八年級直角三角形答案

1、直角三角形一、直角三角形的性質(zhì) 重點(diǎn)：直角三角形的性質(zhì)定理及其推論：直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半;推論：（1）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，則它所對的直角邊等于斜邊的一半;（2）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角為30.難點(diǎn)：1.性質(zhì)定理的證明方法.2.性質(zhì)定理及其推論在解題中的應(yīng)用.二、直角三角形全等的判斷重點(diǎn)：掌握直角三角形全等的判定定理：斜邊、直角邊公理：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）難點(diǎn)：創(chuàng)建全等條件與三角形中各定理聯(lián)系解綜合問題。三、角平分線的性質(zhì)定理1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)

2、到這個(gè)角的兩邊的距離相等. 定理的數(shù)學(xué)表示：如圖4， OE是AOB的平分線，F(xiàn)是OE上一點(diǎn)，且CFOA于點(diǎn)C，DFOB于點(diǎn)D， CFDF. 定理的作用：證明兩條線段相等；用于幾何作圖問題；角是一個(gè)軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線.2.關(guān)于三角形三條角平分線的定理：（1）關(guān)于三角形三條角平分線交點(diǎn)的定理：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖6，如果AP、BQ、CR分別是ABC的內(nèi)角BAC、 ABC、ACB的平分線，那么： AP、BQ、CR相交于一點(diǎn)I； 若ID、IE、IF分別垂直于BC、CA、AB于點(diǎn)D、E、F，則DIEIFI. 定理的作用：用

3、于證明三角形內(nèi)的線段相等；用于實(shí)際中的幾何作圖問題.（2）三角形三條角平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部.這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心（即內(nèi)切圓的圓心）.3.關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：（1）會作已知線段的垂直平分線； （2）會作已知角的角平分線；（3）會作與線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡單綜合問題的圖形.四、勾股定理的證明及應(yīng)用勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，斜邊為，那么勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾

4、，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡可證方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 所以方法三：，化簡得證. 勾股定理的適用范圍勾股定理揭示

5、了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對象是直角三角形. 勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中，則，知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題.勾股定理的逆定理如果三角形三邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以，為三邊的三角形是直角三角形；若

6、，時(shí)，以，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時(shí)，以，為三邊的三角形是銳角三角形；定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形.勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時(shí)，稱，為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在

7、使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解. 勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論. 勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，

8、二者相輔相成，完成對問題的解決常見圖形：10、互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。 （2）已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。（3）用于證明線段平方關(guān)系的問題。（4）利用勾股定理，作出長為的線段勾股定理經(jīng)典例題透析類型一：勾股定理的直接用法 1、在RtABC中，C=90 (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路點(diǎn)撥: 寫解的過程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角

9、三角形中，注意勾股定理的變形使用。 解析：(1) 在ABC中，C=90，a=6，c=10,b= (2) 在ABC中，C=90，a=40，b=9,c= (3) 在ABC中，C=90，c=25，b=15,a= 舉一反三 【變式】:如圖B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長是多少? 【答案】ACD=90 AD=13, CD=12 AC2 =AD2CD2 =132122 =25 AC=5 又ABC=90且BC=3 由勾股定理可得 AB2=AC2BC2 =5232 =16 AB= 4 AB的長是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用 2、如圖，已知：在中，. 求：BC的長. 思路點(diǎn)撥

10、：由條件，想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作于D，則有，再由勾股定理計(jì)算出AD、DC的長，進(jìn)而求出BC的長. 解析：作于D，則因， （的兩個(gè)銳角互余） （在中，如果一個(gè)銳角等于， 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）. 根據(jù)勾股定理，在中， . 根據(jù)勾股定理，在中， . . 舉一反三【變式1】如圖，已知：，于P. 求證：. 解析：連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理，在中， . 而在中，則根據(jù)勾股定理有 . 又 （已知）， . 在中，根據(jù)勾股定理有 ， . 【變式2】已知：如圖，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。 分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長A

11、B、DC交于F，或延長AD、BC交于點(diǎn)E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。 解析：延長AD、BC交于E。 A=60，B=90，E=30。 AE=2AB=8，CE=2CD=4， BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。 S四邊形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用 （一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題 3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60方向走了到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。 （1）求A、C兩點(diǎn)之間

12、的距離。 （2）確定目的地C在營地A的什么方向。 解析：（1）過B點(diǎn)作BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC為直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得： 所以 （2）在RtABC中， BC=500m，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30的方向 舉一反三 【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門? 【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于CH如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中

13、線0.8米處，且CD， 與地面交于H 解：OC1米 (大門寬度一半)， OD0.8米 （卡車寬度一半） 在RtOCD中，由勾股定理得： CD.米， C.（米）.（米） 因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門 （二）用勾股定理求最短問題 4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊A、B、C、D，且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分請你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線 思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計(jì)算線路長，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)

14、論 解析：設(shè)正方形的邊長為1，則圖（1）、圖（2）中的總線路長分別為 AB+BC+CD3，AB+BC+CD3 圖（3）中，在RtABC中 同理 圖（3）中的路線長為 圖（4）中，延長EF交BC于H，則FHBC，BHCH 由FBH 及勾股定理得： EAEDFBFC EF12FH1 此圖中總線路的長為4EA+EF 32.8282.732 圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線 舉一反三 【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程 解： 如圖，在Rt中，底面周長的一半cm， 根據(jù)勾股定理得 （

15、提問：勾股定理） AC （cm）（勾股定理） 答：最短路程約為cm類型四：利用勾股定理作長為的線段 5、作長為、的線段。 思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。 作法：如圖所示 （1）作直角邊為1（單位長）的等腰直角ACB，使AB為斜邊； （2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角。斜邊為； （3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、的長度就是 、。 舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)。 解析：可以把看作是直角三角形的斜邊， 為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)， 而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得

16、另外兩邊分別是3和1。 作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑， 以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為。類型五：逆命題與勾股定理逆定理 6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確 1原命題：貓有四只腳（正確） 2原命題：對頂角相等（正確） 3原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等（正確） 4原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等（正確） 思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。 解析：1. 逆命題：有四只腳的是貓（不正確） 2. 逆命題：相等的角是對頂角（不正確） 3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上（正確）

17、 4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上（正確） 總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。 7、如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC的形狀。 思路點(diǎn)撥：要判斷ABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件入手，解決問題。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3

18、，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。 舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。 【答案】：連結(jié)AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90（勾股定理逆定理） 【變式2】已知:ABC的三邊分別為m2n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且mn),判斷A

19、BC是否為直角三角形. 分析:本題是利用勾股定理的的逆定理， 只要證明:a2+b2=c2即可 證明： 所以ABC是直角三角形. 【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=AB。 請問FE與DE是否垂直?請說明。 【答案】答：DEEF。 證明：設(shè)BF=a，則BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 連接DF（如圖） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。勾股定理經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、

20、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。 思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。 解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據(jù)題意得： （3x）2+（4x）2202 化簡得x216； 直角三角形的面積3x4x6x296 總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。 舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。 【答案】如圖，等邊ABC，作ADBC于D 則：BDBC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合） A

21、BACBC2（等邊三角形各邊都相等） BD1 在直角三角形ABD中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413 AD SABCBCAD 注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a，則其面積為a?！咀兪?】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。 【答案】設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是x，y，根據(jù)題意得： 由（1）得：x+y7， （x+y）249，x2+2xy+y249 (3) (3)(2)，得：xy12 直角三角形的面積是xy126（cm2） 【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。 思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊（最長的邊）長n+3，然后利

22、用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜邊長為n+3，由勾股定理可得： （n+1）2+（n+2）2（n+3）2 化簡得：n24 n2，但當(dāng)n2時(shí)，n+1190，BD、CE分別為AC、AB上的高，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證：FED=FDE。分析：因?yàn)锽D、CE分別為AC、AB上的高，所以BDC=BEC=90。在RtBDC中DF為斜邊上中線，所以。同理在RtBEC中，所以DF=EF，所以FED=FDE。例7：（2015年上海市中考題）已知：如圖6，在ABC中，AD是高，CE是中線。DC=BE，DGCE，G為垂足。求證：（1）G是CE的中點(diǎn)；（2）B=2BCE。分析：（1）E是RtADB斜邊上中點(diǎn)，連

23、DE，則，所以DE=DC。又因?yàn)镈GCE，所以G為CE的中點(diǎn)。（2）因?yàn)镈E=DC，所以1=2。因?yàn)镋DB=1+2，所以EDB=22。由性質(zhì)拓展知：B=EDB，所以B=22，即B=2BCE。例8：（2015年呼和浩特市中考）如圖7，在ABC中，C=2B，D是BC上的一點(diǎn)，且ADAB，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連AE。求證：（1）AEC=C；（2）求證：BD=2AC。分析：（1）因?yàn)锳E是RtBAD斜邊BD上中線，由性質(zhì)拓展可知：AEC=2B。又因?yàn)镃=2B，所以AEC=C。（2）由（1）AEC=C，所以AE=AC，AE是RtBAD斜邊上中線。由性質(zhì)可得：，所以，故BD=2AC。例9：（第四屆“祖沖之杯

24、”初二競賽）如圖8，在梯形ABCD中，ABCD，A+B=90，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)。求證：。分析：延長AD、BC交于G，連GE、GF。由于A+B=90，所以G=90。E、F分別為DC、AB中點(diǎn)。由性質(zhì)可得：。由性質(zhì)拓展可得：GDE=AGE，GAF=AGF。因?yàn)镃DAB，所以GDE=GAF，所以AGE=AGF，所以G、E、F三點(diǎn)在同一直線上，所以。例10：如圖9，在四邊形ABCD中，ACBC，BDAD，且AC=BD，M、N分別是AB、DC邊上的中點(diǎn)。求證：MNDC。分析：M是RtADB與RtACB斜邊上中點(diǎn)，連DM、CM，由性質(zhì)可得：，所以DMC為等腰三角形。又因?yàn)镹為CD的中點(diǎn)，所以M

25、NDC。經(jīng)典習(xí)題精講1、如圖所示，已知BEAC，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)，O是AC與BD的交點(diǎn)且是BD的中點(diǎn)，求證BE=DF。2、如圖所示，AD是ABC中BAC的平分線，ABC=2C，求證：AB+BD=AC。CABDE3、如圖所示，在ABC中，B=90，CAE和ACF的平分線相交于D，求D的度數(shù)。ABCFD4、如圖所示，在RtABC中，ACB=90，D為AB的中點(diǎn)，DEBC于E，求證CDE=A。6、如圖所示，AB/CD，AD=AB=BC，DC=2AB，求證BDBC。7、在等腰三角形中，腰上的高等于腰長的一半，求等腰三角形的頂角的度數(shù)。8、如圖所示，在ABC中，AB=AC，DAAC，BAC=120，求證BD=DC。C9、如圖所示，在四邊形ABCD中，AD/BC，BD=BC，AB=AC，BAC=90，求ABD的度數(shù)。10、如圖所示，D是ABC的邊BC的中點(diǎn)，DEAC,DFAB，垂足分別為E,F,且BF=CE,求證AD平分BAC。11、如圖所示，AD是BAC的平分線，DE,DF分別是ABD, ACD的高，求證AD垂直平分EF。12、如圖所示，B=90,AD=AB=BC,DEAC,求證BE=DC.13、如圖所示，AD/BC,DCAD,AE平分BAD，且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則AD,BC與AB之間有何數(shù)量關(guān)系？14、如圖所示，POMN,PDOA,PEOB，垂足分別為O,D,E,