高等數學概念定理推論公式

1、高等數學概念、定理、推論、公式 函數及圖形·和的絕對值不大于各項絕對值的和；·差的絕對值不小于各項絕對值的差；·乘積的絕對值等于各項絕對值的乘積；·商的絕對值等于被除數及除數的絕對值的商。·若自變量x在定義域X內每取得一確定值時，函數只有一個確定值與之對應，這種函數叫單值函數；否則就是多值函數。·若函數y=f(x)當x改變符號時函數值也只改變符號，即F(-x)=-f(x)，此函數叫奇函數，奇函數對稱于原點；若x改變符號，函數值不變，即f(-x)=f(x)，即為偶函數，偶函數對稱于y軸。·反函數的圖形與直接函數(原函數)的圖形

2、對稱于直線y=x 數列的極限及函數的極限·如果數列收斂，一定是有界的；·有界的數列不一定都是收斂的；·無界數列一定是發(fā)散的。·如果，而且A>0(或A<0)，那么就存在著點x0的某一鄰域，當x在該領域內，但xx0時，f(x)>0(或f(x)<0)。·如果f(x)0(或f(x)0)，而且，那么A0(或A0)。·函數f(x)當xx0時極限存在的充分必要條件是左右極限都存在且相等。·如果函數為無窮大，則為無窮?。环粗嗳?0)。·具有極限的函數可表示為等于其極限的一個常數及無窮小的和；反之，如果函數

3、可表示為常數及無窮小，則該常數就是函數的極限。·有限個無窮小的和(代數和)也是窺小。·有界函數與無窮小的乘積是無窮小，(常數乘以無窮小為無窮小，有限個無窮小的積是無窮小)。·以極限不為零的函數除無窮小所得的商是無窮小。·有限個具有極限的函數之和(代數和)的極限必存在，并且等于它們極限的和。·有限個具有極限的函數的積的極限必存在，并且等于它們極限的積。·常數因子可以提到極限符號的外面(即limcu=climu)。·具有極限的函數的正整數冪的極限必存在，并且等于函數極限的冪。·兩個具有極限的函數的商的極限，當分母極限不

4、為零時，這個極限必存在，并且等于它們極限的商。·如果，則ab。·如果ynxnzn (n=1,2,3);,則數列xn的極限存在，且9 / 21。·如果點x0的某一鄰域內的一切x(點xn本身可以除外)，或絕對值大于某一正數的一切x，有g(x)f(x)h(x)成立；存在，且等于A。·。·如果單調數列(增大或減小)xn是有界的，則必趨向一個極限。· 。·若lim=0，則是比較高階的無窮小，即0比0快些；·若lim=，則是比較低階的無窮小，即0比0慢些；·若lim=c0，則是與同階無窮小，即0與0同樣程度；

5、3;若lim=c0，k>0，則是關于的k階無窮??；·若lim=1，則是與等價無窮小，即；·若兩個無窮小與，如果，則無窮小是無窮小的主部。 函數的連續(xù)性·函數在點的某一鄰域內是有定義的，如果當自變量的增量(由值起趨向于零時，對應的函數的增量也趨向于零，則函數在點(或當x=時)為連續(xù)的。·函數在點的某一鄰域內是有定義的，當x時，函數的極限存在，且等于x=處的函數值，則函數在點(或當x=時)為連續(xù)的。·如果已知函數在點連續(xù)，那么求函數當x時的極限，只要把x用代入，而求它的函數值即可。·分式有理函數在它的定義域上每一點都是連續(xù)的，特別是

6、，x的多項式對于任何x值都是連續(xù)的。·函數y=sin x, y=cos x在區(qū)間(-，+)內是連續(xù)的。·在x=處沒有定義；或雖在x=處有定義，但不存在；或雖在x=處有定義，且存在，但；或函數在點處左右極限(即都存在，但，則函數在點不連續(xù)，點稱為間斷點。·在閉區(qū)間上連續(xù)的函數在該區(qū)間上至少取得它的最大值和最小值各一次。·介值定理：設函數在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數值那么，不論C是A與B之間的怎樣一個數，在開區(qū)間(a, b)內至少有一點，使得特別是如果異號，那么在開區(qū)間(a, b)內至少有一點，使得。·在開區(qū)間上連續(xù)的函數必

7、取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。·設函數f(x)在某區(qū)間X上有定義，如果對于任意給定的正數，總存在有一個正數，使在區(qū)間X內任意兩點x0,x，只要它們的距離小于，即當|x0-x|<時，就有不等式|f(x)-f(x0)|<成立，則f(x)在區(qū)間上是一致連續(xù)的。·如果函數f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則它們在該區(qū)間上一致連續(xù)。·有限個在某點連續(xù)的函數的和(代數和)是一個在該點連續(xù)的函數。·有限個在某點連續(xù)的函數的乘積是一個在該點連續(xù)的函數。·兩個在某點連續(xù)的函數的商，當分母在該點不為零時，是一個連續(xù)函數。·如果函數在某

8、區(qū)間上單值、單調增加(或減少)且連續(xù)，那么它的反函數也在某一對應的區(qū)間上單值、單調增加(或減少)。·設函數連續(xù)，而函數在點連續(xù)，且，又設復合函數在點的某一鄰域內是有定義的，那么這復合函數在也是連續(xù)的，即連續(xù)的復合函數也是連續(xù)的。·指數函數在區(qū)間(-，+)內是單調的和連續(xù)的；對數函數在區(qū)間(0，+)內單調且連續(xù)；冪函數在區(qū)間(0，+)內是連續(xù)的；即一切初等函數在其定義域內是連續(xù)的。也就是說一切初等函數若點在其定義域內，則當，函數的極限。 導數與微分·函數在點有導數必定在該點連續(xù)；在某點連續(xù)函數不一定在該點有導數。·若函數有導數，則它所表示的曲線在點的切線的

9、斜率為；若函數在該點連續(xù)而導數為無窮大，則表示切線垂直于x軸。·導數公式表：1、2、3、4、5、6、7、8、9、y = tg x10、y = ctg x11、12、 13、14、 15、16、17、18、19、20、·兩個函數的代數和的導數等于它們的導數的代數和，即。·兩個函數的乘積的導數等于第一個因子乘第二個因子的導數再加上第二個因子乘第一個因子的導數，即。·常數因子可能從導數的記號內提出來。·如果函數、在點有導數，且在該點不為零，則函數在點也有導數，并且。·反函數的導數等于直接函數的導數的倒數。·若函數在點有導數；在對應

10、點有導數，則復合函數在點的導數等于導數與導數的乘積，即，亦。·曲線參數方程所確定的函數的導數為：。·極坐標方程的導數(切線斜率)為·基本微分公式：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、·微分法則 中值定理·羅爾(Rolle)定理：若函數在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，且在開區(qū)間(a, b)內具有導數，又在區(qū)間兩端點的函數值相等，即，則在該區(qū)間內至少存在一點(a<<b)，使在該點函數的導數等于零：·拉格朗日(Lagrange)中值定理：若函數在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，且在

11、開區(qū)間(a, b)內具有導數，則在該區(qū)間內至少存在一點(a<<b)，使等式成立；·若函數在區(qū)間(a, b)內每一點的導數都為零：，則函數在該區(qū)間是一常數。·柯西(Cauchy)中值定理：若函數、在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，、在開區(qū)間(a, b)內具有導數，且在(a, b)內每一點均不為零，則在a, b之間至少存在一點，使等式成立。·羅必塔法則1、未定式()：當時，函數都趨于零；在點的某一鄰域內(點本身除外)，均存在且；存在(或無窮大)，則=。推論：當時，函數都趨于零；當|x|>N時存在且；存在(或無窮大)，則=。2、未定式()：當時，函數都趨于無窮大

12、；在點的鄰域內(點本身除外)，均存在且；存在(或無窮大)，則=。推論：當時，函數都趨于無窮大；當|x|>N時存在且；存在(或無窮大)，則=。·泰勒公式：若函數在含有點的某個開區(qū)間內具有直到階導數，則當在內時，可以表示為的一個次多項式與一個余項的和。(泰勒公式)。其中：(介于之間)(拉格朗日余項)。·麥克勞林公式： 導數的應用·函數單調增減必要條件：函數在區(qū)間上具有導數，如果在上為單調增加(或減少)，則在該區(qū)間上這函數的導數0(或0)。·函數單調增減充分條件：函數在區(qū)間上具有導數，如果在這區(qū)間上導數是正的：>0，則在區(qū)間上為單調增加；如果<

13、;0，則在區(qū)間上為單調減少。·函數極值必要條件：函數在處有導數，且在處取得極值(不論極大或極小)，則這函數在處的導數=0。·函數極值第一充分條件：函數在點的一個鄰域內具有導數且=0：如果當取左邊附近的值時，恒為正(或負)，當取右邊附近的值時，恒為負(或正)，則函數在處有極大值(或極小值)；如果當取左邊及右邊附近的值時，恒為正(或負)，則函數在處無極值。·函數極值第二充分條件：函數在點處具有二階導數且=0，則當<0時，函數在處取得極大值；當>0時，函數在處取得極小值。·函數凹性：函數在區(qū)間上具有二階導數，則在該區(qū)間上：當>0時曲線弧向上凹

14、；當<0時曲線弧向下凹。·函數拐點：函數在區(qū)間上具有二階導數，又為內一點，當在左邊附近恒為一種符號，在右邊附近恒為另一種符號時，點(，)為曲線上的一個拐點，這時必定為零；當在左、右邊附近處都保持同一種符號時，點(，)不是曲線的一個拐點。·函數漸近線：如果極限存在，且極限也存在，則曲線具有漸近線，它的方程為。·弧微分表達式：。·曲率：(為切線傾角)。圓上任一點的曲率等于半徑的倒數。·曲率半徑；曲率中心：。·方程近似解：方程在區(qū)間上，都存在且各自保持一定的符號，區(qū)間兩端的函數值異號，即。弦位法：；切線(牛頓)法：(當同號用前(后)式

15、。 不定積分·若先積分后微分，則兩者的作用相互抵消；反之，若先微分后積分，則抵消后要差一常數項。即：及·有限個函數的和的積分等于各個函數的積分的和。·被積函數中不為零的常數因子可以移到積分號外面來。·基本積分表1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、·設具有原函數可導，則的原函數，即有換元公式：。·設是單調的、可導的函數，并且；又設具有原函數，則是的原函數，即：。·分部積分：。·假定為真分式： 1、設是多項式的重根，即，則有分解式：，為常數，

16、為多項式 2、設復數是多項式的重根，(其共軛復數也應是的重根)，并令其中，即設：，則有分解式：，為常數，為多項式。 3、設多項式，則真分式可以分解為：式中等都是常數。分母中如果有因子，則分解有下列個部分分式之和：，式中為常數，如果。分母中如果有因子，則分解后為下列個部分分式之和：，式中都為常數，特別是如果，則分解后為：·三角函數積分：設，則：·定積分的性質： 1、常數因子可以提到積分號外。 2、函數的代數和的積分等于它們的積分的代數和。 3、交換定積分的上下限，絕對值不變，符號相反。 4、 5、 6、若在上，時，則 7、若在上，則。 8、若M、m是函數在上的最大值和最小值，則 9、中值定理：設函數在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上至少存在一點使得下式成立： =(ab)。·積分上限導數定理：設函數在上連續(xù)，則積分上限的函數：具有導數，并且它的導數是(axb)。·原函數存在定理：如果函數在上連續(xù)，則函數就是函數在該區(qū)間上的原函數。·牛頓萊布尼茲公式：如果是連續(xù)函數的區(qū)間上的一個原函數，則：。(定積分的