高中數(shù)學(xué)《空間向量及其運算》文字素材1 新人教A版選修2-1

1、從三個方面談空間向量立體幾何引入空間向量使得幾何問題代數(shù)化，很多復(fù)雜的幾何問題得以迎刃而解但不少學(xué)生對空間向量的學(xué)習(xí)把握不準(zhǔn)確，不知道要掌握到什么程度，拓寬到什么程度本文從“轉(zhuǎn)、基、法”三方面談空間向量必須掌握之處，供參閱一、“轉(zhuǎn)”“轉(zhuǎn)”即轉(zhuǎn)化，即向量之間的相互表示；難點在于怎樣有效地用已知向量來表示未知向量正如三角函數(shù)求值中角的相互“轉(zhuǎn)化”，怎樣用已知角來代換未知角難點突破：尋找已知向量來表示所要求的向量往往立竿見影或者利用分析法，根據(jù)所要求證的向量來表示要轉(zhuǎn)化的向量例1如圖1，在空間四邊形ABCD中，如果，求證：證明：由，得，即，取CD的中點E，連結(jié)AE和BE，則上式化為，得，即所以評注：

2、要得到，需從條件中構(gòu)造，解答中的移項使得構(gòu)造得以實現(xiàn)二、“基”“基”即基底，由空間向量基本定理，可知空間任一向量可由不共面的三個向量來表示用基底的眼光看問題會使得空間向量的表示簡潔明朗化例2已知正四面體，、分別為、的中點，求與所成角的余弦值解：設(shè)正四面體的棱長為1，如圖2設(shè)，則，OE與BF所成的角的余弦值為評注：基底的取法還有很多，以，三向量為基底來表示其它向量，可使問題輕松獲解三、“法”法向量求法：設(shè)，找平面內(nèi)兩相交向量a、b，再作，得兩方程，三個未知量兩個方程，一般通過取定z的值來定法向量，方向朝上，方向朝下法向量的應(yīng)用：（一）利用平面法向量求線面角方法：如圖3，AB為平面的斜線，n為平面

3、的法向量如果與n之間所成的角為銳角，則斜線AB與平面之間所成的角為；若為鈍角（當(dāng)n方向朝另一面時，即與圖3的n反向時），則故欲求斜線AB與平面所成的角，只需求出向量與平面的法向量n之間的夾角即可總之例3在長方體中，求直線和平面所成角的正弦值解：如圖4，以D為原點，以方向分別作為x軸、y軸、z軸的正方向，則，設(shè)平面的法向量，則，即故是其中一組解，即為其中一個法向量，所以故所求角的正弦值為（二）利用平面法向量求二面角的平面角方法：如圖5，平面的法向量所成的角即為二面角的平面角（或其補角）例4在正方體中，、分別是的中點，求平面和底面所成銳二面角的余弦值解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖6所示由例3的方法，

4、容易求得平面的法向量，底面的法向量，所以，即為所求角的余弦值（三）利用平面法向量求點到平面的距離方法：如圖7，求點P到平面的距離d，可以在平面上任意取一點，則（n為平面的法向量，方向如圖）若不知n與夾角為銳角或鈍角時，例5如圖8，四面體中，、分別是BD、BC的中點，（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離（1）證明：連結(jié)OC，在中，由已知可得，而，即，平面；（2）解：以為原點，如圖8建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)平面的法向量為，則令，得是平面的一個法向量又，點到平面的距離評注：求線面距、面面距時，可先轉(zhuǎn)化為點面距，再用此法求解（四）求異面直線的距離方法：先求出同時與兩異面直線垂直的向量n，然后在兩異面直線上分別任取點、，則。例6已知正方體的棱長為1，求