?，將看作坐?biāo)系中直線上的點(diǎn)，而點(diǎn)又在單位圓上，故直線與圓應(yīng)有公共點(diǎn)，從而圓心到直線的距離不大于圓的半徑，由此求出了的最大值.綜合運(yùn)用了方程思想，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，充分揭示了數(shù)學(xué)不同內(nèi)

11、容之間的內(nèi)在聯(lián)系.解法6則是把已知函數(shù)式變形為后，將看作單位圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)的連線的斜率，故將求的最大值問題轉(zhuǎn)化為求此斜率的最大值問題，本題中此斜率的最大值可由圖象直觀地得到，若不能直觀地看出，則可設(shè)斜率為，寫出過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程.由圓心到直線的距離不大于圓的半徑便可求出的最大值.解法6也是求函數(shù)或的最值的通法.例 求函數(shù)的最值解 .令，則是單位圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率.設(shè)此斜率為，則連線的方程為，即.由單位圓圓心到直線的距離應(yīng)當(dāng)不大于單位圓半徑1，即，解得，即的最小值與最大值分別為，從而的最大值與最小值分別為、,即，.題26 函數(shù)的值域是.（第十一屆高二培訓(xùn)題第46題）解法1 由均值定理，

12、知兩式相加，得.當(dāng)時(shí)以上不等式同時(shí)取等號(hào).故.又.故所求值域?yàn)?解法2 由柯西不等式，知.又由，知.故所求值域?yàn)?解法3 ，又解法4 ，且可設(shè)，由所設(shè)，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所求值域?yàn)?評(píng)析 因?yàn)?，所?，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，易知，故求得了y的最大值1.如何求y的最小值是本題的難點(diǎn)，破解的關(guān)鍵在于如何將降次，最好直接與建立聯(lián)系.解法1運(yùn)用均值定理，解法2運(yùn)用柯西不等式，都達(dá)到了目的，解法3與解法1為同一解法，但顯得格外簡(jiǎn)捷，運(yùn)用均值定理一步到位地解決了問題.解法4通過(guò)對(duì)稱換元將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為整式函數(shù)的值域問題加以解決，起到了化難為易的作用.解法3顯得特別優(yōu)美，但運(yùn)用均值定理，必須注意配湊技巧

13、的運(yùn)用.為什么將配湊成呢？這里有兩個(gè)問題：一是為什么各湊成6項(xiàng)的和？二是為什么都加5個(gè)？原因就在于只有湊成6項(xiàng)的和，運(yùn)用均值定理時(shí)才會(huì)出現(xiàn)六次根號(hào)內(nèi)與5個(gè)數(shù)的積，從而才會(huì)出現(xiàn)（常數(shù)）.至于為什么各加5個(gè)，是因?yàn)檫\(yùn)用均值定理時(shí)要使兩處的“”中都取等號(hào)，必須，而只有時(shí)才會(huì)有.拓展 仿照解法3，我們可以證明下面的定理 函數(shù)的值域是.證明 .又，即.故函數(shù)的值域?yàn)? 據(jù)此定理，我們易知函數(shù)的值域?yàn)?題27 設(shè)，則的最小值是 （第九屆高二培訓(xùn)題第53題）BA解 可從絕對(duì)值的幾何意義上去想，以為例，如圖： 1 2 3 4所給的式子的幾何意義是數(shù)軸上坐標(biāo)為的點(diǎn)N與坐標(biāo)為1、2、3、4的4個(gè)點(diǎn)的距離的和顯然，

14、當(dāng)N在線段AB之外時(shí)，和大于N在線段AB上時(shí)的和；當(dāng)N在線段AB上時(shí)，N接近AB的中點(diǎn)，和就逐漸變小，N重合于AB的中點(diǎn)時(shí)，和達(dá)到最小因?yàn)?，所以?dāng)取2或3時(shí)，最小對(duì)于和式S=，設(shè)數(shù)軸上的點(diǎn)A、B分別表示1949、2001，則線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)是評(píng)析 本題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，根據(jù)兩數(shù)差的絕對(duì)值的幾何意義，很直觀地解決了問題拓展 運(yùn)用同樣的思想方法，可以得到下面的定理1 對(duì)于函數(shù)，若是奇數(shù)，則當(dāng)時(shí)，取得最小值；若是偶數(shù)，則當(dāng)時(shí)，取得最小值例1 求函數(shù)的最小值解 為偶數(shù)，-4<3<7<10,當(dāng)時(shí)，取得最小值（7+10）-（-4+3）=18.例2 求函數(shù)的最小值解 為奇數(shù)，-

15、10<-5<3<6<7,當(dāng)時(shí)，取得最小值（6+7）-（-10-5）=28.例3 已知且求函數(shù)的最小值解 ， =，故當(dāng)且僅當(dāng)x=-3且y=2時(shí)，取得最小值16若定理1中的“”中有一組或幾組相同的值，則定理仍然成立但當(dāng)為偶數(shù)且時(shí)，定理中的“”應(yīng)該改為“”例4 求函數(shù)的最小值解 已知函數(shù)就是，=5為奇數(shù)，取得最小值.例5 求函數(shù)的最小值解 =10為偶數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取得最小值更一般地，還有下面的定理2 設(shè)函數(shù)，則（1） 當(dāng)時(shí)，有最小值min,但無(wú)最大值（2） 當(dāng)時(shí)，有最大值max,最小值min（3） 當(dāng)時(shí)，有最大值max,但無(wú)最小值證明 不失一般性，設(shè)，則 -, = , ,由此可

16、見，函數(shù)的圖象是左右兩側(cè)兩射線和中間的（n-1）條線段依次連結(jié)而成的“折線形”(1)若，則函數(shù)的圖象中的左右兩射線分別由點(diǎn)（）和點(diǎn)（）向上無(wú)限延伸，中間是（n-1）條線段依次連結(jié)的折線，因此有最小值min,但無(wú)最大值（2）若，則函數(shù)的圖象中的左右兩射線分別由點(diǎn)（）和點(diǎn)（）向左右沿平行于x 軸方向無(wú)限延伸，中間是（n-1）條線段依次連結(jié)的折線，因此 有最大值max,最小值min（3）若，則函數(shù)的圖象中的左右兩射線分別由點(diǎn)和點(diǎn)向下無(wú)限延伸，中間是（n-1）條線段依次連結(jié)的折線，因此有最大值,但無(wú)最小值根據(jù)定理1，不難知道本賽題所求最小值為（1976+1977+2001）-（1949+1950+19

17、74）=702（當(dāng)n=1975時(shí)取得）想一想下面的問題：假設(shè)有一座大樓，從第1949層到第2001層，每層指定1人集中到該樓第k層（）的會(huì)議室開會(huì)，為使參會(huì)人員上、下樓梯所走的路程總和最小，求k及最短路程（假定每相鄰兩層樓之間的樓梯長(zhǎng)均為1）這一問題與本賽題實(shí)質(zhì)是否是同一問題？下面的問題供讀者練習(xí)：1、 求的最小值2、 求的最大值3、 求的最小值答案：1、-3 2、5 3、999 題28 ，則s的整數(shù)部分是 （）A、C、D、（第八屆高二第二試第題）解 若是等差數(shù)列, >0,則(是公差).由此，得.又知=.，選B.評(píng)析 顯然是數(shù)列的前項(xiàng)的和，直接求和，無(wú)法可依.能否用裂項(xiàng)相消法將每一項(xiàng)拆成

18、異號(hào)的兩項(xiàng)之和呢？考慮到，于是將變?yōu)椋俜糯鬄?，或縮小為，便使問題獲解.這是一道用“放縮法”求解不等式問題的好題目。但用“放縮法”解題，必須把握好放縮的“度”.就以此題為例，若將，就得，這樣就沒法確定到底是1998還是1999了.若做到這里，我們便應(yīng)考慮到題中的1不作變形，問題就會(huì)得到解決.此題來(lái)源于高中代數(shù)下冊(cè)（必修）P132第33題：用數(shù)學(xué)歸納法證明，.1992年全國(guó)高考“三南”試題：證明不等式：.這兩個(gè)結(jié)論合起來(lái)就有.此結(jié)論就是.當(dāng)時(shí)，A、B、C三個(gè)選擇支都合適，要正確選擇答案，必須對(duì)的上、下界作更精確的估計(jì).事實(shí)上，由，得.按常規(guī)，令，得個(gè)式子，再相加，得.取，得=1998或1999，

19、沒法確定選B還是選C.故令，得個(gè)式子，再相加，得.取，得.由于，1998，即.,故選B.運(yùn)用這種放縮思想，同樣可以解決第十三屆高二培訓(xùn)題第26題：的整數(shù)部分是 .解 ，即.取，得49個(gè)式子，并相加，得.顯然在8與9之間，故.拓展 將題中改為，得推廣1 當(dāng)為大于1的自然數(shù)時(shí)，的整數(shù)部分是.推廣2 當(dāng)為大于1的自然數(shù)時(shí)，的整數(shù)部分是.證明 ，令相加得,即,的整數(shù)部分是. 由于.同理, ,故又得推廣3 當(dāng)、為大于1的自然數(shù)時(shí)，的整數(shù)部分是.題 29 求函數(shù)的最小值和取最小值時(shí)的值 （第十三屆高二培訓(xùn)題第81題）y= -1xODM12NPyAx2=4y解法1 改寫為,改寫為，則 .因而等于動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之和的倍.動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線，恰好是它的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線是.因此（到準(zhǔn)線的距離）. .所以.此時(shí).即時(shí), 取得最小值12.解法2 由已知函數(shù)式，得，兩邊平方并整理，得，看作關(guān)于的方程，由，知，即，得或，因?yàn)?，即，故舍去，只?。?，將代入已知函?shù)式，得，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值.解法3 因?yàn)楣十?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值.解法4 因?yàn)椋栽O(shè)，則，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值.評(píng)析 高中數(shù)學(xué)課本中并未討論過(guò)求題中函數(shù)最值的通法，