高中數(shù)學(xué)解析幾何專題之拋物線匯總解析版

1、圓錐曲線第3講 拋物線【知識要點(diǎn)】1、 拋物線的定義平面內(nèi)到某一定點(diǎn)的距離與它到定直線（）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線，這個定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。注1：在拋物線的定義中，必須強(qiáng)調(diào)：定點(diǎn)不在定直線上，否則點(diǎn)的軌跡就不是一個拋物線，而是過點(diǎn)且垂直于直線的一條直線。注2：拋物線的定義也可以說成是：平面內(nèi)到某一定點(diǎn)的距離與它到定直線（）的距離之比等于1的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。注3：拋物線的定義指明了拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離與到其準(zhǔn)線的距離相等這樣一個事實(shí)。以后在解決一些相關(guān)問題時，這兩者可以相互轉(zhuǎn)化，這是利用拋物線的定義解題的關(guān)鍵。2、 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物

2、線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下四種：（1） （），其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為；（2） （），其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為；（3） （），其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為；（4） （），其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.2. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（）或（）的特點(diǎn)在于：等號的一端是某個變元的完全平方，等號的另一端是另一個變元的一次項(xiàng)，拋物線方程的這個形式與其位置特征相對應(yīng)：當(dāng)拋物線的對稱軸為軸時，拋物線方程中的一次項(xiàng)就是的一次項(xiàng)，且一次項(xiàng)的符號指明了拋物線的開口方向；當(dāng)拋物線的對稱軸為軸時，拋物線方程中的一次項(xiàng)就是的一次項(xiàng)，且一次項(xiàng)的符號指明了拋物線的開口方向.3、 拋物線的性質(zhì)以標(biāo)準(zhǔn)方程（）為例，其他形式的方程可用同樣的方法得到相關(guān)結(jié)論。（1

3、） 范圍：，；（2） 頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)；（3） 對稱性：關(guān)于軸軸對稱，對稱軸方程為；（4） 開口方向：向右；（5） 焦參數(shù)：；（6） 焦點(diǎn)：；（7） 準(zhǔn)線：；（8） 焦準(zhǔn)距：；（9） 離心率：；（10） 焦半徑：若為拋物線（）上一點(diǎn)，則由拋物線的定義，有；（11） 通徑長：.注1：拋物線的焦準(zhǔn)距指的是拋物線的焦點(diǎn)到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離。以拋物線（）的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線：為例，可求得其焦準(zhǔn)距為；注2：拋物線的焦點(diǎn)弦指的是由過拋物線的焦點(diǎn)與該拋物線交于不同兩點(diǎn)的直線所構(gòu)成的弦。設(shè)拋物線的方程為（），過其焦點(diǎn)且不垂直于軸的直線交該拋物線于、兩點(diǎn)，則由拋物線的定義，可知其焦半徑，于是該拋物線的焦點(diǎn)弦長為.注3：拋物

4、線的通徑指的是過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于其對稱軸的弦。通徑是拋物線的所有焦點(diǎn)弦中最短的弦。設(shè)拋物線的方程為（），過其焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交該拋物線于、兩點(diǎn)（不妨令點(diǎn)在軸的上方），則、，于是該拋物線的通徑長為.四、與拋物線相關(guān)的幾個重要結(jié)論設(shè)拋物線的方程為（），點(diǎn)是其焦點(diǎn)，直線：是其準(zhǔn)線，若過該拋物線焦點(diǎn)的直線交該拋物線于、兩點(diǎn)（即線段是該拋物線的焦點(diǎn)弦），并且點(diǎn)、點(diǎn)在其準(zhǔn)線上的垂足分別為點(diǎn)、點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，則可以證明：（1） ，；（2） （這里，為直線的傾斜角）；（3） （這里，為直線的傾斜角）；（4） 以線段為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切；（5） ，；（6） 以線段為直徑的圓切直線于點(diǎn).證明

5、：由于當(dāng)直線的斜率不存在或斜率存在且不為零時，均符合題意，因此為避免分情況進(jìn)行討論而使得證明過程比較繁瑣，根據(jù)直線過點(diǎn)，我們可巧設(shè)其方程為，這里，為直線的傾斜角.（1） 聯(lián)立，得 由韋達(dá)定理，有 ，故（2） 由拋物線的定義，有（3）（4） 設(shè)的中點(diǎn)為則又這表明，的中點(diǎn)到準(zhǔn)線：的距離等于的一半，即以線段為直徑的圓的圓心到準(zhǔn)線：的距離等于圓的半徑.故以線段為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切（5） ，故，即又，于是故，即這表明，的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于的一半，即以線段為直徑的圓的圓心到點(diǎn)的距離等于圓的半徑.故以線段為直徑的圓切直線于點(diǎn)【例題選講】題型1：拋物線定義的應(yīng)用1. 已知是拋物線的焦點(diǎn)，、是該拋物線

6、上的兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為_.解：在拋物線中，即該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為由此可知，直線不垂直于軸，否則，與已知矛盾設(shè)，則線段的中點(diǎn)到軸的距離，并且由拋物線的定義，有，于是由，有 故線段的中點(diǎn)到軸的距離2. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)為該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)為垂足，如果直線的斜率為，那么=_.解：在拋物線中，即該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為由，可知，直線的方程為，即聯(lián)立，得 于是由于點(diǎn)知，將其代入方程中，得故由拋物線的定義，有3. 已知以為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)、滿足，則弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_.解：在拋物線中，即該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為設(shè)，則弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，并且，于是由，有，又

7、由可知，直線的斜率存在，不妨設(shè)為則直線的方程為，即聯(lián)立，得 由韋達(dá)定理，有 而，于是，故弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離題型2：求拋物線的方程4. 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則該拋物線的方程是_.解：由所求拋物線的準(zhǔn)線方程為，可設(shè)其方程為（）則有故所求拋物線的方程為5. 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則該拋物線的方程是_.解：由題設(shè)條件可設(shè)所求拋物線的方程為（）或（）則由焦準(zhǔn)距為2，有故所求拋物線的方程為或6. 已知拋物線過點(diǎn)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_，其準(zhǔn)線方程為_.解：由所求拋物線過點(diǎn)，可設(shè)其方程為（）或（）則有或于是或故所求拋物線的方程為或7. 已知拋

8、物線的焦點(diǎn)在直線上，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_，其準(zhǔn)線方程為_.解：在方程中，令，得；令，得于是所求拋物線的焦點(diǎn)為或（）當(dāng)所求拋物線的焦點(diǎn)為時，據(jù)此可設(shè)所求拋物線的方程為（）則有于是此時所求拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為（）當(dāng)所求拋物線的焦點(diǎn)為時，據(jù)此可設(shè)所求拋物線的方程為（）則有于是此時所求拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為故所求拋物線的方程為或，它們對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別為，.8. 已知動圓與圓：外切，且與軸相切，則動圓圓心的軌跡方程為_.解：設(shè)則由動圓與圓外切，且與軸相切，有（）（），即（）（）當(dāng)時，由（）式，有；當(dāng)時，由（）式，有故動圓圓心的軌跡方程為9. 若拋物線（）的焦點(diǎn)恰好是雙曲線的右焦點(diǎn)，則

9、=_.解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為在雙曲線，即中，于是雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、又拋物線的焦點(diǎn)恰好是點(diǎn)故10. 若拋物線（）的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個焦點(diǎn)，則=_.解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為在雙曲線中，于是雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、又拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)故11. 已知拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.解： 在雙曲線，即中，于是該雙曲線的左頂點(diǎn)為因而所求拋物線的焦點(diǎn)為，據(jù)此可設(shè)所求拋物線的方程為（）則有故所求拋物線的方程為12. 已知拋物線的焦點(diǎn)在軸上，直線與該拋物線交于點(diǎn)，并且，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.解： 由所求拋物線的焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)其方程為（）或（）（）對于拋物線

10、（），設(shè)，則由，有，即又點(diǎn)在拋物線上 聯(lián)立、， 得或于是此時所求拋物線的方程為或（）對于拋物線（），設(shè)，則由，有又點(diǎn)在拋物線上 聯(lián)立、， 得或于是此時所求拋物線的方程為或故所求拋物線的方程為或題型3：拋物線的性質(zhì)13. 已知拋物線：（）過點(diǎn)，與拋物線有公共點(diǎn)的直線平行于（為坐標(biāo)原點(diǎn)），并且直線與之間的距離等于，則直線的方程為_.解：由拋物線：過點(diǎn)，有拋物線的方程為，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為由直線且的方程為，即，可設(shè)直線的方程為又平行直線：與：之間的距離等于聯(lián)立，得 則由直線與拋物線有公共點(diǎn)，有 于是（舍去）故直線的方程為14. 過拋物線（）的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于、兩點(diǎn)，、在軸上的正射

11、影分別為、. 若梯形的面積為，則=_.解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為由直線的斜率為1，且過點(diǎn)可知，直線的方程為，即設(shè)，聯(lián)立， 得 解得： ，又又故15. 過點(diǎn)且與拋物線有一個公共點(diǎn)的直線方程為_.解：顯然，點(diǎn)在拋物線外（1）當(dāng)所求直線的斜率不存在時，顯然，過點(diǎn)且與拋物線有一個公共點(diǎn)的直線方程為（2）當(dāng)所求直線的斜率存在時，不妨設(shè)其斜率為則由其過點(diǎn)可知，所求直線的方程為，即聯(lián)立，得（）（）若，則由（）式，有而此時所求直線的方程為即此時所求直線與拋物線的唯一公共點(diǎn)為，滿足題意于是當(dāng)時，所求直線的方程為（）若，則對（）式，由所求直線與拋物線僅有一個公共點(diǎn)，有，滿足題意 于是當(dāng)時，所求直線的方程為故所

12、求直線的方程為或或16. 以拋物線的頂點(diǎn)為圓心的圓交于、兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于、兩點(diǎn)。已知，則的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_.解：設(shè)拋物線的方程為（）則其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為于是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為由拋物線的對稱性可知，、兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，、兩點(diǎn)也關(guān)于軸對稱設(shè)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)則，設(shè)以拋物線的頂點(diǎn)為圓心的圓的半徑為則在中，即設(shè)則由知，代入方程中，得，即在中，即-,得 ，解得：或（舍去）又故，即的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為417. 已知正方形的兩個頂點(diǎn)、在拋物線上，、兩點(diǎn)在直線：上，則正方形的面積為_.解：在拋物線中，即該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為由及所在直線的方程為，即，可設(shè)直線的方程為，即設(shè)，聯(lián)立， 得 由

13、韋達(dá)定理，有于是又平行直線：與：之間的距離，即 解得：或于是或故或，即正方形的面積為18或50.題型4：與拋物線有關(guān)的最值問題18. 若拋物線（）上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則=_.解： 拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為設(shè)則又點(diǎn)在拋物線上于是又，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，且于是有故注：由本題可見，拋物線的頂點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離最小。以后在遇到相關(guān)問題時，這個結(jié)論可以直接用。19. 已知直線：和直線：，則拋物線上一動點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值為_，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為_.解：在拋物線中，即該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為記點(diǎn)到直線和直線的距離分別為、（1）求由拋物線的定義知，點(diǎn)到直線的距離于是顯然，的最小

14、值即為點(diǎn)到直線：的距離于是即動點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值為2.（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)過點(diǎn)且垂直于直線：的直線為則的方程為，即聯(lián)立，得 解得：或（舍去）故，即當(dāng)動點(diǎn)到直線和直線的距離之和取得最小值2時，點(diǎn)的坐標(biāo)為.20. 已知定長為3的線段的端點(diǎn)、在拋物線上移動，是該拋物線的焦點(diǎn)，、兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是、，則線段的中點(diǎn)到軸的距離的最小值是_，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為_.解：在拋物線中，即該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為作于點(diǎn)則有又由拋物線的定義，有，而于是有，當(dāng)且僅當(dāng)弦過拋物線的焦點(diǎn)時，“=”成立，即此時點(diǎn)到軸的距離最小，并且為求點(diǎn)的坐標(biāo)，下面我們求由、可知，直線的斜率存在，不妨設(shè)為則由直線過點(diǎn)可知，其

15、方程為，即設(shè)，則聯(lián)立， 得 由韋達(dá)定理，有于是有，即 故即當(dāng)點(diǎn)到軸的距離取得最小值時，點(diǎn)的坐標(biāo)為.注：當(dāng)設(shè)出直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)后，交點(diǎn)既在直線上，又在曲線上，即交點(diǎn)的坐標(biāo)不僅滿足直線方程，也滿足曲線方程，這一點(diǎn)在解題時，要格外注意。21. 已知直線的方程為，是拋物線上一動點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最短時，點(diǎn)的坐標(biāo)為_，這個最短距離為_.解：在拋物線中，即該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為聯(lián)立， 得 直線與拋物線相離于是點(diǎn)到直線的最短距離為平行于直線且與該拋物線相切的直線到直線的距離，此時點(diǎn)即為切點(diǎn)設(shè)與直線：平行且與拋物線相切的直線方程為聯(lián)立， 得 令，得于是由，即，有將其代入中，得 故，其到直線：的最

16、短距離即當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最短時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，這個最短距離為2.注：拋物線上的點(diǎn)到已知直線的最短距離，就是與已知直線平行且與拋物線相切的直線到已知直線的距離，即切點(diǎn)到已知直線的距離。題型5：與拋物線的焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題22. 已知斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，并與該拋物線交于、兩點(diǎn)，則線段的長為_.解：在拋物線中，即該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為由直線的斜率為1，且過點(diǎn)可知，直線的方程為，即設(shè)，聯(lián)立， 得 由韋達(dá)定理，有（法一）故（法二）23. 過拋物線（）的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，求.證：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為直線的傾斜角為于是由直線過點(diǎn)可知，其方程為，即聯(lián)立，得

17、 解得：又點(diǎn)在軸上方，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)則，故由，有注：有時，當(dāng)把直線方程與曲線方程聯(lián)立后的方程化為關(guān)于的一個一元二次方程比化為關(guān)于的一個一元二次方程要好：一是計(jì)算簡便，二是更容易得出結(jié)果.24. 點(diǎn)在直線：上，若存在過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且，則稱點(diǎn)為“好點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是_.A. 直線上不存在好點(diǎn)B. 直線上僅有兩個點(diǎn)是“好點(diǎn)”C. 直線上有且僅有一個點(diǎn)是“好點(diǎn)”D. 直線上有無窮多個點(diǎn)是“好點(diǎn)”解：聯(lián)立，得直線：與拋物線相離又，這表明點(diǎn)是線段的中點(diǎn)設(shè)，則于是由、兩點(diǎn)在拋物線上，有（）對于方程（），方程（）恒有實(shí)數(shù)解故直線上有無窮多個點(diǎn)是“好點(diǎn)”25. 過拋物線（）的

18、焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，分別交拋物線的準(zhǔn)線于、兩點(diǎn)，又過、兩點(diǎn)分別作拋物線的對稱軸的平行線，交拋物線于、兩點(diǎn)，證明：、三點(diǎn)共線.證：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為設(shè)，則，于是，又于是有又故、三點(diǎn)共線注：為證三點(diǎn)共線，只需證明三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)連線的斜率相等。此外，為證兩直線平行，也可轉(zhuǎn)化為證明兩直線斜率相等。26. 已知已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線交該拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上，并且，證明：直線必經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).證：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為（）當(dāng)不垂直于軸時，設(shè)其斜率為則由直線過點(diǎn)可知，其方程為，即設(shè)， 則聯(lián)立， 得 由韋達(dá)定理，有又，這表明，、三點(diǎn)共線故此時直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)（）當(dāng)

19、垂直于軸時，這表明，、三點(diǎn)共線故此時直線也經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)綜上可知，直線總經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)題型6：與拋物線有關(guān)的綜合問題27. 已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，則=_.解：（法一）在拋物線中，即該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為聯(lián)立，得 解得：或或不妨令，則，故由余弦定理，有（法二）由法一知，于是，28. 已知拋物線：，直線：. 證明：上不存在關(guān)于直線對稱的兩個不重合的點(diǎn).證：設(shè)是拋物線：上任意一點(diǎn)則點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為若點(diǎn)是拋物線：上不與點(diǎn)重合的點(diǎn)則，并且由，有，即又于是有，而這顯然與矛盾故點(diǎn)不在拋物線上，即上不存在關(guān)于直線對稱的兩個不重合的點(diǎn).29. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，、是該拋物線上的

20、兩動點(diǎn)，且（）. 過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)這兩條切線的交點(diǎn)為.（1） 證明：為定值；（2） 設(shè)的面積為，寫出的表達(dá)式，并求出的最小值.證（1）：在拋物線中，即該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為設(shè)，則，于是由，有，又，即于是過拋物線上，兩點(diǎn)的切線方程分別為，即，聯(lián)立，得 于是，而（）由有，得 ，即 代入中，得 ，即 ，于是故由（）式，有，即為定值，其值為0.解（2）：由（1）知，又又由，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即（舍去）時，“=”成立故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值4.30. 已知動圓過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)、是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)、變

21、化且為定值（）時，證明：直線恒過某一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解（1）：設(shè)動圓圓心為，記定點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)則由題意知，這表明，點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等于是點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中是其焦點(diǎn)，是其準(zhǔn)線故動圓圓心的軌跡的方程為（）證（2）：設(shè)，則由題意知，并且于是直線的斜率存在且不為零，不妨設(shè)其方程為（）聯(lián)立，得 由韋達(dá)定理，有（）當(dāng)時，不存在，但有于是于是此時直線的方程為，即這表明，當(dāng)時，直線恒過定點(diǎn)（）當(dāng)時，存在于是此時直線的方程為，即這表明，當(dāng)時，直線恒過定點(diǎn)故當(dāng)時，直線恒過定點(diǎn)；當(dāng)時，直線恒過定點(diǎn).31. 設(shè)橢圓的中心和拋物線的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，、的焦點(diǎn)均在軸上，過的焦點(diǎn)作直線，與交于、兩點(diǎn)，在、上各取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：340（1） 求、的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 設(shè)是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，直線的斜率為，、的斜率依次為、，請?zhí)骄浚号c的關(guān)系；（3） 若與交于、兩點(diǎn)，為的左焦點(diǎn)，問是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由.解：（1）由題意