2021屆浙江新高考數(shù)學一輪復習第九章5第5講橢圓

1、識，值)會回顧1.橢圓的定義條件結論1結論2平囿內的動點 M與平囿內的兩個定點Fi, F2M點的口、F2為橢圓的焦點IF1F2I為橢圓的焦距|MFi|十 |MF2|= 2a軌跡為2a>|FiF2|橢圓2.橢圓的標準方程和幾何性質標準方程x2 y2了+ 訴=1（a> b>o）y2 x202 + b2 = 1（a> b> o）圖形7 N* .一4運了57a曲* y性質范圍aw xw ab< y< bb< x< ba w y w a對稱性對稱軸：x軸、y軸 對稱中心：(o, o)頂點A1（-a, o）, A2（a, o）B1（o, b）, B2（

2、o, b）A1（o, a）, A2（o, a）B1（-b, o）, B2（b, o）軸長軸A1A2的長為2a短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|=2c離心率e=0c, eC （o, 1）a, b, c的關系c2 = a2 b23.點與橢圓的位置關系已知點P(X0, yo),橢圓/十號=1(a>b>0),則點P(xo, yo)在橢圓內?yob2f(2)點P(xo, yo)在橢圓上？X°+yo a2+b2=1；點P(xo, yo)在橢圓外？x2 y2 02+b2>1.4 .橢圓中四個常用結論(1)P是橢圓上一點，F(xiàn)為橢圓的焦點，則|PF|Cac, a + c,即橢圓上

3、的點到焦點距 離的最大值為a+c,最小值為a c.(2)橢圓的通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)長為2b2, ,一、多通徑是最短的焦點弦(3)P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點, 長為 2(a+ c).Fi, F2為橢圓的兩焦點，則A PF1F2的周(4)設P, A, B是橢圓上不同的三點，其中且不為0,則直線PA與PB的斜率之積為定值-A, b2B關于原點對稱，直線 PA, PB斜率存在直驗提升疑誤到?析判斷正誤(正確的打，錯誤的打"x” )平面內與兩個定點 F1, F2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.()(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.()(3)橢圓既是軸對稱圖形，又是中

4、心對稱圖形.(4)方程mx2+ny2= 1(m>0, n>0, mw n)表示的曲線是橢圓.()(5)*+，= 1(a>b>0)與 V2 + X2= 1(a>b>0)的焦距相同.答案：(1)X (2)X (3)， (4)， (5)，教材彳行化1.(選彳修 2-1P40 例 1 改編)若 Fi( 3, 0), F2(3, 0),點P到F1, F2距離之和為10,則P點的軌跡方程是()A.C.225 16Lx2 25 16B.Y+-1100 9D.W+亡=1或上+近=125 1625 16解析：選A.設點P的坐標為(x, v),因為|PF1|十|PF2|=10&

5、gt;|F1F2|=6,所以點P的軌跡是以F1, F2為焦點的橢圓,其中a= 5)c= 3, b = "/a2 c2 =4)故點P的軌跡方程為77+ ,25V16=1.故選A.2.(選彳2-1P49A組T6改編)設橢圓的兩個焦點分別為F1, F2,過點F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點 P,若 F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是()2 A.y.21B. 2c. 2-V2D. .2-1“ 、，_ 、， x2 y2一一、 一一.b2一 a -c斛析：選D.設橢圓方程為 了十2=1,依題息，顯然有|PF2|= |FiF2|,則g=2c,即一a一= 2c,即 e2+2e1 = 0,又

6、0<e<1,解得 e=寸21.故選 D.易錯糾偏(1)忽視橢圓定義中的限制條件；(2)忽視橢圓標準方程中焦點位置的討論；(3)忽視點P坐標的限制條件.1.平面內一點 M到兩定點F1(0, 9), F2(0, 9)的距離之和等于18,則點M的軌跡是解析：由題意知 |MF1|+|MF2|= 18,但 |F1F2|=18,即 |MF11+|MF2|= |FF2|,所以點 M 的 軌跡是一條線段.答案：線段F1F22,橢圓 x- + y= 1的焦距為 4,則 m=.10m m 2解析：當焦點在x軸上時，10m>m 2>0, 10-m-(m- 2) = 4,所以m=4.當焦點在y

7、 軸上時，m 2>10 m>0, m 2 (10 m)= 4,所以 m= 8.所以 m = 4 或 8.答案：4或82 23 .已知點P是橢圓X +、 = 1上y軸右側的一點，且以點 P及焦點F1 , F2為頂點的三角形的面積等于1,則點P的坐標為.解析：設 P(x, y),由題意知 c2 = a2-b2=5-4=1,所以 c=1,則 F1(一1, 0), F2。，x2 y2150).由題意可得點 P到x軸的距離為1,所以y= 土，把y= 土代入"5' +；= 1,得x= %-,又x>。，所以x="25,所以p點坐標為*5,1或"25,

8、-1.答案：乎，1或手，1明考向白擊考例考法考點橢圓的定義及應用例(1)(2019高考浙江卷)已知橢圓：+看=1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸 的上方.若線段 PF的中點在以原點 O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線 PF的斜率是x22(2)(2020杭州市莫擬)已知Fi、F2是橢圓C： a2 + by2 = 1(a> b>。)的兩個焦點,P為橢圓C上的一點，且PFi±PF2,若 PF1F2的面積為9,則b=【解析】(1)如圖，取PF的中點M,連接OM,由題意知|OM|= |OF|=2,設橢圓的右焦點為Fi,連接PFi.在APFFi中，OM為中位線，所以|PFi|=

9、4,由橢圓的定義知|PF|十|PFi|=6,所以|PF|=2, 因為M為PF的中點，所以|MF|=i.在等腰三角形 OMF中，過。作,i5OH IMF 于點 H,所以 |OH|=、y22P = 225,所以 kPF = tan/HFO =-2 =55.2門 +2= 2a,(2)設|PFi|=ri, |PF2|=r2,則r2 + r2= 4c2,所以 2門2=(門 +2)2_ (r2 + r2)=4a2-4c2= 4b2,一，i所以 SzPFiF2=2rir2=b2=9,所以 b=3.【答案】(i)田5 (2)3互動探究(變條件)本例(2)中增加條件“ PFiF2的周長為i8”，其他條件不變，求

10、該橢圓的方 程.解：由原題得b2=a2-c2=9,又 2a+ 2c= i8,所以 a c=i,解得 a =5,一， ，、/x2 y2故橢圓的萬程為2+9 = i.(i)橢圓定義的應用范圍確認平面內與兩定點有關的軌跡是否為橢圓.解決與焦點有關的距離問題.(2)焦點三角形的結論橢圓上的點 P(xo, yo)與兩焦點構成的 PFiF2叫作焦點三角形.如圖所示，設/FiPF2 =0. |PFi|十 |PF2|= 2a.吊04c2=|PFi|2+|PF2|22|PFi|PF21cos。.焦點三角形的周長為2(a + c).S：APFiF2=2|PFi|PF2| sin e = b2 . 1 工；Q =

11、b2tan -2=c|yo|,當 |yo|=b,即 P 為短 軸端點時，S4PF1F2取最大值，為bc.221. (2020溫州模擬)設F1, F2是橢圓9+=1的兩個焦點，P是橢圓上的一點，且|PF1| ： 94|PF2|=2： 1,則 APFiF2的面積為()A. 4B. 6C. 22D. 4/2解析：選A.因為點P在橢圓上，所以|PF1|十|PF2|=6,又因為|PF1| ： |PF2|=2 ： 1,所以|PF1|=4, |PF2|=2,又易知 |FiF2|=2<5,顯然 |PF 1|2+|PF2|2= |F1F2|2,故 PFiF2為直角三角一1形，所以APFiF2的面積為2-X

12、 2X4 = 4.故選A.2,已知兩圓 C1: (x-4)2 + y2= 169, C2： (x+ 4)2+y2 = 9,動圓在圓 C1內部且和圓 C1 相內切，和圓C2相外切，則動圓圓心 M的軌跡方程為 .解析：設動圓 M 的半徑為 r,則 |MC1|十|MC2|=(13 r)+(3+r)=16,又 |C1C2|=8<16,所以動圓圓心 M的軌跡是以C1、C2為焦點的橢圓，且 2a=16, 2c= 8,. 一.，x2 y2以b2=48,又焦點c1、c2在x軸上，故所求的軌跡萬程為64+a1.x2 y2答案#48=1ErJ橢圓的標準方程例 (1)(2020金麗衢十二校聯(lián)考)已知橢圓的中心

13、在原點，離心率焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，則此橢圓方程為()A4 +吟+y22B.»1D(+ y2= 1y2(2)設F1, F2分別是橢圓 E： x2+b= 1(0<b<1)的左、右焦點，過點則 a=8, c=4,所1 一、，*e= 2,且它的一個F1的直線交橢圓E于A, B兩點，若|AF1|= 3|F1B|, AF2，x軸，則橢圓E的標準方程為 .22【解析】(1)依題意，可設橢圓的標準方程為3+專=1(a>b>0),由已知可得拋物線的焦點為(一 1, 0),所以c= 1,又離心率e=;，解得a=2, b2 = a2c2=3,所以橢圓方程a 2224+

14、3 = 1.AF2|=b2.(2)不妨設點A在第一象限，如圖所示.因為AF2，x軸，所以因為 |AFi|=3|BFi|,所以 B -3c, 1b2 .將B點代入橢圓方程，2-1b2 22得一5。+；2 = 1,所以失+/1.又因為b2+c2=1,所以c2=3, b2=2. 3故所求的方程為x2+2=1.3【答案】(1)A (2)x2+9= 13國回茴國用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的四個步驟京帖.-俅落條件判舒捕0Q的量南*善工：區(qū)差 比“的軸匕亂是將小圭樨軸都有可色!彳設方程:根據(jù)工逅判斷坂由萬程 !I .， A ' « « ! M - V 上 上 備)* A A J

15、口 一*, a>¥V»»H«i» 找美索f|我推匕如本件.建立關于n力的方程期得方程 -iri-i初；與 R1正*手耳前薪乳口|3ia!lIE31.已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(V6, 1), P2(-V3,啦),則該橢圓的方程為 .解析：設橢圓方程為 mx2+ ny2 = 1(m>0, n>0 ,且mwn).因為橢圓經(jīng)過 P1, P2兩點，6m + n = 1,所以P1, P2點坐標適合橢圓方程，則3m+2n=1,1m = 9，兩式聯(lián)立，解得n=3.3 工、IX2 y2所以所求橢圓方程為a+y=i.

16、9322答案:.+J 932.已知橢圓Ci： x+y2=i,橢圓C2以Ci的長軸為短軸，且與 Ci有相同的離心率， 4則橢圓C2的方程為.解析：法一：（待定系數(shù)法）由已知可設橢圓C2的方程為02 + 1=1何>2）,其離心率為 當,- 一 y2 x2解得a=4,故橢圓C2的萬程為16+ = 1.2法二：（橢圓系法）因橢圓C2與Ci有相同的離心率，且焦點在y軸上，故設C2： 5 + x2Rny2 x2= k（k>0）,即 4+k=1.y2 x2又 Rk= 2 x 2,故k= 4,故C2的萬程為16+ 4= 1.答案：A+B13.與橢圓x2 + y2 = 1有相同離心率且經(jīng)過點（2,4

17、3）的橢圓的方程為 431解析：法一：（待定系數(shù)法）c因為e=aaa2-b21¥=、/13=1,若焦點在x軸上，設所求橢圓方程為 壬+a4 2my2-= 1(m>n>0),2 n則1 m4.從而2 3=4,n_3=c .m 243又3+ n1= 1,所以m2= 8,n2= 6. 、十x2 y2所以萬程為8=1.y2 x23 4 k 325若焦點在y軸上，設方程為h2+p=1(h>k>0),則寧+ 詁=1,且9=2-，解得 心可，k2=25 k 4.y2x2故所求方程為 經(jīng)+蚩=1.25 25T 7法二：(橢圓系法)若焦點在x軸上，設所求橢圓方程為x24+y2

18、227-= t(t>0),將點(2, J3)代入，得 t=： +34(V3)皿廣、了x2 y2=2.故所求萬程為8 + ？=1.若焦點在y軸上，設方程為y2 x2 4+3=XQ0), 一 25 ,.一 、一y2 x2代入點(2,鎘)，得故所求萬程為 會+方=1.1225 2557答案：口+貯=1或£+上=125 2586T 7橢圓的幾何性質(高頻考點)橢圓的幾何性質是高考的熱點，高考中多以小題出現(xiàn)，試題難度一般較大.主要命題角 度有:(1)由橢圓的方程研究其性質;(2)求橢圓離心率的值(范圍);由橢圓的性質求參數(shù)的值 (范圍);橢圓性質的應用.角度一由橢圓的方程研究其性質丫2

19、、心例D已知橢圓$+$= 1(a>b>0)的一個焦點是圓 x2+y2-6x+8=0的圓心，且短軸長為8,則橢圓的左頂點為()B. (4, 0)D. (-5, 0)A. (3, 0)C. (-10, 0)【解析】因為圓的標準方程為(x-3)2+y2=1,所以圓心坐標為(3, 0),所以c=3.又b=4,所以 a= : b2+ c2= 5.因為橢圓的焦點在 x軸上,所以橢圓的左頂點為（一5, 0）.角度二求橢圓離心率的值（范圍）例同（1）（2020麗水*II擬）橢圓C的兩個焦點分別是 3Fi, F2,若C上的點P滿足|PFi|=2|FiF2,則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A. e&

20、lt; 2B.1 e> 44e<2x2 y2 （2）橢圓亞+ bD.= i（a>b>0）的右焦點F（c, 0）關于直線y吟的對稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率是33【解析】（1）因為橢圓C上的點P滿足|PFi|=2|FiF2|,所以|PFi|= 2X2c=3c.由 a cw |PFi|< a+ c,.J c i解得尸gw 2. ，_ ，一 i i所以橢圓C的離心率e的取值范圍是 4，2 .（2）設橢圓的另一個焦點為Fi（-c, 0）,如圖，連接QFi, QF,設QF與直線y=bx交于c點M.由題意知M為線段QF的中點，且 OMLFQ,又O為線段FiF的中點,所以 F

21、iQ /OM ,所以 FiQXQF, |FiQ|=2|OM|.上 一 |MF| b _在 RtWOF 中，tan/MOF= = c，OF|=c，可解得 QM|=c-, |MF| = bc, aa故45|=235| =駟，|QF1|= 2|OM| = - aa由橢圓的定義得QF|+|QFi|=2rc+ T-=2a, a a整理得 b=c,所以 a = Mb2+ c2 =2c,故 e= c= aC角度三由橢圓的性質求參數(shù)的值（范圍）例引已知橢圓mx2+4y2=1的離心率為 乎，則實數(shù)m等于（A. 2C. 2 或 6D. 2或 8得m = 2;當角度四顯然m>0且mw 4,當0<m<

22、;4時，橢圓長軸在,解得m = 8.m>4時，橢圓長軸在橢圓性質的應用,解【答案】丫22例五1 （2020嘉興質檢）如圖，焦點在x軸上的橢圓+，= 1的離心率e= 2, F, A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意點，則pF pa的最大值為【解析】 設P點坐標為（X0, yo）.由題意知a =2,因為 e=：= 2,所以 c=1，b2=a2 c2 = 3.”,、vx解析：選B.因為正數(shù)m是2和8的等比中項，所以 m2=16,即m=4,所以橢圓x2+） =1的焦點坐標為（0, 土峋,故選B.2,已知橢圓C:，bi= 1（a>b>0）的左、右頂點分別為 A1, A2,且以線

23、段 A1A2為直徑的圓與直線bxay+2ab=0相切，則C的離心率為（） y2故所求橢圓方程為4+3=1.所以一2WX0W2, - V3<y0<V3.因為 F(-1, 0), A(2, 0),PF=(- 1-xo, y。)，PA=(2-xo, yo), O11 O1Oi, 一，1 一，所以 PF PA=x2X02 + y2 = 4X0X0+1=4(X02)2 即當 x0=2 時，PF PA取得最大值 4.【答案】4（1）求橢圓離心率的方法直接求出a,。的值,利用離心率公式e= f1T直接求解.4+25=1列出含有a, b, c的齊次方程（或不等式），借助于b2=a2c2消去b,轉化

24、為含有e的方程（或不等式）求解.（2）利用橢圓幾何性質求值或范圍的思路將所求問題用橢圓上點的坐標表示，利用坐標范圍構造函數(shù)或不等關系.將所求范圍用a, b, c表示，利用a, b, c自身的范圍、關系求范圍.跟蹤UII練1.已知正數(shù) m是2和8的等比中項，則圓錐曲線 野+ £=1的焦點坐標為（B.C.D.（亞，0）（0, ± V3）（旬3, 0）或（班，0）（0, 土地）或（乖,0）A.C.,6 3/3b.T解析：選A.以線段A1A2為直徑的圓的方程為 x2+y2=a2,由原點到直線 bx-ay+2ab =0的距離d = b=a,得a2=3b2,所以C的離心率e=A /1b

25、 =坐，選A- 'b2+a2, a 3x23橢圓了 + y2=1上至"點C(1 , °)的距離最小的點P的坐標為解析：設點P(x, y),則x2|PC|2 = (x1)2+y2= (x1)2+ 13 234 2,2心22x+2= 4 x 3 +3.因為一2WxW2,所以當x=6,|PC|min =二", 3此時點P的坐標為3'4.'5或 W，_ Q .33答案：3,當或43'高效煉好捶已知橢圓基礎題組練22=1的焦點在x軸上，焦距為4,則m等于()m 2 10 mB. 7C.D. 5解析:選A.因為橢圓x2y2, .,+= 1的焦點

26、在x軸上.m 2 10 m所以10 m>0,m 2>0,解得 6Vm<10.m2>10 m,因為焦距為4,所以c2=m210+m=4,解得 m = 8. 3 ,2.已知橢圓的中心在坐標原點，長軸長是8,離心率是7,則此橢圓的標準萬程是A31 16 722x . V B.一十 y 16 7=1 或 Jy-=17 16dW +亡=1或116 2525163解析：選B.因為a=4, e= 4-,所以c= 3,所以b2= a2c2= 169= 7.因為焦點的位置不確定,所以橢圓的標準方程是16=1.3.橢圓的焦點為F1,F2,過F1的最短弦PQ的長為10, APFaQ的周長為3

27、6,則此橢圓的離心率為（）1B.3C.3解析：選C.PQ為過F1垂直于x軸的弦，則工技八b2Q - c - , APF2Q 的 a周長為36.所以4a = 36,a= 9.由已知b-=5,a2 c2即 =5.又a = 9,解得23.-C 2 - 一c= 6,斛得 =q,即e=a 34. （2020杭州地區(qū)七校聯(lián)考）以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為1,則橢圓長軸長的最小值為（）A. 1B.2C. 2D. 2>f2解析：選D.設a, b, c分別為橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，依題意知，當三角形的高為b時面積最大，所以1*2cb=1, bc=1,而2a = 2，b2+

28、c2>2V2bc=2V（當且僅當b=c=1時取等號），故選D.5. （2020富陽二中高三調研）在平面直角坐標系 xOy中，已知 ABC頂點A（-4, 0）和C（4, 0）,頂點B在橢圓十（小 上，則si"B" C =（）25 9sin B2B.33A.4C.5D.5解析：選D.橢圓芯+=1中，a = 5 b= 3 c= 4 25 9故A( 4, 0)和C(4, 0)是橢圓的兩個焦點，所以|AB|十|BC|=2a= 10, |AC|= 8,由正弦定理得sin A+sin C |AB|+|BC| 10 5 =sin B|AC| 84.22b 2為橢圓的半焦距)有四個不同

29、的交6-若橢圓 A*1(a>b>0)和圓 x2+y2= 2+c (c點，則橢圓的離心率 e的取值范圍是()D. 0,解析：選A.因為橢圓$1(a>b>0)和圓x2+ y2=b+c (c為橢圓的半焦距)的中心且它們有四個交點，b.2+ c>b所以圓的半徑，b ,2+cva,b由2+c>b,得 2c>b,再平方，4c2>b2,在橢圓中，a2= b2+ c2< 5c2,c .5所以 e=->2z" a 5,b ,由2+cv a,得 b+2c< 2a,再平方，b2+ 4c2+4bc<4a2,所以 3c2 + 4bc<

30、; 3a2,所以 4bcv3b2,所以 4c< 3b,所以 16c2v 9b2,所以 16c2v 9a29c2,所以9a2 >25c2,所以§<25，所以e< 5.綜上所述，/<e< 3.x27. (2020義烏模擬)若橢圓空 ab2=1(a>b>0)的離心率為 呼,短軸長為4,則橢圓的標準方程為解析：由題意可知e=-=3 2b=4,得b=2, a 2c 3,一=3-a = 4,所以a 2'解得a2=b2+c2=4+c2,c=2V3，一 ,r 、 、 <x2 y2所以橢圓的標準方程為x6+4=i.8. (2020義烏模擬)

31、已知圓(x-2)2 + y2=1經(jīng)過橢圓1(a>b>0)的一個頂點和一個焦點，則此橢圓的離心率 e=x2 y2解析：圓(x2)2 + y2=1經(jīng)過橢圓1+#= 1(a>b>0)的一個頂點和一個焦點，故橢圓的一 個焦點為F(1, 0), 一個頂點為 A(3, 0),所以c= 1, a =3,因此橢圓的離心率為 ；3,1答案：1 39. (2020瑞安四校聯(lián)考)橢圓+y = 1(a為定值，且 a>45的左焦點為 F,直線x=m與橢圓相交于點 A, B.若 FAB的周長的最大值是12,則該橢圓的離心率是 解析：設橢圓的右焦點為 F',如圖，由橢圓定義知，|AF|

32、+AF'=|BF|十 |BF'N 2a.又 AFAB 的周長為 RF|+ |BF|+ |AB|< |AF|+ |BF|+ |AFT |BF =4a,當且僅當AB過右焦點F時等號成立.此時周長最大，即 4a=12,x2 y則a = 3.故橢圓方程為9+5=1， c 2所以c=2,所以e=a=3.答案：3x2 y22 .10. 已知F1, F2分別是橢圓E： a2 + b2=1(a>b>0)的左、右焦點，點 1, 在橢圓上,且點（1,0）到直線pF2的距離為等，其中點P（一建 4）,則橢圓的標準方程為4解析：設F2的坐標為（c, 0）（c>0）,貝U kPF

33、2=c+ 1故直線PF2的方程為4 z 、y=;(x- c),c+ 1一 4即x一 y 一c+ 14c =0,點（一1, 0）到直線PF2的距離d c+ 14 4c解得又點4 2 =4 c+14,c=1或c=3（舍去），所以a2 b2=1.1在橢圓E上，所以4+芻=1, a ba2= 2,由可得b2= 1 ， x2C所以橢圓的標準方程為x2+y2=1.X2答案：2+y2=111.已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點.求該橢圓的標準方程.5, 3,過 P解：由于焦點的位置不確定，所以設所求的橢圓方程為京+ 荔=1(a>b>0

34、)或 p+p= 1(a>b>0),2a=5+3,由已知條件得(2c) 212.已知橢圓3+y2= 1（a>b>。），F(xiàn)1, F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點,直線AF2交橢圓于另一點B.（1）若/ FiAB=90° ,求橢圓的離心率;(2)若號2=20, AFi - AB = 3,求橢圓的方程.解：（1）若/ F1AB=90° ,貝nAOF2為等腰直角三角形，所以有 OA=OF2,即b= c.所以= 52- 32,解得 a=4, c= 2,所以 b2= 12.一， 、/x2 y2, y2 x2故橢圓萬程為16+臺=1或16+12= 1.a

35、= $c, e=a= 2.(2)由題知 A(0, b), Fi(-c, 0), F2(c, 0),其中 c=，a2b2,設 B(x, y).由第2 = 2%,3cb 3cbx2 y2得(c, b) = 2(xc, y),解得x=萬,y=-2,即B y, 2 .將B點坐標代入 孑+/=1,9c2 92一一得F+ 72= 1,即 9c2+：= 1,解得 a2= 3c2.又由 AFi AB= (-c, b)彎，尊=-3,得a b4a 4222x2b2c2=1,即有a22c2= 1.由解得c2= 1, a2= 3,從而有b2= 2.所以橢圓的方程為3y2+ 2 = 1.綜合題組練.、一 一一 .一 x

36、2 y21. （2020浙江百校聯(lián)盟聯(lián)考）已知橢圓/+ b2= 1（a>b>0）的右頂點和上頂點分別為A、B,左焦點為F.以原點。為圓心的圓與直線 BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點 C,過點C的直線交橢圓于 M、N兩點.若四邊形 FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為（）3A.51BqC.3解析：選A.因為圓O與直線BF相切，所以圓0的半徑為?即| =皆因為四邊形FAMN是平行四邊形,-一 I a+c be工 、口 （a+c）2 c2b2所以點m的坐標為 一2一，bc，代入橢圓方程得 一4a一+肅=1,所以 5e2+2e-3=0,又 0<e<1,所以 e=3.故選

37、 A. 5x2 y22.設A、B是橢圓C: +m= 1長軸的兩個漏點. 右C上存在點 M滿足/ AMB = 120 ,則m的取值范圍是()A. (0, 1U9, +00 )C. (0, 1U4,)B. (0, V3U9, +00 )D. (0, V3U4, +00 )而ZAMB-=>tan 斛析：選a.依題息得，vm2或0Vm<3JmZAMB/>tan羋*an 60° .mV32 ,所以m>30<m<3A(1 , 1)是一定點.則華tan 60或A/3,解得0<m< 1或m> 9.故選A.m>33,已知F是橢圓5x?+9y2

38、=45的左焦點，P是此橢圓上的動點, |PA|十|PF|的最大值為 ,最小值為 .解析：如圖所示，設橢圓右焦點為Fi,則|PF|+|PF“=6.所以 |FA|+|PF|=|PA|- |PFi|+ 6.利用|AFi|W|FA|PF”W |AF“(當P, A, Fi共線時等號成立).所以 |FA|+|PF|W6+也，|PA|十|PF|)6 42.故甲|十|PF|的最大值為 6+加，最小值為6加.答案：6+返6-724.(2020富陽市場口中學高三期中)如圖，已知Fi,F2是橢圓C: 22$+$=1(a>b>0)的左、右焦點，點 P在橢圓C上，線段PF2與 圓x? + y2=b2相切于點Q,且點Q為線段PF2的中點，則橢圓C的 離心率為.解析：連接OQ, Fp如圖所示，由切線的性質，得 OQLPF2,又由點Q為線段PF2的中點，。為FF2的中點，所以 OQ / FiP,所以 PF2±PFi,故 |PF2|=2a2b,且|PF”=2b, |FiF2|=2c,則 |FiF2= |PFi|2+