廈門理工材料力學-第7章

1、材料力學材料力學Mechanics of materials 機械傳動機構(gòu)中的齒輪軸，當機械傳動機構(gòu)中的齒輪軸，當變形過大時變形過大時(圖中虛線所示圖中虛線所示)，兩齒，兩齒輪的嚙合處將產(chǎn)生較大的撓度和轉(zhuǎn)輪的嚙合處將產(chǎn)生較大的撓度和轉(zhuǎn)角，這就會影響兩個齒輪之間的嚙角，這就會影響兩個齒輪之間的嚙合，以致不能正常工作。合，以致不能正常工作。 同時，還會加大齒輪磨損，同同時，還會加大齒輪磨損，同時將在轉(zhuǎn)動的過程中產(chǎn)生很大的噪時將在轉(zhuǎn)動的過程中產(chǎn)生很大的噪聲。聲。 此外，當軸的變形很大時，軸此外，當軸的變形很大時，軸在支承處也將產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)角，從在支承處也將產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)角，從而使軸和軸承的磨損大大增加

2、，降而使軸和軸承的磨損大大增加，降低軸和軸承的使用壽命。低軸和軸承的使用壽命。 在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸相互轉(zhuǎn)過一角度，從而使梁的軸橫截面繞中性軸相互轉(zhuǎn)過一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，這一曲線稱為梁的線彎曲成平面曲線，這一曲線稱為梁的撓度曲線撓度曲線（deflection curve）。）。 根據(jù)上一章所得到的根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點的曲率與這一曲線在一點的曲率與這一點處橫截面上的彎矩、彎點處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系：曲剛度之間存在下列關(guān)系： EIM1橫 截

3、 面 形 心 處 的 鉛 垂 位 移 ， 稱 為橫 截 面 形 心 處 的 鉛 垂 位 移 ， 稱 為 撓 度撓 度（deflection），用），用w表示；表示；變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為的角度，稱為轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角（slope），用），用 表示；表示；橫截面形心沿水平方向的位移，稱為橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移軸向位移或或水平位移水平位移（horizontal displacement），用），用u表示。表示。 在小變形情形下，上述位移中，水平位移在小變形情形下，上述位移中，水平位移u與撓與撓度度w相比為高階小量，故

4、通常不予考慮。相比為高階小量，故通常不予考慮。 在在Oxw坐標系中，撓度與坐標系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在下列關(guān)系：轉(zhuǎn)角存在下列關(guān)系： 在小變形條件下，撓度曲在小變形條件下，撓度曲線較為平坦，即線較為平坦，即 很小，因而上很小，因而上式中式中tan。于是有。于是有tanddxwxwddw w（x），稱為），稱為撓度方程（撓度方程（deflection equation）。 EIMxw22ddEIMxw22dd00dd22Mxw,00dd22Mxw, 采用向下的采用向下的w坐標系，有坐標系，有EIMxw22ddEIMxw22dd dddlM xwxCxEI DCxxxEIxMwlldd梁的彎曲撓度與梁的

5、彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。和最大轉(zhuǎn)角。 左端固定、左端固定、右端自由的懸臂梁承受右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集均布載荷。均布載荷集度為度為q ，梁的彎曲剛度為，梁的彎曲剛度為EI 、長度為、長度為l。q、EI 、l均已知。均已知。 建立建立Oxw坐標系（如圖所示）。因為梁上作坐標系（如圖所示）。因為梁上作用有連續(xù)分布載荷，所以在梁的全長上，彎矩可用有連續(xù)分布載荷，所以在梁的全長上，彎矩可以用一個函數(shù)描述，即無需分段。以用一個函數(shù)描述，即無需分段。 從坐標為從坐標為x的任意截面處截開，因為固定端有兩的任意截面處截開，因為固定端有兩個約束力，考慮截

6、面左側(cè)平衡時，建立的彎矩方程比個約束力，考慮截面左側(cè)平衡時，建立的彎矩方程比較復雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程：較復雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程： 21( )02M xq lxxl x21( )02M xq lxxl 將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得 212EIwMq lx 積分后，得到積分后，得到 212EIwMq lx 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD固定端處的約束條件為：固定端處的約束條件為： 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD00 xw，d00dwxx， =33,624qlCql

7、D 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD33,624qlCqlD 336qlxlEI 434424qwlxl xlEI336qlxlEI 434424qwlxl xlEI 從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。 于是，將于是，將 x = l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到：方程，得到： 3max6BqlEI4max8BqlwwEI加力點加力點B的撓的撓度和支承度和支承A、C處的轉(zhuǎn)處的轉(zhuǎn)角。角。簡支梁受簡支梁受力如圖所示。力如圖所示。FP、EI、l 均為已知。均為已知。

8、 因為因為B處作用有集中力處作用有集中力FP，所以需要分為，所以需要分為AB和和BC兩段建立彎矩方程。兩段建立彎矩方程。 首先，應用靜力學方法首先，應用靜力學方法求得梁在支承求得梁在支承A、C二處的二處的約束力分別如圖中所示。約束力分別如圖中所示。 在圖示坐標系中，為確定梁在在圖示坐標系中，為確定梁在0l/4范圍內(nèi)各截面范圍內(nèi)各截面上的彎矩，只需要考慮左端上的彎矩，只需要考慮左端A處的約束力處的約束力3FP/4；而確定；而確定梁在梁在l/4l范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處處的約束力的約束力3FP/4和荷載和荷載FP。 于是，于是，AB和和BC兩段的

9、彎矩方程分別為兩段的彎矩方程分別為 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 211P2d30d44wlEIMxF xxx 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx積分后，得積分后，得 211P2d30d44wlEIMxF xxx 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw其中，其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約為積分常數(shù)，由支

10、承處的約束條件和束條件和AB段與段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定。段梁交界處的連續(xù)條件確定。 12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw 在支座在支座A、C兩處撓度應為零，即兩處撓度應為零，即x0， w10; xl， w20 因為，梁彎曲后的軸線應為連續(xù)光滑曲線，所以因為，梁彎曲后的軸線應為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與段與BC段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 212P183CxFEI22P2P242183Cl

11、xFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIwx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2D1D2 =02P211287lFCC 將所得的積分常數(shù)代入后將所得的積分常數(shù)代入后,得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為： 22P378128FxxlEI xlxEIFxw23P128781 222P317824128FlxxxlEI xllxxEIFxw233P128746181 據(jù)此，可以算得加力點據(jù)此，可以算得加力點B處的撓度和支承處處的撓度和支承處A和和C的轉(zhuǎn)角分別為的轉(zhuǎn)角分別為 EIlFwB3P

12、25632P7128AF lEI2P5128BF lEI 確定約束力確定約束力, ,判斷是否需要分段以及分幾段判斷是否需要分段以及分幾段 分段建立撓度微分方程分段建立撓度微分方程 微分方程的積分微分方程的積分 利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù) 確定確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度 與轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)角 分段寫出彎矩方程分段寫出彎矩方程簡支梁簡支梁受力如圖所示，受力如圖所示，q、l、EI均為已知。均為已知。C截面的截面的撓度撓度wC ；B截面的截面的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 B。321CCCCwwww1. .將梁上的載荷變將梁上的載荷變?yōu)槿N簡單的

13、情形。為三種簡單的情形。123BBBB2. .由撓度表查得由撓度表查得三三種種情形下情形下C截面的撓度和截面的撓度和B截截面的轉(zhuǎn)角面的轉(zhuǎn)角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,EIqlEIqlEIqlBBB333231311612413. 應用疊加法，將簡單應用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果分別疊加載荷作用時的結(jié)果分別疊加 將上述結(jié)果按代數(shù)值相將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別得到梁加，分別得到梁C截面的撓截面的撓度和支座度和支座B處的轉(zhuǎn)角處的轉(zhuǎn)角: : ,EIqlwwiCiC43138411EIqliBiB3314811懸臂梁懸臂梁受力如圖所示，受力如圖所示，q、

14、l、EI均為已知。均為已知。C截面的截面的撓度撓度wC和和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 C。1. . 首先，將梁上的載首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形荷變成有表可查的情形 為了利用撓度表中為了利用撓度表中關(guān)于梁全長承受均布載關(guān)于梁全長承受均布載荷的計算結(jié)果，計算自荷的計算結(jié)果，計算自由端由端C處的撓度和轉(zhuǎn)角，處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長至梁先將均布載荷延長至梁的全長，的全長，為了不改變原為了不改變原來載荷作用的效果，在來載荷作用的效果，在AB段還需段還需再加上集度相再加上集度相同、方向相反的均布載同、方向相反的均布載荷荷。 分別畫出這兩種情分別畫出這兩種情形下的撓度曲線大致形形下的撓度曲線大致形狀。于是，

15、由撓度表中狀。于是，由撓度表中關(guān)于承受均布載荷懸臂關(guān)于承受均布載荷懸臂梁的計算結(jié)果，上述兩梁的計算結(jié)果，上述兩種情形下自由端的撓度種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為和轉(zhuǎn)角分別為 再將處理后的梁再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引形，計算各個簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角起的撓度和轉(zhuǎn)角 兩種情形下自由端的撓兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為度和轉(zhuǎn)角分別為再將處理后的梁分解再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起的撓度算各個簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角414322218112128482,CCBBqlwEIlqlql

16、lwwEIEI EIqlEIqlCC323148161,將簡單載荷作用的將簡單載荷作用的結(jié)果疊加結(jié)果疊加 ,EIqlwwiCiC42138441EIqliCiC321487鋼制圓軸，左端受力為鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角處的許用轉(zhuǎn)角 =0.5。根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。 B根據(jù)要求，所設(shè)計的軸直徑必須使軸具有足根據(jù)要求，所設(shè)計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需

17、按下列步驟計算。為此，需按下列步驟計算。BEIlaFB3P由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處處的轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)角為 由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)處的轉(zhuǎn)角為角為 BEIlaFB3P B根據(jù)設(shè)計要求，有根據(jù)設(shè)計要求，有 B根據(jù)設(shè)計要求，有根據(jù)設(shè)計要求，有 B其中，其中， 的單位為的單位為rad（弧度），而（弧度），而 的單位為（的單位為（）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑得到軸的直徑 111mmm10111m100.520631018021206

18、43-493d橫 截 面 形 心 處 的 鉛 垂 位 移 ， 稱 為橫 截 面 形 心 處 的 鉛 垂 位 移 ， 稱 為 撓 度撓 度（deflection），用），用w表示；表示；變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為的角度，稱為轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角（slope），用），用 表示；表示；EIMxw22dd dddlM xwxCxEI DCxxxEIxMwlldd321CCCCwwww1. .將梁上的載荷變將梁上的載荷變?yōu)槿N簡單的情形。為三種簡單的情形。123BBBB 分別畫出這兩種情分別畫出這兩種情形下的撓度曲線大致形形下的撓度曲線大致形狀。

19、于是，由撓度表中狀。于是，由撓度表中關(guān)于承受均布載荷懸臂關(guān)于承受均布載荷懸臂梁的計算結(jié)果，上述兩梁的計算結(jié)果，上述兩種情形下自由端的撓度種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為和轉(zhuǎn)角分別為 再將處理后的梁再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引形，計算各個簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角起的撓度和轉(zhuǎn)角 0ByBBBFwqwwFBxBl AMAFAyFAxFBy 0ByBBBBFqMMBBl AMAwB(MB)+wB(q)+wB(FBy)=0B AlFAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0Bl AMAFAyFA

20、xFBwB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)wB(FBy)Bl AMAFAyFAxlB AMAFAyFAxFBFAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)= - Fbyl 3 /3EIBl AMAFAyFAxFB二梁的受力二梁的受力( (包括載荷與約束力包括載荷與約束力) )是否相同？是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？ 正確回答這些問題，有利于理解位移與變正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的相互關(guān)系。形之間的相互關(guān)系。FPABC 試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀出梁的撓度曲線的大致形狀 試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀出梁的撓度曲線的大致形狀Bl AMBFByMAFAyBl AMAFAyMBFByBl Al A