2012高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第九章 直線、平面、簡單幾何體（A）9(A)-4試題

1、第九章（A） 第四講時(shí)間：60分鐘滿分：100分一、選擇題(8×540分)1已知二面角l的大小為30°，m，n為異面直線，且m，n，則m，n所成的角為()A30°B90°C120°D150°答案：A解析：兩異面直線所成的角0°90°，故排除B、C、D.2(2009·吉林延邊一模)正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與CD1所成角等于()A90° B60° C45° D30°答案：D解析：如圖，A1E與CD1所成角等于BA1E，因?yàn)锳1

2、BC1為等邊三角形，又E為BC1中點(diǎn)，所以BA1E30°.故選D.3(2009·黑龍江大慶一模)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AB、B1C的中點(diǎn)，則EF和平面ABCD所成角的正切值為()A. B. C. D2答案：B解析：取BC中點(diǎn)M，連結(jié)FM，則FM平面ABCD，連結(jié)EM，則FEM為所求角設(shè)正方體的棱長為2，則FM1，EM，tanFEM.故選B.4在四面體ABCD中，AD平面DBC，BDDC，AD，BDDC，則二面角ABCD的大小為()A30° B45°C60° D75°答案：C解析：取BC中點(diǎn)E，易知B

3、C2，ABAC，AE2，DE1，AE2AD2DE2，知所求角為60°.5如下圖所示，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90°，ABAC，D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，AC>AD，設(shè)PC與DE所成的角為，PD與平面ABC所成的角為，二面角PBCA的平面角為，則、的大小關(guān)系是()A<< B<<C<< D<<答案：A解析：本題考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角的概念和計(jì)算過A作AFBC于F，連結(jié)PF，則PFA為二面角PBCA的平面角，PFA，PCA為異面直線DE與PC的夾角，即PCA，連AD，PD

4、與平面ABC的夾角為PDAPDA，ACAB，AF<AD，又AC>ADAF<AD<AC>>tan>tan>tan，又、為銳角，<<，故選A.6(2009·全國，9)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A. B. C. D.答案：D解析：如圖，D為BC的中點(diǎn)，則由題意得A1ADBAD30°，由三角形余弦公式得cosA1AB，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為，故選D.7(2009·保定市高三年級調(diào)研考試)在正

5、四面體SABC中，E為SA的中點(diǎn)，F(xiàn)為ABC的中心，則直線EF與平面ABC所成的角的大小為()Aarccos B45°Carctan Darctan答案：C解析：如圖連接SF，則SF平面ABC.連結(jié)AF并延長交BC于H，取線段AF的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，由E為SA的中點(diǎn)，得EGSF，EG平面ABC，EFG即為EF與平面ABC所成的角設(shè)正四面體的邊長為a，則AHa，且AFAHa；在RtAGE中，AE，AGAFa，EGA90°，EGa.在RtEGF中，F(xiàn)GAFa，EGa，EGF90°，tanEFG，EFGarctan，即EF與平面ABC所成的角為arctan，故選C.8(

6、2010·東北四市聯(lián)考)把正方形ABCD沿對角線AC折起，當(dāng)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為()A90° B60° C45° D30答案：C解析：如圖由條件可知面ABC面ACD時(shí)，三棱錐體積最大，如右圖，DBE為所求的角，DEBE.DBE是等腰直角三角形，故DBE45°，選C.二、填空題(4×520分)9(2009·上海)如圖所示，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為2，高為4，則異面直線BD1與AD所成角的大小是_(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)答案：arctan解析：

7、連接D1C.ADBC，D1BC即為異面直線BD1與AD所成的角在RtBCD1中，BC2，CD12，tanD1BC，D1BCarctan.10(教材改編題)在正四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，則二面角EBCD的余弦值為_答案：解析：如圖取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、DF，設(shè)正四面體棱長為a，則BECEDFa，DECFa，EF2CE2CF2(a)2(a)2a2，EFa.易知BCEF，BCDF，EFD即為所求二面角的平面角cosEFD.11已知一個(gè)平面與正方體的12條棱的夾角均為，那么sin_.答案：解析：如圖平面與十二條棱所成的角相等，可歸結(jié)為與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等即DB，DC，DA與平面AB

8、C所成的角相等易算得sin.12(2009·北京崇文一模)如圖所示，等腰梯形ABCD，E、F分別是下底邊BC邊上的三等分點(diǎn)，ADAE1，BC3，若把三角形ABE和DCF分別沿AE和DF折起，使得B、C兩點(diǎn)重合于一點(diǎn)P，則二面角PEFD的大小為_答案：解析：如圖為折疊后的幾何體，二面角PEFD的大小即為側(cè)面AEFD與底面EFP所成的角，顯然為.三、解答題(4×1040分)13(2009·重慶)如圖所示，四棱錐PABCD中，ABAD，ADDC，PA底面ABCD，PAADDCAB1，M為PC的中點(diǎn)，N點(diǎn)在AB上且ANNB.(1)求證：MN平面PAD；(2)求直線MN與平

9、面PCB所成的角解析：(1)證明：過點(diǎn)M作MECD交PD于E點(diǎn)，連結(jié)AE.ANNB，ANABDCEM.又EMDCAB，EM綊AN，AEMN為平行四邊形，MNAE，MN平面PAD.(2)解：過N點(diǎn)作NQAP交BP于點(diǎn)Q，NFCB于點(diǎn)F.連結(jié)QF，過N點(diǎn)作NHQF于H，連結(jié)MH，易知QN面ABCD，QNBC，而NFBC，BC面QNF，BCNH，而NHQF，NH平面PBC，NMH為直線MN與平面PCB所成的角通過計(jì)算可得MNAE，QN，NF，NH，sinNMH，NMH60°，直線MN與平面PCB所成的角為60°.14(2009·廣西柳州三模)如圖所示，已知直平行六面體A

10、BCDA1B1C1D1中，ADBD，ADBDa，E是CC1的中點(diǎn)，A1DBE.(1)求證：A1D平面BDE；(2)求二面角BDEC的大小解析：(1)證明：在直平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，AA1BD.又BDAD，BD平面ADD1A1，即BDA1D.又A1DBE且BEBDB，A1D平面BDE.(2)解：如圖，連B1C，則B1CBE，易證RtBCERtB1BC，又E為CC1中點(diǎn)，BC2BB.BB1BCa.取CD中點(diǎn)M，連結(jié)BM，則BM平面CC1D1C，作MNDE于N，連NB，由三垂線定理知：BNDE，則BNM是二面角BDEC的平面角在RtBDC中，BMa，RtCED中，

11、易求得MNa，RtBMN中，tanBNM，則二面角BDEC的大小為arctan.15如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)(1)求直線B1C與DE所成的角的余弦值；(2)求證：平面EB1D平面B1CD；(3)求二面角EB1CD的余弦值解析：(1)連結(jié)A1D，則由A1DB1C知，B1C與DE所成的角即為A1D與DE所成的角連結(jié)A1E，由正方體ABCDA1B1C1D1，可設(shè)其棱長為a，則A1Da，A1EDEa，cosA1DE.直線B1C與DE所成角的余弦值是.(2)證明取B1C的中點(diǎn)F，B1D的中點(diǎn)G，連結(jié)BF，EG，GF.CD平面BCC1B1，且BF平面BCC1B1，DCBF

12、.又BFB1C，CDB1CC，BF平面B1CD.又GF綊CD，BE綊CD，GF綊BE，四邊形BFGE是平行四邊形，BFGE，GE平面B1CD.GE平面EB1D，平面EB1D平面B1CD.(3)連結(jié)EF.CDB1C，GFCD，GFB1C.又GE平面B1CD，EFB1C，EFG是二面角EB1CD的平面角設(shè)正方體的棱長為a，則在EFG中，GFa，EFa，cosEFG，二面角EB1CD的余弦值為.16(2009·全國，18)如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE平面BCC1.(1)求證：ABAC；(2)設(shè)二面角ABDC為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大小解析：(1)證明：取BC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF綊B1B，從而EF綊DA.連結(jié)AF，則ADEF為平行四邊形，從而AFDE.又DE平面BCC1，故AF平面BCC1，從而AFBC，即AF為BC的垂直平分線，所以ABAC.(2)解：作AGBD，垂足為G，連結(jié)CG.由三垂線定理知CGBD，故AGC為二面角ABDC的平面角由題設(shè)知，AGC60°.設(shè)AC2，則AG.又AB2，BC2，故AF.由AB·ADAG·BD得2AD&