線性代數(shù)補(bǔ)充習(xí)題解重點(diǎn)

1、與書p137習(xí)6及練習(xí)八、（4）相似題.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知1，2，3是它的三個解向量，且，求該方程組的通解。4解：由四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,知對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系只有34一個解向量。由119頁及129頁性質(zhì)知2 1-（ 2+3）=（ 1- 2）+（ 1- 3）=是對5應(yīng)齊次線性方程組的一個解，由于其不等于0，于是它是一個基礎(chǔ)解系，因此原非齊次線性2131，其中k為任意實(shí)數(shù)。方程組的通解為書p138習(xí)10設(shè)*是非齊次線性方程組 Ax=b的一個解，1，2/ , n是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系。證明:證明：（1 ）由*是非齊次線性方程組Ax

2、=b的一個解，1，n+是對應(yīng)的齊次線（1） *，1， 2，z 線性無關(guān)；（2）*，*+，*+ n-r 線性無關(guān)。書本p59習(xí)10設(shè)a1,a2,an是一組n維向量，已知n維單位坐標(biāo)向量 e ,e2r en能由它們線性表示，證明印耳，,an線性無關(guān)。證明：由于 任意n維向量均可由單位 坐標(biāo)向量ei ,e2,en線性表示，所以向量組 aa2,an能由ee?,e.線性表示，又由題中條件 e-e?,e.能由aa2,an線性表示，于是ai,a2, ,an與eg, e.等價，因此它們的秩相等，又向量組的是a1,a2 ,an線性無關(guān)。秩為n，所以向量組aa2,，an的秩也為n,于性方程組的一個基礎(chǔ)解系，于是有

3、 A *=b, A 0。設(shè)存在一組數(shù)k, k1 , k2,匕使 k + k1+ o o o + k n-r n-r=0,兩邊同時左乘 A,則有 kA + k11 + o o o + k n-r A n -r=0,即k A =kb=0 ,由 b = 0 知 k=0，于是 k1 廣。+ kn-r n-r=0，由 1,2,，n_r線性無關(guān)知1= 2二二n丄=0,即* ,1 ,2/ , n_r線性無關(guān)；（2）設(shè)存在一組數(shù) k , k1 , k2,kn使*+（口 *+ ） + ooo +kn-r （口 *+n-r）=0,即（k+匕 + k2 + kn 丄）+ k1 + ooo + kn-r -n-r =

4、0,兩邊同時左乘 A，則有（k+ & + k2 kn-r） A *+ k1 A +ooo + kn-rA n-r=0,可知 k+ k1 + k2 川川kn_r =0, 于是ki i + o oo + kn-r n-r =0 ,由1 ,2,，n線性無關(guān)知 1 = 2 =-n=0 ,從而k=0，于是 ， +冷，。oo, + =n-r線性無關(guān)。書p175習(xí)16 （3） 證明：由二次型性質(zhì)，知存在正交矩陣p,正交變換x=py把人I二次型化為 f =xTAx =yT（PAP） y=yT 匕y = hy+nyn ,其中，人n j1, , n為A的特征值。由|x = 1，知I|y|=1，即y, yn2=1，

5、因此f的最大值為矩陣A的最大特征值。補(bǔ)充題1證明R（A）=1的充分必要條件是存在非零列向量:-及非零行向量bT ,使A=bT .證明：必要性：設(shè)A是m n矩陣，由R（A）=1,則存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q使vIf斗A= P0I-(1 0 0 反 Q,令0 =p400jmX0j及 bT= 1001 n Q,則100_0a03+030*衛(wèi)00 一m610。1 n,則有PAQ=和b分別為非零列向量和非零行向量勺、a?tt充分性:設(shè)口 =:和b =(db2bn分別是非零列向量及非零行向量，由A=a b及補(bǔ)充性質(zhì) R (AB )_ minR(A),R(B),知aibita? biR(A)蘭1,又 A

6、= 0( b =am bia-|b2a2 b2aamb?aibna2bn:,aibj不可能全為零，于是am bnR(A)=1.2設(shè) bi= aia2,b2= a2a3,= a3 a ,b4= a a，證明向量組 b,b2,b3,線性相關(guān)。證明：由于bdb2I0b3b4于4,因此向量組3.設(shè)b = a, b2i 01 10 i0 0a2a3且矩陣bi,b2,b3,b4的秩也小于 ai a2 , br二 a1bi,b2/ ,br線性無關(guān)。證明向量組關(guān)。01 ai I0a2I010的行列式等于4，于是 bi ,b2,b3,b4線性相關(guān)。a20，于是其秩小 ar，且向量組 a,a2,，a線性無關(guān),01

7、0可逆及補(bǔ)充性質(zhì)知 b,b2,br線性無4.設(shè) ai,a2,an是組n維向量，證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是：任一 n維向量均可由它們線性表示。證明：必要性：若 a1,a2/ ,an線性無關(guān)，則對于任一 n維向量a，向量組a1,a2,an，a線性相關(guān)(p50頁推論)，于是a可由a1,a2/ ,an線性表示；充分性：若任一 n維向量均可由ai,a2,，a.線性表示，則單位向量組 6,色命能由它們線性表示，又 ai耳，,an能由e g, en線性表示，于是 ai耳，,an與e , en等 價，它們的秩相等，所以 a1,a2 ,an線性無關(guān).5設(shè)向量組 印忌,，am線性相關(guān)，且印=0,證明存在某個

8、向量 ak（2乞km），使ak能由 印月2,ak-i線性表示。證明：反證法。假設(shè)對于任意向量 ak （2_k _m）， ak都不能由ai,a2,ak-i線性表示。 即a2不能由a1線性表示，亦即方程 a2 = x1 a1無解，由 印=0,知R（ a1）=1，于是必有R（ ai , a2 ）=2,即ai， a?線性無關(guān)；同理，a3不能由a， a?線性表示，亦即方程 a3 = xi ai + X2a2無解，由 R（aa2）=2,知 R（ &，a?， a3）=3，依此類推，知 am不能由 aa2,am-i線性表示，則有 R（ aa2,am）=m，即aa2,am線性無關(guān)，與已知 它們線性相關(guān)矛盾，于是

9、假設(shè)錯誤，即必存在某個向量ak （ 2 _ k _ m），使ak能由aid,ak-i線性表示。6.設(shè)向量組 b： bi ,b2 / br能由向量組A: ai,a2 / , as線性表示為bib, br)=（ai,a2/ ,as）K，其中 K 為s r矩陣,且A組線性無關(guān)，證明 B組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣證明：設(shè)K=K 的秩 R(K)=r.kiik 2iki2k 22kirk2r，由（bi,b2/ br)=( ai,a2/ ,a$)K 則有k sik s2k srb i = k iiai b 2 = k i2aik202ksiask22a2ks2as，設(shè)有一組數(shù) 、宀,r，使b r k i

10、raik2a2ksras(ik2i*入 2k22 +*-rk2r)a2 +(ik2i*入 2k22 +*-rk2r)a2 +ibi + 2b2 川川br=0，即i (kiiaik2ia ksias) +2 (ki2ai+ k?2a2 +ks2as)+。+(ik2i*入 2k22 +*-rk2r)a2 +(ik2i*入 2k22 +*-rk2r)a2 +r(kiraik2raksras)=0，整理得(ikii 2ki2rkijai(ik2i*入 2k22 +*-rk2r)a2 +(%寸$2 川淚：rksr)as =0由ai ,a2, as線性無關(guān)得I人i ksi * r ksrB組線性無關(guān)的充要

11、條件是該方程組只有零解，ki2k 22而該方程組只有零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣K=kiik 2ik ir I k 2r的秩R（ K）=r。ksiks2k sr7已知3階矩陣a與3維列向量x滿足A3x = 3Ax - A 2x，且向量組x, Ax, A2x線性無關(guān)。（1 ）記 P=（ x. Ax，A2x ），求 3 階矩陣 B,使 AP=PB ；（ 2 ）求 A。322解：由a x=3Ax-A x有 a ( A x +Ax-3x ) =0,假設(shè) A式0,貝U A可逆，于是有A =0。A 2x+Ax-3x=0，與條件x, Ax， A 2x線性無關(guān) 矛盾，假設(shè)錯誤，即有(x. Ax，A2xa2i-

12、a3ia22a32a23a33=A(x. Ax , A2x ),由 A3x=3Ax-A2x 有(x. Ax，A2xaiia2i.a3iai2a22a32ai3 I/A 2典 3、a23 = (Ax , A x , A x )=a3323(Ax， A2x ,3Ax- A2x ),由矩陣乘法及x, Ax，A 2x線性無關(guān)可知aiiai2ai38設(shè)矩陣A= ( ai ， a2，a3，a4a2ia3ia 22a32），其中a2a23a33a3，0i0013_ia4線性無關(guān),3i =2 a? -，向量b= ai + a? + a + a4,求萬Ax=b的通解。解：由a?, a3, a4線性無關(guān)，ai =

13、2 a? - 知 r（A） =3，于是方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系只由向量組x,Ax , A2x線性無關(guān)知P可逆，再由AP=PB知B= PAP，貝y B唯一。設(shè)-aiiai2ai3aiiai2ai3B=a2ia22a23，則Pa2ia22a23=ap ,即a3ia32a33 _la3ia32a33 _ai2ai3I 1-2I 1I 01-2I 111是Ax=o的基礎(chǔ)解系。又由 b= a-i + a2 + a3 + a4,即(a-, a2, a3, a)111丄=b,11-2是Ax=b的一個特解，于是該方程組的通解為+k1111 一1 111 10 一llI 1知,k為任意實(shí)數(shù)。有一個解向量。又由

14、a1 =2 a2 - a3 有 a1 -2 a2 + a3 +0 a4 =0，即(a1，a2，a3，a4)9.設(shè)X為n維列向量，xTx =1，令H=E-2 XXT,證明H是對稱的正交陣。證明：Ht =(E -2xxt)t = Et -(2xxt)t 二 E-2xxT = H，因此 h 是對稱陣。HH T = (E -2xxt)(E -2xxt) =E- 4xxT +4 xxTxxT,由 xTx =1 , 則HH t=E- 4xxT +4xxT =E，因此 H 為正交陣。10設(shè)A為正交陣，且 A = -1,證明=-1是A的特征值。證明：由A為正交陣，有A，=AT，又A二-1,則A + E| =|a(E +A)=|A E +A-* = E + A* = (E + A)T = E + A,于是有A + E，= 0 ,即九=-1是A的特征值。11.設(shè) = 0是m階矩陣Am nBn m的特征值，證明也是n階矩陣BA的特征值。證明：由=0是m階矩陣Am nBnm的特征值，設(shè)p是它對應(yīng)的特征向量，則ABp= p,等式兩端都左乘 B,有BABp= Bp，由7- 0 , p是特征向量也不等于 0,于是 Bp =0,且是一列向量，即知也是n階矩陣BA的特征值，Bp是它對應(yīng)的特征向量。12.設(shè)3階矩陣a的特征值為 =2, 2 -2, 3 = 1 ；對應(yīng)的