高中數(shù)學(xué)必修二立體幾何立體幾何總知識(shí)點(diǎn)

1、1立體幾何初步1、 柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征 （1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱' ' ' ' ' E D C B A ABCDE -或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱' AD 幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這

2、些面所圍成的幾何體 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐'' ' ' ' E D C B A P -幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)' ' ' ' ' E D C B A P -幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是

3、梯形 側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)2（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn), 其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體 幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸, 旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體 幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是

4、圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。 3、空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)：原來(lái)與x 軸平行的線段仍然與x 平行且長(zhǎng)度不變；原來(lái)與y 軸平行的線段仍然與y 平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。3（2）特殊幾何

5、體表面積公式（c 為底面周長(zhǎng)，h 為高，'h 為斜高，l 為母線） ch S =直棱柱側(cè)面積 rh S 2=圓柱側(cè)' 21ch S =正棱錐側(cè)面積rl S =圓錐側(cè)面積 ' (2121h c c S +=正棱臺(tái)側(cè)面積l R r S (+=圓臺(tái)側(cè)面積(l r r S +=2圓柱表 (l r r S +=圓錐表(22R Rl rl r S +=圓臺(tái)表（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式 V Sh =柱 ， 2V Sh r h =圓柱， 13V Sh =錐 ， h r V 231=圓錐 ' 1( 3V S S h =+臺(tái) ' 2211( ( 33V S S h r

6、 rR R h =+=+圓臺(tái) （4）球體的表面積和體積公式：34=3V R 球 ； 24S R =球面 5、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（1）平面 平面的概念： A.描述性說(shuō)明； B.平面是無(wú)限伸展的；4 平面的表示：通常用希臘字母、表示，如平面（通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi)）；也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面BC 。 點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A 在平面內(nèi)，記作A ；點(diǎn)A 不在平面內(nèi)，記作A 點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A 的直線l 上，記作：A l ； 點(diǎn)A 在直線l 外，記作A l ；直線與平面的關(guān)系：直線l 在平面內(nèi)，記作l ；直線l 不在平面內(nèi)，記作l 。（2）公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那

7、么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線）應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平； 判斷直線是否在平面內(nèi)用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：A L B A B （3）公理2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。 公理2及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) 它是證明平面重合的依據(jù)符號(hào)表示為：A 、B 、C 三點(diǎn)不共線 => 有且只有一個(gè)平面，使A 、B 、C 。（4）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn), 那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線符號(hào)：平面和相交，交線是a ，記作a 。符號(hào)語(yǔ)言：,

8、P AB A B l P l = 公理3的作用：它是判定兩個(gè)平面相交的方法。它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)。它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。LA C · B· A · 5 （5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行符號(hào)表示為：設(shè)a 、b 、c 是三條直線a c 強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 異面直線判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與

9、平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線a 、b 是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O ，分別引直線a a ，b b ，則把直線a 和b 所成的銳角（或直角）叫做異面直線a 和b 所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。 說(shuō)明：（1）判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O 是任取的，而和點(diǎn)O 的位置無(wú)關(guān)。求異面直線所成角步驟：A 、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在

10、特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來(lái)求角（7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)三種位置關(guān)系的符號(hào)表示： a aA a（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒(méi)有公共點(diǎn)；相交有一條公共直線。b=>ac戴氏教育簇橋校區(qū) 立體幾何初步 授課老師:唐老師 6、空間中的平行問(wèn)題 （1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì) 線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。 簡(jiǎn)記為： 線線平行 Þ 線面平行 符號(hào)表示： a b => a ab

11、 線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交， 那么這條直線和交線平行。線面平行 Þ 線線平行 符號(hào)表示： a a = b =>ab 作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。 （2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì) 兩個(gè)平面平行的判定定理 （1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行 （線面平行面面平行）， 符號(hào)表示： a b ab = P a b => （2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。 （線線平行面面平行）， （3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行， 6 戴氏教育簇橋校區(qū)

12、立體幾何初步 授課老師:唐老師 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理 （1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行線面平行） （2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行） 符號(hào)表示： = a = b =>ab 作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行 7、空間中的垂直問(wèn)題 （1）線線、面面、線面垂直的定義 兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。 線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。 L p 平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條

13、直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖 形）是直二面角（平面角是直角），就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。 （2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理 線面垂直判定定理和性質(zhì)定理 判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。 性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。 面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理 判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。 性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。 7 戴氏教育簇橋校區(qū) 立體幾何初步 授課老師:唐老師 8、空間角問(wèn)題 （1）直線與直線所成的角 兩平行直線所成的角

14、：規(guī)定為 0o 。 兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。 兩條異面直線所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn) O，分別作與兩條異面直線 a，b 平行的直線 a ¢, 形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。 （2）直線和平面所成的角 平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為 0 。 平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為 90 。 o b¢ ， o 平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和 這個(gè)平面所成的角。 求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”

15、。 在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線， 在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過(guò)斜線上的一點(diǎn)或 過(guò)斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。 （3）二面角和二面角的平面角 二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的 棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi) 分別作垂直于 棱的兩條射線，這 兩條射線所成的角叫二面角的平面角。 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；

16、反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直， 那么所成的二面角為直二面角 求二面角的方法 8 戴氏教育簇橋校區(qū) 立體幾何初步 授課老師:唐老師 定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角 垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角 的平面角 9、空間直角坐標(biāo)系 （1）定義：如圖， OBCD - D, A, B,C , 是單位正方體.以 A 為原點(diǎn)， 分別以 OD,O A, ,OB 的方向?yàn)檎较?，建立三條數(shù)軸 x軸.y軸.z軸 。 這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 Oxyz. 1）O 叫做坐標(biāo)原點(diǎn) 2）x 軸，y 軸，z 軸叫做坐標(biāo)軸. 3）過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。 （2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)?x