高考立體幾何試題傳統(tǒng)證法的轉化思路

1、高考立體幾何試題傳統(tǒng)證法的轉化思路四川 張繼海來源：2009 年上半年試題與研究由于立體幾何在培養(yǎng)學生空間想象能力、邏輯推理能力等方面有著獨到的作用，因而它成為歷屆高考重點考查的內容（高考試卷中對空間想象能力的考查集中體現在立體幾何試題上）縱觀近幾年全國及各省市自主所命的試題，立體幾何題多具有雙重功能，既可用傳統(tǒng)方法解答，也可用向量方法解答，且往往是一題多問，第一問一般是線面的平行或垂直等位置關系，第二至三問是計算空間的角和距離問題在立體幾何中引入空間向量后，雖然一些問題可以用向量為工具來解決，但往往增大了建系、計算的過程和難度，削弱了對空間想象與邏輯推理能力的要求事實上，高考立體幾何試題的傳

2、統(tǒng)證法依然是對中學數學教學評價必不可缺少的考查內容之一線面的平行與垂直的判定和性質：平行垂直直線a 與直線b（1）同平行于直線c的兩直線平行（2）ab = b，aa，aÌb Þ ab （3）ab = b，aa，ab Þ ab（4）aa，ba Þ ab（5）兩平行平面都和第三個平面相交，則交線平行（1）ab，bc Þ ac（2）aa，bÌa Þ ab（3）三垂線定理、逆定理（4）aa，ba Þ ab直線a（b）與平面a（b、）（1）aËa，bÌa，ab Þ aa（2）ab，aÌ

3、b Þ aa（3）aËa，ab，ab Þ aa（1）m、nÌa，mn=B，am，an Þ aa（2）ab，ba Þ aa（3）ab，ab Þ aa（4）ab，ab = b，ab，ab Þ aa （5）ab，b，bg = a Þ aa平面a與平面b（1）若a 內的兩條相交直線a、b都平行于b，則ab（2）aa，ba Þ ab（3）平行于同一平面的兩平面平行（1）lb，lÌa Þ ab（2）ab，ag Þ bg根據上述線面的平行與垂直的判定和性質，可知：“線線平行 線面

4、平行 面面平行”，“線線垂直 線面垂直 面面垂直”是立幾中所表現出的線面的平行與垂直關系互相轉化的基本思路，掌握了這種轉化思路，也就掌握了用傳統(tǒng)方法解答立體幾何問題的鑰匙若是單純的判斷題，通常是結合圖形（或另作，或想象）將三種語言（文字、符號、圖形）互譯互助，利用判定定理或性質定理解決；若是線面平行、垂直關系的證明問題，基本思路是：由“已知”用性質推“可知”，看“欲證”想“要證”用判斷，并借助圖形直觀，添加必要的輔助線（面）；若是角、距離的計算問題，首先是在原有圖形上千方百計地找到（或作出）符合相關定義的角、距離，然后加以論證，最后是計算角或距離的大小EBADCECDBA例1 （08·

5、;重慶理19）如圖，在ABC中，B = 90°，AC = 7.5，D、E兩點分別在AB、AC上，使AD:DB = AE:EC = 2，DE = 3現將ABC沿DE折成直二角角，求：（1）異面直線AD與BC的距離；（2）二面角AECB的大?。ㄓ梅慈呛瘮当硎荆┧悸贩治?（1）因為與AD、BC既垂直又相交的直線是異面直線AD與BC的公垂線，兩交點間的線段長是其距離，所以圖文結合，仔細領會題意，不難發(fā)現BD就是異面直線AD與BC的距離（2）在折疊后的圖中，由于AD底面DBCE，所以利用三垂線定理或逆定理作出二面角AECB的平面角，然后加以論證和計算解 （1） AD:DB = AE:EC，

6、BEBC又因B = 90°， ADDE因ADEB是直二面角，ADDE，故AD底面DBCE，從而ADDB注意到DBBC，所以DB為異面直線AD與BC的公垂線如圖，由AD:DB = AE:EC = 2，得 DE:BC = AD:AB = 2:3又DE = 3， BC = 4.5，AB2 = AC2BC2 = 36進而 BD = 2，即異面直線AD與BC的距離為2（2）如圖，過D作DFCE，交CE的延長線于F，連結AF由（1）知，AD底面DBCE，由三垂線定理知AFFC，故AFD為二面角AECB的平面角BADCEF在底面DBCE中，DEF =BCE，BD = 2，CE = 2.5，得，從而

7、在RtDFE中，DE = 3，DF = DE·sinDEF = DE·sinBCE = 2.4在RtAFD中，AD = 4，因此所求二面角AECB的大小為說明：1現行教材及考綱中對異面直線的距離要求較低，在圖中往往有現成的距離（不需要另作），只要根據題意加以說明（證明）它滿足異面直線的距離所要求的兩個條件：既垂直又相交即可2作二面角的平面角時，通常需要確定出（或找到）一個半平面的一條垂線，借助于三垂線定理或逆定理去作角（先作出），后證明3要善于熟練應用直角三角形的邊角關系例2 （08·安徽理18）如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，ABC =

8、 45°，OA底面ABCD，OA = 2，M為OA的中點，N為BC的中點（1）證明：直線MN平面OCD；（2）求異面直線AB與MD所成角的大??； （3）求點B到平面OCD的距離思路分析 （1）要證直線MN平面OCD，只需在平面OCD內找到（若無現成的則需另作）一條直線，證明它與MN平行（這條思路本題不太容易）；或者證明直線MN所在的某個平面（常常需要另作）平面OCD，注意到題設中有兩個中點，于是再取AD或OB的中點（如下圖），則問題立即解決MACNBDOMACNBDOEFMACNBDOMACNBDO（2）異面直線所成的角需要轉化成兩條相交直線所成的銳角或直角所以平行移動AB或MD，使

9、它們相交，結合圖形，發(fā)現ABCD，而CDMD = D，所以MDC就是異面直線AB與MD所成的角（或其補角）連結CM，在CDM中，不難得出DM =，CM2 = 3，而CD = 1，AC2 = 2，進而由余弦定理，得，得MDC = 60°所以AB與MD所成的角為60°（3）由于ABCD，CD Ì 平面OCD，AB Ë 平面OCD，所以AB平面OCD，點A和點B到平面OCD的距離相等，設為h則 OD2 = OA2 + AD2 = 5，AC2 = 1 + 12×1×1×cos45° = 2，OC2 = 4 + 2= 6，于

10、是 在OCD中，有， 由 VAOCD = VOACD 得 ，所以 說明：1充分利用“線線、線面、面面平行（垂直）的轉化關系”進行分析，是順利解答高考立體幾何試題的重要思路2第（3）小題，若注意到OA底面ABCD這一已知，則有以下求解方法： AB平面OCD， 點A和點B到平面OCD的距離相等連結OP，過點A作AQOP于點Q APCD，OACD， CD平面OAP， AQCD又 AQOP， AQ平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離A1B1BACC1 ，AP = PD，所以，即點B到平面OCD的距離為例3 （08·湖北理18）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC側

11、面A1ABB1（1）求證：ABBC；（2）若直線AC與平面A1BC所成的角為q，二面角A1BCA的大小為j，試判斷q 與j 的大小關系，并予以證明思路分析（1）圖文結合、理解題意要證ABBC，通常是證AB垂于BC所在的某個平面或BC垂于AB所在的某個平面，于是轉化為只需證明BC垂直于這個平面內的兩條相交直線為了轉化并利用已知條件“平面A1BC側面A1ABB1”，所以過點A在平面A1ABB1內作ADA1B于D，得到AD平面A1BC，進而ADBCA1B1BACDC1根據ABCA1B1C1是直三棱柱，得側棱AA1底面ABC，有AA1BC，而ADAA1 = A，所以BC平面AA1D，故BCAB（2）連結CD，則由（1）知ACD是直線AC與平面A1BC所成的角，ABA1是二面角A1BCA的平面角，即 ACD =q，ABA1=j于是在RtADC中，；在RtADB中，由ABC是直角三角形，AC是斜邊知