等比數(shù)列知識點并附例題及解析

1、等比數(shù)列知識點并附例題及解析1、等比數(shù)列的定義：仏=*少0）（心2,且皿N） g稱為公比2、通項公式：an = axq,!x = q'!=A- B'1 （«）- qO.AB 0）,首項：q；公比：q q推廣：5 = 5嚴。qE =色 o g = ,L4”V J3、等比中項：如果d 成等比數(shù)列，那么A叫做a與0的等差中項,即：A2 = ab或A = ±y/ab注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（2 ）數(shù)列an 是等比數(shù)列O < =%4、等比數(shù)列的前項和S”公式：（1）當彳=1時，S” =叫（2）當qHl 時，S“ = H匸"

2、;）=4_加1-<7 l_q= A為-q l_g常數(shù)）5、等比數(shù)列的判定方法：（1）用定義：對任意的"，都有«,I+1 = qan或笠旦=q（g為常數(shù)，an工0） o “”為等比數(shù)列（2）等比中項:襯=%如（如工0）0劣為等比數(shù)列（3）通項公式：a”=AB”（4BH0）U>a為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的證明方法:依據(jù)定義：若匕-=°（0工0）02'2,且已""）或色+1 =qan <=> an為等比數(shù)列 5-17、等比數(shù)列的性質(zhì)：（2 ）對任何加,neN在等比數(shù)列”中，有 =呻廣"。（3）若m + n =

3、s + t（m,/?,s,t eN*）,貝'J an -am = as -at« 特別的，當 m + n = 2k 時，得© 5 =注：q © = a2 -a”=a3an_2 （4）數(shù)列冷, $為等比數(shù)列，則數(shù)列土, 2“, *,伙“如，糾anbn（R為非零常數(shù)）均為等比數(shù)列。（5） 數(shù)列a為等比數(shù)列,每隔項取出一項（am,am+k,allt+2k,am+3k，）仍為等比數(shù)列（6）如果心是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)og/”是等差數(shù)列（7）若他為等比數(shù)列，則數(shù)列S“，Sg-S”, S»-S“,成等比數(shù)列（8 ）若陽為等比數(shù)列，則數(shù)列4 5 a

4、n，«H+1 4+2 «2n，吆+2”成等比數(shù)列円>0,則4為遞增數(shù)列（9）當§>1時，Q<0,則州為遞減數(shù)列r«,>0,則d“為遞減數(shù)列 當0切<1時，Q<0,則外為遞增數(shù)列 當§ = 1時，該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列）； 當彳<0時,該數(shù)列為擺動數(shù)列.S 1（10）在等比數(shù)列©中,當項數(shù)為2叫H 時，亠丄s網(wǎng)q二例題解析【例1】 已知Sn是數(shù)列%的前n項和，Sn = pn（pR, nGN*）,那么數(shù)列a（）A. 是等比數(shù)列B.當pHO時是等比數(shù)列B. C.當pHO, pHl時是等

5、比數(shù)列D.不是等比數(shù)列【例2】 已知等比數(shù)列1, xp X2，X2n，2,求X x? X3X2n.【例3】 等比數(shù)列a“中，(1)已知a?", a5 = -|,求通項公 式；(2)已知 &3 a4 *5 = & 求 a2a3a4a5a6 的值.【例4】求數(shù)列的通項公式：(1) an中'幻=2, an+2 3an+2(2) an中,&二2,電=5,且 +2 3%+ + 2% = 0三.考點分析 考點一：等比數(shù)列定義的應(yīng)用1、數(shù)列滿足 an = -+% (« > 2),2、在數(shù)列匕中，若,則該數(shù)列的通項考點二：等比中項的應(yīng)用1、已知等差數(shù)列

6、©的公差為2,若 山，心成等比數(shù)列，則色=(A. -4B. -6C. -8D. -102、若"、b、c成等比數(shù)列，則函數(shù)y = ax2+bx + c的圖象與x軸交點的個數(shù)為 （ ）A. 0B. 1C. 2D.不確定3、已知數(shù)列©為等比數(shù)列，碼=2,+厲，求%的通項公式.考點三：等比數(shù)列及其前n項和的基本運算1、若公比為？的等比數(shù)列的首項為三，末項為丄，則這個數(shù)列的項數(shù)是（）3 83A. 3B. 4C. 5D. 62、已知等比數(shù)列匕中，冷=3,細=384 ,則該數(shù)列的通項5 =3、若©為等比數(shù)列，且2.=亞-5,則公比殲.4、設(shè)，心,山，“4成等比數(shù)列，其

7、公比為2,則如 的值為（）2如+么4A. -B.丄C- -D 14 285、 等比數(shù)列aj中，公比q二丄且 比+弘+a10o=30 ,貝9乞+乞+2+&100 二.考點四：等比數(shù)列及其前n項和性質(zhì)的應(yīng)用1、在等比數(shù)列©中，如果山=6,偽=9,那么為（）A. 4BI7D. 22、如果-1, q, b.C, -9成等比數(shù)列，那么（）A. b = 3, ac = 9B. Z? = -3, ac = 9C b = 3, ac = -9D. b = -3 9 ac = -93 在等比數(shù)列/中，"=1,= 3 ,則 a2a3a4a5a6a7aa）等于（）A. 81B. 2727

8、c.D. 2439穢（h5D.匕丿5>在等比數(shù)列匕中,和“5是二次方程x2+kx+5 = 0的兩個根,則a2a4a6的值為()A. 25B. 5>/5C. -5卡D. ±5>/5 6、若an是等比數(shù)列，且an >0,若a2a4 + 2a3a5 + a4a6 = 25 ,那么a3 + a5的值等于考點五：公式勺=r的應(yīng)用S“(心2)1、若數(shù)列的前n項和SP+y+g 滿足條件log：S=n,那么仏是( )A.公比為2的等比數(shù)列B公比為*的等比數(shù)列C.公差為2的等差數(shù)列D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列2、等比數(shù)列前n項和S=2a-b則前n項的平方和為()A. (2-

9、1)2B. - (2-1)2C. 4n-lD. - (4-1)333、設(shè)等比數(shù)列%的前n項和為SF3+r,那么r的值為一、等差和等比數(shù)列比較：等差數(shù)列等比數(shù)列定義汁1 一="間曲hO)遞推公 式5 =%1+mdan； an =5/1"通項公 式an =。 +（ 一 l）dCin =6廣"（5?hO ）中項A - %* +心從（仏R wNj Ak AO ）2G =卄文（dMn+R a 0） 5k wN*AkAO）前”項和SH =+ 心）片=g+-d阿（？= 1）S”=山（1）_仆2）_g_q重要性質(zhì)（也，n. p、q w N ,in + n = p + q）（/?/

10、, n. p.q Nm + n = p + q）二、等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義："”+i -（d為常數(shù)）， 通項：aH =a +（n-）d等差中項：x, A, y成等差數(shù)列o2A = x+y前項和：»=3也=呦+心2 2性質(zhì)：%是等差數(shù)列（1）若? + n = p + q，貝'J a）n +an= ap + aq；（2）數(shù)列如，仏，仏+】仍為等差數(shù)列，Sn，S2n-Snf S3n-S2n仍為等差數(shù)列，公差為nd；（3）若,-是等差數(shù)列，且前”項和分別為S”，T”,則牛=沖5 ，2加-1（4）匕為等差數(shù)列oS”=+伽 j,b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項為0的 二次函數(shù)，可能

11、有最大值或最小值）（5）項數(shù)為偶數(shù)2的等差數(shù)列©,有S" = »（«! + 如）="（"2 + "2”-1）="（心 + % ）（d” 4+1 為中間兩項）（6）項數(shù)為奇數(shù)2“-1的等差數(shù)列仏,有碌嚴的為中間項）泊缶三、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：H = q （q為常數(shù),gHO ）,通項：©=%心 ci.等比中項：x、G、y成等比數(shù)列或G = ±屈前”項和:叫(q = 1)（要注意q !）性質(zhì)：“訃是等比數(shù)列(1)若 m + n = p + q , WO am9 an = ap9 aq（2） S屮

12、S?廠和S?廠S“仍為等比數(shù)列，公比為/四、列求和的常用方法:1 .裂項儷法：1 1 1 14+1 2 2-3 3 4,/(/: +1 )A 11 L , A L ,A1、=(丁一 三)+(三一 T + 匕 _ T)( _T)122 334nn +111 n=1H+1H+11 - 84127的刖n和疋:(1+2+3+4+)+ (+ + -+)3 9 27 812、錯位相減法：凡等差數(shù)列和等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積構(gòu)成的數(shù)列求和時用此方法， 例:求Sn=x + 3x2 + 5x3 + + (2n-5)xn'2 + (2n-3)xnU +(2n-l)xn (xhI) 解：Sn=x+3x2 +5x

13、3 + + (2n-5)xnd + (2n-3)xnl + (2n-1 )x“(x H 1)xSn =x2 +3x3+5x4.- + (2n-5)xn-1 +(2n-3)xn +(2n-l)xn+, (x 工1) 減得:(1 x)S 產(chǎn)x +(2x2+2x'+ + 2xn+2xn) (2n l)x= x+Mh£)_(2n_1)x從而求出s八錯位相減法的步驟：將要求和的雜數(shù)列前后各寫出三項，列出式；將式左右 兩邊都乘以公比q，得到式；用一，錯位相減；(4)化簡計算。3、倒序相加法：前兩種方法不行時考慮倒序相加法例：等差數(shù)列求和：Sn=ai +a2 +33 + + "葉

14、2 +an-l + HnSn=an +an-l + 3n-2 +*+33 +H2 +3I兩式相加可得:2Sn=(ai +an) + (a2 +anT)+ (*3 +an2 ) + +(“3 +%-2)+ (玄2 +%-l) + (ai +%)即：2S” =n(a】 +an)C _n(ai+an) 所以 6 _ 5等比數(shù)列例題解析【例1 已知Sn是數(shù)列伽的前n項和，Sn=pn(pGR> n£N*),那么數(shù)列如A. 是等比數(shù)列B. 當pHO時是等比數(shù)列C. 當pHO, pH 1時是等比數(shù)列D. 不是等比數(shù)列【例2】 已知等比數(shù)列1, xp X2，X2n，2,求X X2 X3X2n-

15、【例3】 等比數(shù)列a.中，(1)已知32=4, a5 = -p 求通項公 式：(2)已知 旳辺 *5 = 8,求玄2玄334巧216的值.【例4】 已知a>0, b>0且ab,任a, b之間插入n個正數(shù)xx?，,xn»使得a, xp x2，Xn，b成等比數(shù)列，求【例5】設(shè) a、b、c、d 成等比數(shù)列，求證：(bc)2+(cap+(db)?= (ad)2.【例6】求數(shù)列的通項公式：伽中，a=2, an+1=3an+2(2)an)中，a1=2, a2=5,且 an+2-3an+i+2an=0【例7】若實數(shù)a】、a2> a3s a4都不為零，且滿足(a：+n；)a： 2a

16、? (a|+a3)a4+a2+a3 =0求證：a,> a2> g成等比數(shù)列，且公比為J.【例8】若a、b、c成等差數(shù)列，且a+1. b、c與a. b、c+2都成等 比數(shù)列，求b的值.【例9】 已知等差數(shù)列aj的公差和等比數(shù)列切的公比都是d,又知dHl, 且 a4=b4* aio=b()：求ai與d的值；(2)b16是不是aj中的項？丨 21【例10】設(shè)a_J是等差數(shù)列，bn = (-)a« ,已知b,+b2+b3=y求等差數(shù)列的通項.O【例11】三個數(shù)成等比數(shù)列，若第二個數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個等差數(shù)列的第3項加32又成等比數(shù)列，求這三個數(shù).【例12】有四個數(shù)，其中前

17、三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù) 的和是12,求這四個數(shù).【例13】已知三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為126：另外三個數(shù)成等比數(shù)列，把兩個數(shù)列的對應(yīng)項依次相加，分別得到85, 76, 84.求 這兩個數(shù)列.【例14】已知在數(shù)列a"中，a2. a3成等差數(shù)列，a2. a3. g成等比數(shù)列，a3、a4. a5的倒數(shù)成等差數(shù)列,證明:ab弓、 a5成等比數(shù)列.【例 15】 已知(b - c)logmx+(ca)logmy+(ab)logmz=0.(1) 設(shè)a, b, c依次成等差數(shù)列，且公差不為零，求證：x, y, z成等比數(shù)列.(2)

18、設(shè)正數(shù)x, y, z依次成等比數(shù)列，且公比不為1,求證：a, b, c成等差數(shù) 列.等比數(shù)列例題解析【例1 已知Sn是數(shù)列伽的前n項和，Sn=pn(pGR, nGN*),那么數(shù)列% A.是等比數(shù)列B. 當pHO時是等比數(shù)列C. 當pHO, pHl時是等比數(shù)列D. 不是等比數(shù)列分析 由Sn=pn(nGN*),有a=S=p,并且當n>2時，%=Sn _ Sn_ 1 = P11 _ pf 1 = (p _ 1 )pn_ 1pHO故a2 =(p-l)p,因此數(shù)列%成等比數(shù)列p_lHO (p-Dp"-1 _ p(p-l)(p-2)pn_2 - P但滿足此條件的實數(shù)p是不存在的，故本題應(yīng)選

19、D說明數(shù)列伽成等比數(shù)列的必要條件是anO(n£N*),還要注意對任nEN*, n$2,上都為同一常數(shù)是其定義規(guī)定的準確含義.an-l【例2】 已知等比數(shù)列1, xp X2，X2n，2,求xj X2 X3X2n-解, X, X2,，X2n，2成等比數(shù)列，公比qA2=l q2n+1xlx2x3，x2n=cl q? q3.q2n=ql+2+3+2n2n( I-*-2n)=q 5 =勺心+】)=2n【例3】 等比數(shù)列an中，(1)已知32=4, a5 = -|,求通項公式：(2)已知a3a4a5=8，求乜旳心巧心的值.解(l)a5 = a2q5'2 Aq =-(2)Ta3 a5 =a

20、； a3 a4 a5=aj = 8又 a2a6=a3a5=a4 ci、n “4 q $“6 = Q) 32【例4】 已知a>0, b>0且aHb,在a, b之間插入n個正數(shù)x?，,Xn，使得a, X, X2，xn. b成等比數(shù)列，求證明 設(shè)這n+2個數(shù)所成數(shù)列的公比為q,則b=aqn+1n+laq 2【例5】 設(shè)a、b c、d成等比數(shù)列，求證：(bc)?+(ca)2+(db)2=(a -d)2.證法一 Va. b. c、d成等比數(shù)列a b c bedAb=act c2=bd, ad=bc左邊=1)22bc+c2+c2 2ac+a2+d22bd+b?=2(1)2ac)+2(c? -

21、bd)+(a? - 2 be+d?)=a?2ad+d2=(a-d)2=右邊證畢.證法二 Ta、b、c、d成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,貝J：b=aq, c=aq-t d=aq左邊=(aqaq2)2+(aq2 a)2+(aq? aqp=a22a2q3+a2q6=(a_aq')2=(ad)2=右邊 證畢.說明這是一個等比數(shù)列與代數(shù)式的恒等變形相綜合的題目.證法一是抓住 了求證式中右邊沒有b、c的特點，走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的 路子.證法二則是把a、b、c、d統(tǒng)一化成等比數(shù)列的基本元素a、q去解決的.證 法二稍微麻煩些，但它所用的統(tǒng)一成基本元素的方法，卻較證法一的方法具有普遍

22、性.【例6】求數(shù)列的通項公式：伽中，aj=2, an+1=3an+2（2）an中，aj=2, a2=5,且 an+2-3an+1+2an=0思路：轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.解（Oan+i = 3an+2 => an+1 +1 = 3（an +1）an+l是等比數(shù)列.an+l=3 - 3»1.an=3n-l（2）an+23an+l+2an =0=>an+2 -an+l =2（an+lan）.an+1-an是等比數(shù)列，即an+lan=（a2-al）* 2n_1=3 2n_1再注意到 a2_a=3, a3_a2=3 2，a4_a3=3 2?,，anan_j=3 2n_, 這些等式相加，即

23、可以得到2n_, - 1an =3l + 2 + 22+ + 2n'2 = 3 = 3（2n_, -1）說明 解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)一個等比數(shù)列，即化生疏為已知.（1）中發(fā)現(xiàn)an+l 是等比數(shù)列，中發(fā)現(xiàn)an+1-an等比數(shù)列，這也是通常說的化歸思想的一種體 現(xiàn).【例7】 若實數(shù)叫、a?、as、a。都不為零，且滿足（3汁3；局一2込 （a|+a3）a4+a2-Faj = 0求證：an a?、成等比數(shù)列，且公比為a.證 Tai、a?、a3、g均為不為零的實數(shù):.（a：+a； ）x22a2（a, +巧）x+a；= 0 為實系數(shù)一元二次方程等式（a； +a； ）a： 2乜（a1+a3）a4 +a；=

24、 0說明上述方程有實數(shù)根a。.上述方程的判別式A>0.即2a2(a1+a3)2 4(a +a；)(a；+a；)=-4(a-aia3)20(a； 33)2 WO又VaP a2x a3為實數(shù)/.(a aja3)2 20 必有af"冋 =0艮卩a； = 3|33因而ar a2. a3成等比數(shù)列2a7(aj +a3)+a3) a2乂 a4 = 7 =亠2(a + a；) a： + a)a3 a】34即為等比數(shù)列ap a2. a3的公比.【例8】 若a、b、c成等差數(shù)列，且a+1、b、c與a、b、c+2都成等比數(shù) 列，求b的值.解 設(shè) a、b、c 分別為 bd、b、b+d,由已知 bd+

25、l> b、b+d 與 bd. b> b+d+2都成等比數(shù)列，有b2 =(bd+l)(b+d)b2 =(bd)(b+d + 2)整理，得b2 = b2 d2 +b + d<b2 = b2 d2 + 2b 2d.b4-d=2b-2d 即 b=3d代入，得9d2=(3d-d+l)(3d+d)9d2=(2d+l)>4d解之，得d=4或d=0(舍)Ab=12【例9】 已知等差數(shù)列aj的公差和等比數(shù)列%的公比都是d,又知dHl,且 a4=b4* aio=bo：(1)求ai與d的值；(2)b16是不是aj中的項?思路：運用通項公式列方程+ 3d = a)d3 a! + 9d = Qj

26、d9 fa1(l-d3)= - 3d a1(l-d9)= -9d=>d6+d3-2 = 0=>d, =1(舍)或d?=氏 /.Qj = d = V2d = V2(2)Tbi6=b d】5=_32b且 aq = U| +3d = 22 = b4b4 = b) d ' = 2b = 2/2.b二= 2°.b6=32b=32a,如果 bj 是aj中的第 k 項,32aj=aj+(k_ l)d解 d)iiHPio = So/(k_ l)d=33a=33dAk=34即b16是佝中的第34項.【例10】設(shè)aj是等差數(shù)列,bn = (|)a-, b,b2b3 = l,求等差數(shù)列

27、的通項.8解 設(shè)等差數(shù)列伽的公差為d.則an=ai+(n-l)d已知 b +b2 +b?=,8由6, 解得吐?，解得b,=l,002代入已知條件1blb2b3 = 35 +b2 +b3bib3 =21整理得<i bZ17T解這個方程組，得1 f1b|=2, b3 = = - , t>3 = 2/.a|= 1 d=2 或 a=3, d=2：當 aj= 1, d=2 時,an=aj +(n l)d=2n3當 a=3, d=2 時，an=aj +(n 1 )d=52n【例11】 三個數(shù)成等比數(shù)列，若第二個數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個等 差數(shù)列的第3項加32又成等比數(shù)列，求這三個數(shù).解法一

28、按等比數(shù)列設(shè)三個數(shù)，設(shè)原數(shù)列為a, aq, aq2由已知：a, aq+4, aq?成等差數(shù)列HP： 2(aq+4)=a+aq2a, aq+4, aq2+32成等比數(shù)列KP： (aq+4)2=a(aq?+32)=> aq + 2 = 4afa = 2 =2，兩式聯(lián)立解得：$一°或FFq = 3<i l_q = _5°這三數(shù)為：2, 6, 18或g， »亍.解法二按等差數(shù)列設(shè)三個數(shù)，設(shè)原數(shù)列為b-d, b-4, b+d由已知：三個數(shù)成等比數(shù)列即：(b-4)2=(b-d)(b+d)=> 8bd2 = 16b-d, b, b+d+32成等比數(shù)列即 b2=

29、(b-d)(b+d+32)=> 32bd2 32d = 026_b = g b= 10、兩式聯(lián)立，解得： 或。 o d = o ld = 3三數(shù)為彳，一號，甲或乙6，18.解法三任意設(shè)三個未知數(shù)，設(shè)原數(shù)列為ai，g，a3由已知：ap a2. a3成等比數(shù)列ar玄2+4, aj成等差數(shù)列得:2(a2+4)=a +a3ara2+4, a+32成等比數(shù)列得:(a2+4)2=a1(a3 + 32)、式聯(lián)立，解得:2ai = 910=29_ 50或“3j = 2a7 = 6Ja3 = 18說明將三個成等差數(shù)列的數(shù)設(shè)為a-d, a,a+d；將三個成等比數(shù)列的數(shù)設(shè)為a, aq, aq?（或仝，a, a

30、q）是一種常用技巧，可起到 q簡化訃算過程的作用.【例12】 有四個數(shù)，英中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并 且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12,求這四個數(shù).分析本題有三種設(shè)未知數(shù)的方法方法一 設(shè)前三個數(shù)為a-d, a. a+d,則第四個數(shù)由已知條件可推得:(a + d)，方法二 設(shè)后三個數(shù)為b, bq, bq2,則第一個數(shù)由已知條件推得為2b-bq方法三設(shè)第一個數(shù)與第二個數(shù)分別為x, y,則第三.第四個數(shù)依次為12- y, 16x.由這三種設(shè)法可利用余下的條件列方程組解出相關(guān)的未知數(shù)，從而解出所求 的四個數(shù)，解法一設(shè)前三個數(shù)為a-d, a, a+d,則第四個數(shù)為匕土.,(a + d)-/禹 若 Jad+= 16依題總，冇aa+(a+d) = 12解方程組得：二:或7=9 U =4d2 = 6所求四個數(shù)為：0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.解法二設(shè)后三個數(shù)為：b, bq, bq2,則第一個數(shù)為：2b-bq依題意有：Kbq+bq2=16b + bq = 12b = 4解方程組得:仁2b =9或1q2 = 所求四個數(shù)為：0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1. 解法三設(shè)四個數(shù)依次為x, y, 12-y, 16-x.x+(12y) = 2y y (16