2011屆高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 7.5數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案（老師版） 新人教版

1、7.5數(shù)列的前n項(xiàng)和一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式； 2能運(yùn)用倒序相加、錯(cuò)位相減、拆項(xiàng)相消等重要的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求和運(yùn)算； 3熟記一些常用的數(shù)列的和的公式二、自主學(xué)習(xí)：【課前檢測(cè)】1.（09年?yáng)|城一模理15）已知遞增的等比數(shù)列滿足,且是的等差中項(xiàng).()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()若,是數(shù)列的前項(xiàng)和,求使成立的的最小值.解:（）設(shè)等比數(shù)列的公比為,依題意有, (1)又,將(1)代入得.所以.于是有 解得或 又是遞增的,故. 所以. (),. 故由題意可得,解得或.又, 所以滿足條件的的最小值為13. 2.在數(shù)列an中，an，又bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和解：由已知得：an(123n

2、)，bn8() 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn8(1)()()()8(1).3已知在各項(xiàng)不為零的數(shù)列中，。 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)； （2）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求解：（1）依題意，故可將整理得： 所以 即，上式也成立，所以 （2） 【考點(diǎn)梳理】（一）前n項(xiàng)和公式Sn的定義：Sn=a1+a2+an。（二）數(shù)列求和的方法（共8種）1.公式法：1）等差數(shù)列求和公式；2）等比數(shù)列求和公式；3）可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；4）常用公式:（1）；（2）；（3）；（4）。2.分組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解。3.倒序相

3、加法：如果一個(gè)數(shù)列an，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法。如：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的。4.裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。適用于其中是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如：1）和（其中等差）可裂項(xiàng)為：；2）。（根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化，因式相消 求和）常見(jiàn)裂項(xiàng)公式：（1）；（2）；（3）；（4）（5）常見(jiàn)放縮公式：.5.錯(cuò)位相減法：適用于差比數(shù)列（如果等差，等比，那么叫做差比數(shù)列）即把每一項(xiàng)都乘以的公比，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)

4、列求和。如：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的. 解讀：6.累加（乘）法7.并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和.形如an(1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求。8.其它方法：歸納、猜想、證明；周期數(shù)列的求和等等。解讀：三、合作探究：題型1 公式法例1 （2005年春季北京17改編）數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=3n1.（1）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn的公式；（2）設(shè)Pn=b1+b4+b7+b3n2，Qn=b10+b12+b14+b2n+8，其中n=1，2，試比較Pn與Qn的大小，并證明你的結(jié)論.解:（1）Sn=n2+n.（2）b1，b4，b7，b3n2組成以3d為公差

5、的等差數(shù)列，所以Pn=nb1+·3d=n2n；b10，b12，b14，b2n+8組成以2d為公差的等差數(shù)列，b10=29，所以Qn=nb10+·2d=3n2+26n.PnQn=（n2n）（3n2+26n）=n（n19）.所以，對(duì)于正整數(shù)n，當(dāng)n20時(shí)，PnQn；當(dāng)n=19時(shí)，Pn=Qn；當(dāng)n18時(shí)，PnQn.變式訓(xùn)練1 等比數(shù)列的前項(xiàng)和S2p，則_.解：1）當(dāng)n=1時(shí)，；2）當(dāng)時(shí)，。 因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以從而等比數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。故等比數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。小結(jié)與拓展：1）等差數(shù)列求和公式；2）等比數(shù)列求和公式；3）可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的

6、數(shù)列；4）常用公式:（見(jiàn)知識(shí)點(diǎn)部分）。5）等比數(shù)列的性質(zhì)：若數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列及也為等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為、，公比分別為、。題型2 分組求和法例2 在數(shù)列中，已知a1=2，an+1=4an3n1，n.（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn。解：（1）且為以1為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列 （2） 變式訓(xùn)練2 （2010年豐臺(tái)期末18）數(shù)列中，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）在數(shù)列中，依次抽取第3，4，6，項(xiàng)，組成新數(shù)列，試求數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和.解：（）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，。，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，。（）依題意知：=.小結(jié)與拓展：把數(shù)列的每一

7、項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)，再把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解。題型3 裂項(xiàng)相消法例3 (武漢市2008屆高三調(diào)研測(cè)試文科)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列前n項(xiàng)和解：（1）數(shù)列的前n項(xiàng)之和在n=1時(shí)，在時(shí)，而n=1時(shí)，滿足故所求數(shù)列通項(xiàng)（2）因此數(shù)列的前n項(xiàng)和變式訓(xùn)練3 （2010年?yáng)|城二模19改編）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）數(shù)列滿足，求。證明：（）由于， 當(dāng)時(shí)， 得 所以 又， 所以因?yàn)?，且，所以所以故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列 解：（）由（）可知，則（） 小結(jié)與拓展：裂項(xiàng)相消法是把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩

8、項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。它適用于其中是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如：1）和（其中等差）可裂項(xiàng)為：；2）。（根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化，因式相消求和）題型4 錯(cuò)位相減法例4 求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) （設(shè)制錯(cuò)位）得（錯(cuò)位相減） 變式訓(xùn)練4 (2010·昌平模擬)設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)a13a232a33n1an， 當(dāng)n2時(shí)，a13a232a33n2an1. 得3n1a

9、n，an.在中，令n1，得a1，適合an， an.(2)bn，bnn3n.Sn32×323×33n3n， 3Sn322×333×34n3n1. 得2Snn3n1(332333n)，即2Snn3n1， Sn.題型5 并項(xiàng)求和法例5 求10029929829722212解：10029929829722212(100 99)(9897)(21)5050.變式訓(xùn)練2 數(shù)列(1)n·n的前2010項(xiàng)的和S2 010為( D ) A.2010 B.1005 C.2010 D.1005解：S2 010123452 0082 0092 010(21)(43)(

10、65)(2 0102 009)1 005.題型5 累加（乘）法及其它方法：歸納、猜想、證明；周期數(shù)列的求和等等例6 （1）求之和.（2）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)的乘積等于Tn= (nN*)，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn中最大的一項(xiàng)是（ D ）AS6 BS5 CS4 DS3解：（1）由于 （找通項(xiàng)及特征）（分組求和）（2）D變式訓(xùn)練6 （1）（2009福州八中）已知數(shù)列則 , 。答案：100 5000。 （2）數(shù)列中，且，則前2010項(xiàng)的和等于（ A ）A1005 B2010 C1 D0小結(jié)與拓展：四、課堂總結(jié)：以上一個(gè)8種方法雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變?cè)瓟?shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能進(jìn)行消項(xiàng)處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來(lái)解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。五、檢測(cè)鞏固：1求下列數(shù)列的前項(xiàng)和：（1）5，55，555，5555，； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）解：（1）（2），（3）（4）， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ， ， 兩式相減得 ，（5）， 原式（6）設(shè)， 又， ，