高等數(shù)學大一題庫

1、（一）函數(shù)、極限、連續(xù)一、選擇題：1、 在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，由( )所給出的函數(shù)是單調(diào)上升的。 (A) (B) (C) (D)2、 當時，函數(shù)f (x)=x sin x是( )（A）無窮大量 （B）無窮小量 （C）無界函數(shù) （D）有界函數(shù)3、 當x1時，都是無窮小，則f(x)是的( )（A）高階無窮小 （B）低階無窮小 （C）同階無窮小 （D）等階無窮小4、 x=0是函數(shù)的( )（A）可去間斷點 （B）跳躍間斷點； （C）振蕩間斷點 （D）無窮間斷點5、 下列的正確結(jié)論是（ ）（A）若存在，則f (x)有界；（B）若在的某鄰域內(nèi)，有且都存在，則也 存在； （C）若f(x)在閉區(qū)間a, b上連

2、續(xù)，且f (a), f (b)<0則方程f (x)=0,在(a, b)內(nèi)有唯一的實根;（D） 當時，都是無窮小，但與卻不能比.二、填空題：1、 若且則f (x)的表達式為 ;2、 已知數(shù)列的極限是4, 對于滿足n>N時，總有成立的最小N 應(yīng)是 ;3、 (b為有限數(shù)) , 則a= , b= ;4、 設(shè)則x=a是f(x)的第 類 間斷點;5、 且fg(x)在R上連續(xù)，則n= ；三、 計算題:1、計算下列各式極限：（1）； （2）；（3） （4）（5） （6）2、確定常數(shù)a, b，使函數(shù)在x=-1處連續(xù).四、證明：設(shè)f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，且a<f(x)<b, 證明

3、在(a, b)內(nèi)至少有一點，使.（二）導數(shù)與微分一、填空題:1、 設(shè)存在，則= ;2、 則 ;3、 設(shè), 則dy= ;4、 設(shè)則 ;5、 y=f(x)為方程xsin y + ye確定的隱函數(shù), 則 .二、選擇題:1、 則的值為( ) (A) lna (B) lna (C) (D) 2、 設(shè)曲線與直線相交于點, 曲線過點處的切線方程為( ) (A) 2x-y-2=0 (B) 2x+y+1=0 (C) 2x+y-3=0 (D) 2x-y+3=03、 設(shè) 處處可導，則( ) (A) a=b=1 (B) a=-2, b=-1 (C) a=0, b=1 (D) a=2, b=14、 若f(x)在點x可微

4、,則的值為( ) (A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不確定5、設(shè)y=f(sin x), f(x)為可導函數(shù)，則dy的表達式為( ) (A) (B) (C) (D)三、計算題：1、 設(shè)對一切實數(shù)x有f(1+x)=2f (x),且,求2、 若g(x)=又f(x)在x=0處可導，求3、 求曲線在t=0處的切線方程4、 f(x)在x=a處連續(xù),求5、 設(shè), 求6、 設(shè), 求.7、 計算的近似值.（三）中值定理與導數(shù)的應(yīng)用一、填空題：1、 函數(shù)f(x)=arctanx在0 ,1上使拉格朗日中值定理結(jié)論成立的= ;2、 若則a= , b= ;3、 設(shè)f(x)有連續(xù)導數(shù)，且則= ;4、 的極大值

5、為 ，極小值為 ;5、 的最大值為 ，最小值為 .二、選擇題：1、 如果a,b是方程f(x)=0的兩個根，函數(shù)f(x)在a,b上滿足羅爾定理條件，那么方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)（ ）（A）僅有一個根； （B）至少有一個根； （C）沒有根； （D）以上結(jié)論都不對。2、 函數(shù)在區(qū)間-上（ ）（A）滿足羅爾定理的條件，且 （B）滿足羅爾定理的條件，但無法求（C）不滿足羅爾定理的條件，但有能滿足該定理的結(jié)論； （D）不滿足羅爾定理的條件3、 如果一個連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上既有極大值，又有極小值，則（ ）（A）極大值一定是最大值； （B）極小值一定是最小值； （C）極大值一定比極小值大； （D）極在值不

6、一定是最大值，極小值不一定是最小值。4、 設(shè)f(x)在(a, b)內(nèi)可導，則是f(x)在(a, b)內(nèi)為減函數(shù)的（ ）（A）充分條件； （B）必要條件； （C）充要條件； （D）既非充分又非必要條件。5、 若f(x)在(a, b)上兩次可導，且（ ）, 則f(x)在(a, b)內(nèi)單調(diào)增加且是上凹的。（A）； （B）；（C） ； （D）三、計算題：1、 求: 2、 求過曲線y=xe上的極大值點和拐點的連線的中點，并垂直于直線x=0的直線方程.四、應(yīng)用題：1、 通過研究一組學生的學習行為，心理學家發(fā)現(xiàn)接受能力（即學生掌握一個概念的能力）依賴于在概念引人之前老師提出和描述問題所用的時間，講座開始時，

7、學生的興趣激增，分析結(jié)果表明，學生掌握概念的能力由下式給出：,其中G（x）是接受能力的一種度量，x是提出概念所用的時間（單位：min）（a）、x是何值時，學生接受能力增強或降低？（b）、第10分鐘時，學生的興趣是增長還是注意力下降？（c）、最難的概念應(yīng)該在何時講授？（d）、一個概念需要55的接受能力，它適于對這組學生講授嗎？五、證明題： 證明不等式 （四）不定積分一、選擇題：1、 設(shè)可微，則（ ）（A） （B） （C） （D）2、 若F（x）是的一個原函數(shù)，則cF（x）（ ）的原函數(shù) （A）是 （B）不是 （C）不一定是3、 若則（ ） （A） （B） （C） （D）4、 設(shè)在a，b上連續(xù)，則

8、在（a，b）內(nèi)必有（ ）（A） 導函數(shù) （B） 原函數(shù) （C） 極值 （D） 最大值或最大值5、 下列函數(shù)對中是同一函數(shù)的原函數(shù)的有（ ）6、 在積分曲線族中，過點的曲線方程是（ ）7、下列積分能用初等函數(shù)表出的是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）.8、已知一個函數(shù)的導數(shù)為，且x=1時y=2,這個函數(shù)是（ ） （A） （B） （C） （D）9、（） （A）; （B）; （C）； （D）.10、（ ） （A）； （B）； （C）； （D）.二、計算題:1、 2、 3、3、 5、 6、 7、三、求其中（五）定積分及其應(yīng)用一、填空題：1、 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，則F'(x)= ;2、 設(shè)是

9、連續(xù)函數(shù)，則 ；3、 ；4、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，f(0)= -1,則 ；5、函數(shù)=在區(qū)間a，b上的平均值為 .二、單項選擇題：1、 設(shè)存在，則在a，b上( ) (A)可導 (B)連續(xù) (C)具有最大值和最小值 (D)有界2、 設(shè)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則( ) （A） （B） （C） （D）3、 設(shè)存在，則I=( ) (A) (B) (C) (D) 0 4、 ,在( )（A）P<1 時收斂,P1時發(fā)散 （B）P1 時收斂,P1時發(fā)散（C）P>1 時收斂,P1時發(fā)散 （D）P1 時收斂,P<1時發(fā)散5、 曲線及y軸所圍的圖形面積為( ) (A) (B) (C) (D) 三、計算下列定

10、積分:1、 2、3、 4、四、求下列極限:1、 2、五、設(shè)可導函數(shù)y=y（x）由方程所決定，試討論函數(shù)y=y（x）的極值.六、已知拋物線，求p和a的值，使得：（1） 拋物線與y=x+1相切；（2） 拋物線與0x軸圍成的圖形繞0x軸旋轉(zhuǎn)有最大的體積.（六）向量代數(shù) 空間解析幾何一、填空題：1、向量與x，y，z軸的夾角分別為，則 ， ， 。2、設(shè)，則= ，= ，= ，= 。3、以點為球心，且通過坐標原點的球面方程為 。4、平面通過點（5，-7，4）且在x，y，z三軸上截距相等，則平面方程為 。5、把曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 。二、選擇題：1、平面與互相平行，則（ ）。 （A）充要條件

11、是 （B）充要條件是 （C）必要而不充分條件是 （D）必要而不充分條件是2、設(shè)與為非零向量，則是（ ） （A）的充要條件； （B）的充要條件； （C）=的充要條件； （D）的必要但不充分的條件；3、設(shè)直線，則該直線為（ ）。 （A）過原點且垂直于x軸 （B）過原點且平行于x軸 （C）不過原點但垂直于x軸 （D）不過原點但平行于x軸4、直線和平面的關(guān)系是（ ）。 （A）直線與平面垂直； （B）直線與平面平行，但直線不在平面上； （C）直線在平面上； （D）直線與平面相交，但不垂直。5、平面在軸的截距分別為，則（ ）。 （A） （B） （C） （D）6、方程表示（ ） （A）橢球面； （B）橢圓柱

12、面； （C）橢圓柱面在平面y=0上的投影曲線； （D）y=1平面上橢圓。7、方程表示（ ） （A）錐面； （B）單葉雙曲面； （C）雙葉雙曲面； （D）橢圓拋物面。三、計算題：1、將直線方程 化成對稱式方程。2、求兩平行平面及之間的距離。3、設(shè)一直線通過點M（4，3，3），且垂直于由三點A1（6，0，1），A2（2，1，5），A3（5，3，5）所確定的平面，求該直線方程。4、求過點和且與平面成角的平面方程。四、應(yīng)用題：設(shè)有一質(zhì)點開始時位于點P（1，2，-1）處，今有一方向角分別為60°,60°,45°,而大小為100克的力作用于此質(zhì)點，求當此質(zhì)點自點P作直線運動至

13、點M（2，5，-1+3）時，力所作的功（長度單位為厘米）。（七）多元函數(shù)微分學一、填空題： 1、設(shè)，則f（x，y）= . 2、設(shè)，則= . 3、由方程所確定的函數(shù)在點（1，2，2）處的全微分dz= . 4、曲面在點處的切平面方程是 . 5、設(shè)，則該函數(shù)的定義域為 .二、選擇題： 1.當，時，函數(shù)的極限（ ）（A）等于0； （B）等于； （C）等于； （D）不存在2.函數(shù)z = f（x，y）的偏導數(shù)，在點（x0，y0）連續(xù)是函數(shù) z = f（x，y）在點（x0，y0）可微分的（ ） （A）充分條件但非必要條件； （B）必要條件但非充分條件； （C）充分必要條件； （D）既非充分條件也非必要條件；

14、3.設(shè)z = f（u，v），而，其中f具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則等于（ ）（A）； （B）； （C）； （D）； 4.在曲線的所有切線中，與平面平行的切線（ ）（A）只有1條； （B）只有2條； （C）至少有3條； （D）不存在 5.設(shè)函數(shù)f（x，y）在點（0，0）的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且=2則在點（0，0）處f（x，y）（ ） （A）不可微分； （B）可微分，且；（C）取得極大值； （D）取得極小值. 三、計算題： 1、設(shè)，求 2、設(shè)，求3、設(shè),求4、設(shè)由方程所確定，求dz 5、設(shè)，求6、求函數(shù)的極值.四、求曲面上同時垂直平面與的切平面方程五、在旋轉(zhuǎn)橢球面上求距平面為最近和最遠的點.習題答案（一）函

15、數(shù)、極限、連續(xù) 答案一、1、（D） 2、（C） 3、（C） 4、（B） 5、（D）二、1、 2、N=10 3、4，10 4、一，跳躍 5、三、1、（1）（2）（3）（不存在） （4） （5） （6）2、解：f（-1-0）=0 f（-1）=b f（-1+0）=a+ 使f（x）在x=-1連續(xù)四、證明：令F（x）=f（x）-x 顯然F（x）在a，b上連續(xù) F（a）=f（a）-a 0 F（b）=f（b）-b 0 在（a，b）內(nèi)至少有一點使F（）=0 即：使f（）=（二）導數(shù)與微分 答案一、1、 2、不存在 3、 4、 5、0二、1、（A） 2、（D） 3、（C） 4、（B） 5、（D）三、解：1、 2

16、、 而 3、解：對等式兩邊關(guān)于t求導 對等式兩邊關(guān)于t求導 當t=0時，得x=0，y=-1 曲線在t=0處的切線方程的斜率為 ，切線方程4、5、 6、 7、設(shè),則（三）導數(shù)的應(yīng)用 答案一、（1） （2）1，1； （3）1； （4） （5） 二、B；D；D；A；A三、解：1. (1)、原式=(2)、原式=2. ，駐點，令，得， 因為，所以為極大值點，所以為拐點所以極大值點與拐點的中點坐標為，所求直線為：四、1、解 ：G（x）單調(diào)下降：所以當提出概念所用的時間小于13分鐘時，接受能力增強；當提出概念所用的時間大于13分鐘時，接受能力降低 （b）單調(diào)上升，學生的興趣在增長。 時取極大值，所以最難的概

17、念應(yīng)該在提出問題后的第13分鐘時講授。 （d） 因為G（13）=59.9，這個概念需要55的接受能力，小于最大接受能力，所以可以對這組學生講授該概念。2、解 ：設(shè)與的公路總長為，則，所以，令，得：（舍去）只有唯一的駐點，所以在處取得最小值五、證：1、令當x>0時，有，當x<0時，有故（四）不定積分 答案一、1、（C） 2、（B） 3、（C） 4、（B） 5、（A） 6、（A） 7、（D） 8、（B） 9、（D） 10、（C）二、1、原式= 2、原式=3、原式=4、原式=5、原式=6、原式= =7、原式=三、原式=（五）定積分及其應(yīng)用 答案一、（1） （2）0； （3）ln2 （4）

18、 （5）二、1、D，2、B，3、C，4、A，5、C。三、解：1、原式= 2、原式= 3、原式= 4、原式=四、解：1、原式= 2、， 而又 ，由夾擠定理知，此外 由的任意性知五、兩邊求導得即令y'=0，得x=0， 且由于x<0時,y'<0; 知x=0是y=y(x)的極小點,代入方程得:；注意:即y=y(x)的極小值為0六、解：對兩邊關(guān)于x求導得，由題設(shè)切點處有：， 得，代入拋物線方程可得，另一方面，旋轉(zhuǎn)體體積為：令，得從而這時，時，而時， ,故，V取極大值，也是最大值。（六）空間解析幾何 答案一、1、 2、1， 3、 4、 5、二、1、B 2、A 3、A 4、C 5、C 6、D 7、B三、1、解：令，得到直線上一點，設(shè) 的方向向量為 故的對稱式方程為 2、解：在上取一點；則兩平行平面間的距離為3、解：所求直線方向向量同時垂