2002考研數(shù)二真題及解析

1、2002年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上)(1) 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則 .(2) 位于曲線下方，軸上方的無界圖形的面積是_.(3) 微分方程滿足初始條件的特解是_.(4) _ .(5) 矩陣的非零特征值是_.二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，當(dāng)自變量在處取得增量時，相應(yīng)的函數(shù)增量 的線性主部為，則=( )(A)1 (B)0.1 (C)1 (D)0.5(2) 設(shè)函數(shù) 連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是( )

2、(A) (B)(C) (D)(3) 設(shè)是二階常系數(shù)微分方程 滿足初始條的特解，則當(dāng)，函數(shù)的極限( )(A)不存在 (B)等于1 (C)等于2 (D)等于3(4) 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有界且可導(dǎo)，則( )(A)當(dāng)時，必有.(B)當(dāng)存在時，必有.(C)當(dāng)時，必有.(D)當(dāng)存在時，必有.(5) 設(shè)向量組線性無關(guān)，向量 可由線性表示，而向量 不能由線性表示，則對于任意常數(shù) ，必有( )(A) , 線性無關(guān)； (B) , 線性相關(guān)；(C),線性無關(guān)； (D),線性相關(guān)三、(本題滿分6分)已知曲線的極坐標(biāo)方程是 ，求該曲線上對應(yīng)于處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程.四、(本題滿分7分)設(shè)求函數(shù)的表達(dá)式.五、(本題滿分7分

3、)已知函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)， , 且滿足,求.六、(本題滿分8分)求微分方程的一個解,使得由曲線， 與直線以及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小.D 1m 1m C A B1ml h七、(本題滿分7分)某閘門的性狀與大小如圖所示，其中直線 為對稱軸，閘門的上部為矩形，下部由二次拋物線與線段所圍成，當(dāng)水面與閘門的上端相平時，欲使閘門矩形部分承受的水壓力與閘門下部承受的水壓力之比為5：4，閘門矩形部分的高 應(yīng)為多少 (米)？八、(本題滿分8分)設(shè)，證明數(shù)列的極限存在，并求此極限.九、(本題滿分8分)設(shè)，證明不等式十、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù) 在的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 證明:存在惟一的一組

4、實數(shù)，使得當(dāng)時，是比高階的無窮小.十一、(本題滿分6分)已知為3 階矩陣，且滿足,其中是3階單位矩陣.(1) 證明：矩陣可逆；(2) 若,求矩陣十二、(本題滿6分)已知4階方陣均為4維列向量，其中線性無關(guān)，.如果，求線性方程組的通解.2002年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題(1)【答案】 -2 【詳解】如果分段函數(shù)連續(xù)，則在0點處的左右極限相等，從而確定的值當(dāng)時，；，所以有 如果在處連續(xù)，必有 即(2)【答案】 1 【詳解】面積其中 (3)【答案】【詳解】方法1：這是屬于缺的類型 命原方程化為，得或，即，不滿足初始條件，棄之；所以所以，分離變量得，解之得 即由初始條件，可將

5、先定出來： 于是得解之得，以代入，得，所以應(yīng)取“+”號且 于是特解是方法2：將改寫為，從而得 以初始條件代入，有，所以得 即，改寫為 解得再以初值代入，所以應(yīng)取且 于是特解(4)【答案】【詳解】利用定積分的概念將被積函數(shù)化為定積分求極限因為 其中，所以根據(jù)定積分的定義，有(5)【答案】4【詳解】記，則(對應(yīng)元素相減)兩邊取行列式，(其中指數(shù)中的1和1分別是所在的行數(shù)和列數(shù))令，解得，故是矩陣的非零特征值(另一個特征值是(二重)二、選擇題(1)【答案】(D)【詳解】在可導(dǎo)條件下，當(dāng)時稱為的線性主部而，以代入得，由題設(shè)它等于01，于是，應(yīng)選(D)(2)【答案】(D)【詳解】對與(D)，令，則，令，

6、則，所以所以(D)為偶函數(shù)同理證得(A)、(C)為奇函數(shù)，而(B)不確定，如故應(yīng)選(D)(3)【答案】(C)【詳解】由，且，可知方法1：因為當(dāng)時，所以，故選(C)方法2：由于 將函數(shù)按麥克勞林公式展開，代入，有(4) 【詳解】方法1：排斥法令，則在有界，但不存在，故(A)不成立；，但 ，(C)和(D)不成立，故選(B)方法2：證明(B)正確 設(shè)存在，記，證明用反證法，若，則對于，存在，使當(dāng)時，即由此可知，有界且大于在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有從而，與題設(shè)有界矛盾類似可證當(dāng)時亦有矛盾 故(5)【答案】A【詳解】方法1：對任意常數(shù)，向量組，線性無關(guān) 用反證法，若，線性相關(guān)，因已知線性無關(guān)，故可

7、由線性表出 即存在常數(shù)，使得 又已知可由線性表出，即存在常數(shù)，使得代入上式，得與不能由線性表出矛盾故向量組，線性無關(guān)，選(A)方法2：用排除法B選項：取，向量組，即，線性相關(guān)不成立，否則因為，線性相關(guān)，又線性無關(guān)，故可由線性表出即存在常數(shù)，使得 與已知矛盾，排除(B)C選項：取，向量組，即，線性無關(guān)不成立，因為可由線性表出，線性相關(guān)，排除(C)D選項：時，線性相關(guān)不成立若，線性相關(guān)，因已知線性無關(guān)，故可由線性表出即存在常數(shù)，使得 . 又已知可由線性表出，即存在常數(shù)，使得代入上式，得因為，故 與不能由線性表出矛盾故,線性相關(guān)不成立，排除(D)故選(A)三【詳解】由極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的變換公式，化極

8、坐標(biāo)曲線為直角坐標(biāo)的參數(shù)方程為， 即 曲線上的點對應(yīng)的直角坐標(biāo)為于是得切線的直角坐標(biāo)方程為，即(這是由直線的點斜式得到的，直線的點斜式方程為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在時斜率為1，且該點的直角坐標(biāo)為)， 法線方程為即(這是由直線的點斜式方程及在同一點切線斜率與法線斜率為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系而得) 四【詳解】當(dāng)時當(dāng)時，所以五【詳解】因為，又 ， 從而得到 于是推得 ，即解此微分方程，得 ，改寫成 再由條件，于是得六【詳解】這是一階線性微分方程，由通解公式(如果一個一階線性方程為那么通解為)有由曲線與及軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積為(旋轉(zhuǎn)體的體積公式：設(shè)有連續(xù)曲線，與直線及軸圍成平面圖形該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)

9、一周產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)體的體積為)取使最小，由求最值的方法知先求函數(shù)的駐點，即的點，解得 又，故為的惟一極小值點，也是最小值點，于是所求曲線為yD 1m 1m C 七【詳解】方法1：建立坐標(biāo)系如下圖，由于底部是二次拋物線我們設(shè)此拋物線為l h，由坐標(biāo)軸的建立知此拋物線過A B O x點，把這兩點代入拋物線的方程，1m得，所以即底部的二次拋物線是，細(xì)橫條為面積微元，按所建立的坐標(biāo)系及拋物線的方程，得到面積微元，因此壓力微元 (這是由壓力的公式得到的：壓力=壓強(qiáng)面積)平板上所受的總壓力為 其中以代入，計算得拋物板上所受的總壓力為 其中由拋物線方程知，代入計算得，由題意，即 解之得(米)(舍去)，即閘門矩形部

10、分的高應(yīng)為八【詳解】由知及均為正數(shù)，故 (為正數(shù))假設(shè)，則再一次用不等式，得由數(shù)學(xué)歸納法知，對任意正整數(shù)有另一方面，所以單調(diào)增加單調(diào)增加數(shù)列有上界，所以存在，記為由兩邊取極限，于是由極限的運算性質(zhì)得 即解得或，但因且單調(diào)增，故，所以九【詳解】左、右兩個不等式分別考慮. 先證左邊不等式，方法1：由所證的形式想到用拉格朗日中值定理而中第二個不等式來自不等式(當(dāng)時)，這樣就證明了要證明的左邊方法2：用單調(diào)性證，將改寫為并移項，命，有(當(dāng))，所以，當(dāng)時單調(diào)遞增. 所以，故，即 再證右邊不等式，用單調(diào)性證，將改寫為并移項，命有，及所以當(dāng)時，再以代入，得即右邊證畢十【詳解】從題目結(jié)論出發(fā)，要證存在唯一的一

11、組，使得由極限的四則運算法則知，分子極限應(yīng)為0，即由于在連續(xù)，于是上式變形為 由知 (1)由洛必達(dá)法則， (2)由極限的四則運算法則知分子的極限應(yīng)是，即由于在連續(xù)，于是上式變形為，由知 (3)對(2)再用洛必達(dá)法則，和在連續(xù)由，故應(yīng)有 (4)將(1)、(3)、(4)聯(lián)立解之，由于系數(shù)行列式由克萊姆法則知，存在唯一的一組解滿足題設(shè)要求，證畢十一【詳解】(1) 由題設(shè)條件，兩邊左乘，得，即 所以 ，根據(jù)可逆矩陣的定義知可逆，且(2) 由(1)結(jié)果知，根據(jù)逆矩陣的性質(zhì)，其中為不等于零的常數(shù)，有故 又 (對應(yīng)元素相減)因為若，對進(jìn)行初等行變換，故，代入中，則(常數(shù)與矩陣相乘，矩陣的每一個元素都需要乘以該常數(shù))(對應(yīng)元素相加)十二【詳解】方法1：記，由線性無關(guān)，及即可以由線性表出，故線性相關(guān)，及即可由線性表出，知系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等，故有解對應(yīng)齊次方程組，其系數(shù)矩陣的秩為3，故其基礎(chǔ)解系中含有4-3(未知量的個數(shù)-系數(shù)矩陣的秩)個線性無關(guān)的解向量，故其通解可以寫成，是的一個特解，根據(jù)非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理，知的通解為，其中是對應(yīng)齊次方程組的通解，是的一個特解，因故，故是的一個非零解向量，因為的基礎(chǔ)解系中只含有一個解向量，故是的基礎(chǔ)解系又，即故是