2001考研數(shù)一真題及解析

1、2001 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分，把答案填在題中橫線(xiàn)上)(1) 設(shè)(為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的通解，則該方程為 (2) 設(shè)則 (3) 交換二次積分的積分次序： (4) 設(shè)矩陣滿(mǎn)足,其中 為單位矩陣，則 (5) 設(shè)隨機(jī)變量 的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計(jì) 二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1) 設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖形如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù) 的圖形為 ( )(2) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，且則 ( )(A)(

2、B)曲面在點(diǎn)的法向量為3,1,1.(C)曲線(xiàn)在點(diǎn)的切向量為1, 0,3.(D)曲線(xiàn)在點(diǎn)(0, 0, f (0,0)的切向量為3,0,1.(3) 設(shè)，則在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件為 ( )(A)存在. (B)存在.(C)存在. (D)存在.(4) 設(shè)則 ( )(A)合同且相似 . (B)合同但不相似.(C)不合同但相似 . (D)不合同且不相似.(5) 將一枚硬幣重復(fù)擲 次，以分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則的相關(guān)系數(shù)等于 ( )(A)-1 (B)0 (C) (D)1三、(本題滿(mǎn)分6分)求四、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(1,1) 處可微，且求.五、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè)試將 展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和

3、.六、(本題滿(mǎn)分7分)計(jì)算其中 是平面 與柱面的交線(xiàn)，從 軸正向看去，為逆時(shí)針?lè)较?七、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè) 在 內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且試證：(1) 對(duì)于(1,1)內(nèi)的任意, 存在唯一的(0,1) ，使成立；(2) 八、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè)有一高度為 (為時(shí)間)的雪堆在融化過(guò)程中，其側(cè)面滿(mǎn)足方程(設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米，時(shí)間單位為小時(shí))，已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)0.9)，問(wèn)高度為130 厘米的雪堆全部融化需多少小時(shí)？九、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)為線(xiàn)性方程組 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，其中為實(shí)常數(shù).試問(wèn)滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，也為的一個(gè)基礎(chǔ)解系.十、(本題滿(mǎn)分8分)已知3 階矩陣與三維向量, 使得向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，

4、且滿(mǎn)足(1) 記求2 階矩陣, 使(2) 計(jì)算行列式十一、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)某班車(chē)起點(diǎn)站上客人數(shù) 服從參數(shù)的泊松分布，每位乘客在中途下車(chē)的概率為，且途中下車(chē)與否相互獨(dú)立，以 表示在中途下車(chē)的人數(shù)，求：(1)在發(fā)車(chē)時(shí)有 個(gè)乘客的條件下，中途有 人下車(chē)的概率；(2)二維隨機(jī)變量的概率分布.十二、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)總體服從證態(tài)分布從該總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本均值為求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望.2001 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、填空題(1)【答案】.【詳解】因?yàn)槎A常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的通解為時(shí)，則特征方程對(duì)應(yīng)的兩個(gè)根為一對(duì)共軛復(fù)根：，所以根據(jù)題設(shè)(為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線(xiàn)性齊

5、次微分方程的通解，知：，特征根為 從而對(duì)應(yīng)的特征方程為： 于是所求二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程為.(2)【答案】【分析】若具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，梯度在直角坐標(biāo)中的計(jì)算公式為：設(shè)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，散度在直角坐標(biāo)中的計(jì)算公式為：若具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在直角坐標(biāo)中有計(jì)算公式：【詳解】本題實(shí)際上是計(jì)算類(lèi)似可得 ，；，根據(jù)定義有 于是 Oxyx+y=1x=21(3)【答案】【詳解】由題設(shè)二次積分的限，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的積分區(qū)域，如圖陰影部分. 但在內(nèi)， 題設(shè)的二次積分并不是在某區(qū)域上的二重積分， 因此，應(yīng)先將題設(shè)給的二次積分變形為： 其中 再由圖所示，又可將改寫(xiě)為于是 (4)【答案】 【詳解】要求的逆，

6、應(yīng)努力把題中所給條件化成的形式.由題設(shè)即 故 .(5)【答案】【分析】切比雪夫不等式：【詳解】根據(jù)切比雪夫不等式有二、選擇題(1) 【答案】(D)【詳解】從題設(shè)圖形可見(jiàn)，在軸的左側(cè)，曲線(xiàn)是嚴(yán)格單調(diào)增加的，因此當(dāng)時(shí)，一定有，對(duì)應(yīng)圖形必在軸的上方，由此可排除(A)，(C)；又的圖形在軸右側(cè)靠近軸部分是單調(diào)增，所以在這一段內(nèi)一定有，對(duì)應(yīng)圖形必在軸的上方，進(jìn)一步可排除(B)，故正確答案為(D).(2)【答案】(C)【詳解】題目?jī)H設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義及未設(shè)在點(diǎn)可微，也沒(méi)設(shè)，所以談不上，因此可立即排除(A)；令，則有. 因此過(guò)點(diǎn)的法向量為3,1,1 ，可排除(B)；曲線(xiàn)可表示為參數(shù)形式：點(diǎn)的切向量為. 故

7、正確選項(xiàng)為(C).(3)【答案】(B)【詳解】方法1：因?yàn)?可見(jiàn)，若在點(diǎn)可導(dǎo)，則極限一定存在；反過(guò)來(lái)也成立.方法2：排除法：舉反例說(shuō)明(A)，(C)，(D)說(shuō)明不成立.比如，, 在 處不可導(dǎo)，但 ，故排除(A)其中，根據(jù)有界量與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小，所以.故排除(C).又如在處不可導(dǎo)，但存在，進(jìn)一步可排除(D).(4)【答案】 (A)【詳解】方法1：因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，必相似于對(duì)角陣.得的特征值為：故必存在正交矩陣, 使得因此，相似.由兩矩陣合同的充要條件：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣合同的充要條件是相似. 因此，也合同. 即既合同且相似.應(yīng)選(A).方法 2：因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故必相似于一對(duì)角陣. 又由相似矩陣

8、有相同的特征值,相同的秩, 知與有相同的秩，故 即對(duì)角線(xiàn)上有3個(gè)元素為零.因此, 是的特征值.求另一個(gè)特征值，由特征值的和等于矩陣主對(duì)角線(xiàn)元素之和，知 故，.即有特征值(三重根)，和對(duì)角陣的特征值完全一致，故,相似.又由兩矩陣合同的充要條件：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣合同的充要條件是相似. 知,合同.(5)【答案】【詳解】 擲硬幣結(jié)果不是正面向上就是反面向上，所以，從而，故 由方差的定義：, 所以)由協(xié)方差的性質(zhì)： (為常數(shù))；)所以 由相關(guān)系數(shù)的定義，得 三【詳解】四【詳解】 由題設(shè)，這里，所以 又 ，所以 所以 五【詳解】 首先將展開(kāi).因?yàn)?故 ， 于是 ， 又，且，所以在處連續(xù)，從而時(shí)，也成立. 進(jìn)而，

9、又在處級(jí)數(shù)收斂， ，所以在處左連續(xù)，在處右連續(xù)，所以等式可擴(kuò)大到，從而 ，變形得 因此 六【詳解】方法1：用斯托克斯公式之后化成第一型曲面積分計(jì)算.記為平面上由所圍成的有界部分的上側(cè)，(曲線(xiàn)的正向與曲面的側(cè)的方向符合右手法則)為在坐標(biāo)面上的投影， 在中，左右兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)，得，得.在中，左右兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)，得，得.代入上式得為指定側(cè)方向的單位法向量，由斯托克斯公式得將題中的空間曲線(xiàn)積分化為第二類(lèi)曲面積分，而對(duì)于第二類(lèi)曲面積分，一般的解答方法是將它先化為第一類(lèi)曲面積分，進(jìn)而化為二重積分進(jìn)行計(jì)算.把代入上式，按第一型曲面積分的算法，將投影到，記為.與它在平面上的投影的關(guān)系是故，將代入由于關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)

10、，利用區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性，因?yàn)閰^(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，所以.關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，利用區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性，因?yàn)閰^(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，故，所以(由二重積分的幾何意義知，即的面積)其中，為，的面積，所以方法2：轉(zhuǎn)換投影法.用斯托克斯公式，取平面被所圍成的部分為，按斯托克斯公式的規(guī)定，它的方向向上 (曲線(xiàn)的正向與曲面的側(cè)的方向符合右手法則) ，在平面上的投影域記為.由斯托克斯公式得由 ，及 知 ，故 因?yàn)闉?，式子左右兩端分別關(guān)于求偏導(dǎo)，于是因?yàn)閰^(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，所以. 類(lèi)似的，因?yàn)閰^(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，故，所以(由二重積分的幾何意義知，即的面積)為

11、，的面積，所以方法3：降維法.記為平面上由所圍成的有界部分的上側(cè) (曲線(xiàn)的正向與曲面的側(cè)的方向符合右手法則) ，為在坐標(biāo)面上的投影，把代入 中， 為 在平面上投影，逆時(shí)針.方法4：用斯托克斯公式后用第二型曲面積分逐個(gè)投影法.記為平面上由所圍成的有界部分的上側(cè)，(曲線(xiàn)的正向與曲面的側(cè)的方向符合右手法則)在中，左右兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)，得，得.在中，左右兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)，得，得.代入上式得為指定側(cè)方向的單位法向量，由斯托克斯公式得用逐個(gè)投影法，先計(jì)算 其中為在平面上的投影，分別令, 可得到的4 條邊界線(xiàn)的方程：右：；上： ；左：；下：.于是 再計(jì)算，其中為在平面上的投影，分別令, 可得到的4 條邊界線(xiàn)的方

12、程：右：；上： ；左：；下：.于是 再計(jì)算，其中為在平面上的投影，因?yàn)閰^(qū)域關(guān)于軸和軸均對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)是關(guān)于和都是奇函數(shù)， 于是 故 方法5：參數(shù)式法. 是平面與柱面的交線(xiàn)，是由4條直線(xiàn)段構(gòu)成的封閉折線(xiàn)，將題中要求的空間曲線(xiàn)積分分成四部分來(lái)求.當(dāng)時(shí)，, 則，從1 到0. 以為參數(shù)，于是則 當(dāng), , 則，從0到于是所以 當(dāng), ,則，從到0，于是所以 當(dāng), ，則，從0 到1，于是所以 所以 七【分析】拉格朗日中值定理：如果滿(mǎn)足在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)，使等式成立【詳解】(1) 因?yàn)?在 內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以一階導(dǎo)數(shù)存在，由拉格朗日中值定理得，任給非零，存在(0,1)，使，成

13、立.因?yàn)樵趦?nèi)連續(xù)且 所以在內(nèi)不變號(hào)，不妨設(shè)則在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)且增加，故唯一.(2)方法1：由(1)知，于是有 ，即 所以 上式兩邊取極限，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，得左端右端左邊=右邊，即，故方法2：由泰勒公式得再與(1)中的 比較，所以 約去，有 湊成 由于 ，所以 故 八【詳解】，所以側(cè)面在面上的投影為：記為雪堆體積，為雪堆的側(cè)面積，則由體積公式化為極坐標(biāo)，令，再由側(cè)面積公式：化為極坐標(biāo)，令，由題意知 將上述和代入，得積分解得 由 , 得. 所以令，即因此高度為130厘米的雪堆全部融化所需要時(shí)間為100小時(shí).九【詳解】由題設(shè)知，均為的線(xiàn)性組合，齊次方程組當(dāng)有非零解時(shí)，解向量的任意組合仍是該齊次方程組的解

14、向量，所以均為的解. 下面證明線(xiàn)性無(wú)關(guān). 設(shè) 把代入整理得，由為線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，知線(xiàn)性無(wú)關(guān)，由線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義，知中其系數(shù)全為零，即其系數(shù)行列式(變換：把原行列式第行乘以加到第行，其中)由齊次線(xiàn)性方程組只有零解得充要條件，可見(jiàn)，當(dāng)，即即當(dāng)為偶數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)，時(shí)，上述方程組只有零解因此向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故當(dāng)時(shí)，也是方程組的基礎(chǔ)解系.十【詳解】(1) 方法1：求，使成立，等式兩邊右乘，即成立.由題設(shè)知，又，故有即如果取，此時(shí)的滿(mǎn)足 ，即為所求.方法2：由題設(shè)條件是可逆矩陣，由可逆的定義，知有使即有. 由題設(shè)條件，有由，得(2) 由(1)及矩陣相似的定義知，與相似. 由矩陣相似的性質(zhì)：若，則，則與也相似. 又由相似矩陣的行列式相等，得十一【分析】首先需要清楚二項(xiàng)分布的產(chǎn)生背景. 它的背景是：做次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)(要么成功，要么失敗)，每次試驗(yàn)成功的概率都為，隨機(jī)變量表示次試驗(yàn)成功的次數(shù)，則. 在此題中，每位乘客在中途下車(chē)看成是一次實(shí)驗(yàn)，每個(gè)人下車(chē)是獨(dú)立的，有個(gè)人相當(dāng)于做了次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，把乘客下車(chē)看成實(shí)驗(yàn)成功，不下車(chē)看成實(shí)驗(yàn)失敗，而且每次實(shí)驗(yàn)成功的概率都為，則問(wèn)題(1)成為重伯努利實(shí)驗(yàn)中有次成功.【詳