高等數(shù)學(xué)二期末復(fù)習(xí)題及答案

1、高等數(shù)學(xué)（二）期末復(fù)習(xí)題一、選擇題1、若向量與向量平行，且滿足，則（ ） （A） （B） （C） （D）. 2、在空間直角坐標(biāo)系中，方程組代表的圖形為 ( )（A）直線 (B) 拋物線 （C） 圓 (D)圓柱面 3、設(shè)，其中區(qū)域由所圍成，則（ ） (A) (B) (C) (D) 4、設(shè)，則 （ ） （A）9 (B) 6 （C）3 (D) 5、級數(shù) 的斂散性為 （ ）（A） 發(fā)散 (B) 條件收斂 (C) 絕對收斂 (D) 斂散性不確定6、二重積分定義式中的代表的是（ ）（A）小區(qū)間的長度(B)小區(qū)域的面積(C)小區(qū)域的半徑(D)以上結(jié)果都不對 7、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則二次積分等于 ( )（A） (

2、B) (C) (D)8、方程表示的二次曲面是 ( )（A）拋物面 （B）柱面 （C）圓錐面 （D）橢球面 9、二元函數(shù)在點可微是其在該點偏導(dǎo)數(shù)存在的（ ）.（A） 必要條件 （B） 充分條件 （C） 充要條件 （D） 無關(guān)條件10、設(shè)平面曲線L為下半圓周 則曲線積分( )(A) (B) (C) (D) 11、若級數(shù)收斂，則下列結(jié)論錯誤的是 （ ）(A)收斂 (B) 收斂 (C)收斂 (D) 收斂12、二重積分的值與 （ ） （A）函數(shù)f及變量x,y有關(guān)； (B) 區(qū)域D及變量x,y無關(guān)； （C）函數(shù)f及區(qū)域D有關(guān)； (D) 函數(shù)f無關(guān)，區(qū)域D有關(guān)。13、已知且 則x = ( ) （A） -2

3、（B） 2 （C） -3 （D）314、在空間直角坐標(biāo)系中，方程組代表的圖形為( ) （A）拋物線 (B) 雙曲線 （C）圓 (D) 直線15、設(shè)，則= （ ）(A) (B) （C） (D)16、二重積分交換積分次序為 ( )（A） (B) (C) (D) 17、若已知級數(shù)收斂，是它的前項之和，則此級數(shù)的和是（ ）（A） (B) (C) (D) 18、設(shè)為圓周：，則曲線積分的值為（ ） （A） (B) 2 （C） (D) 19、 設(shè)直線方程為 ，則該直線必 ( )（A） 過原點且軸 （B）過原點且軸 （C） 過原點且軸 （D）過原點且軸20、平面與直線的交點坐標(biāo)為（ ）(A)（1，1，2） (

4、B)（2，3，4） （C）（1，2，2） (D)（2，1，1）21、考慮二元函數(shù)的下面4條性質(zhì)： 在點處連續(xù)； 在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)；在點處可微； 在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在.若用“”表示可由性質(zhì)推出性質(zhì)，則有 （ ）（A） (B) (C) (D) 22、下列級數(shù)中絕對收斂的級數(shù)是( )(A) (B) (C) (D)23、設(shè)，則（ ）（A） （B） （C） （D）24、設(shè)a為常數(shù)，則級數(shù) （ ）(A) 發(fā)散 (B) 條件收斂 (C) 絕對收斂 (D) 收斂性與a的取值有關(guān)25、設(shè)常數(shù)，則級數(shù) （ ）(A) 發(fā)散 (B)條件收斂 (C)絕對收斂 (D)斂散性與的取值有關(guān)26、 ( ) (A) (B

5、) (C) (D)二、填空題 1、 2、二元函數(shù) ，則 3、積分的值為 4、若 為互相垂直的單位向量， 則 5、交換積分次序 6、級數(shù)的和是 7、 8、二元函數(shù) ，則 9、設(shè)連續(xù)，交換積分次序 10、設(shè)曲線L： ，則 11、若級數(shù)收斂，則 12、若則 13、 14、已知且 則x = 15、設(shè)則 16、設(shè)連續(xù)，交換積分次序 17、級數(shù)，則級數(shù)的和是 18、設(shè)為圓周：，則曲線積分的值為 19、 20、已知, 則 21、 22、已知向量、滿足，則 23、設(shè)為連接與兩點的直線段，則 24、 25、，與的夾角是，則 26、已知三角形的頂點 27、點到點的距離 28、若則 29、 30、函數(shù)求 三、解答題

6、1、（本題滿分12分）求曲面在點處的切平面方程。2、（本題滿分12分）計算二重積分，其中由軸及開口向右的拋物線和直線圍成的平面區(qū)域。3、（本題滿分12分）求函數(shù)的全微分。4、（本題滿分12分）證明：函數(shù)在點（0，0）的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，但函數(shù)在點（0，0）處不連續(xù)。5、（本題滿分10分）用比較法判別級數(shù)的斂散性。6、（本題滿分12分）求球面在點處的法線方程。 7、（本題滿分12分）計算，其中。8、（本題滿分12分）力的作用下，質(zhì)點從點沿 移至點，求力 所做的功。9、（本題滿分12分）計算函數(shù)的全微分。10、（本題滿分10分）求級數(shù)的和。11、（本題滿分12分）求球面在點處的切平面方程。12、（本

7、題滿分12分）設(shè),求。13、（本題滿分12分）求，其中是由，在第一象限內(nèi)所圍成的區(qū)域。14、（本題滿分12分）一質(zhì)點沿曲線從點(0,0,0)移動到點(0,1,1)，求在此過程中，力所作的功。15、（本題滿分10分）判別級數(shù) 的斂散性。16、（本題滿分20分）求一條過點與一平面平行，且與直線相交的直線方程. 17、（本題滿分20分）求橢球面上的點，使直線在過點的切平面上.18、（本題滿分12分）計算二重積分。19、（本題滿分12分）已知，確定的，求。20、（本題滿分12分）設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求、. 21、（本題滿分10分）計算二次積分 .22、（本題滿分10分）計算函數(shù)的全微分.23、（

8、本題滿分10分）計算二重積分 其中D：0x1,0y1 .24、（本題滿分10分）已知向量，求 和.25、（本題滿分10分）求曲面在點處的切平面方程. 高等數(shù)學(xué)（二）期末復(fù)習(xí)題答案一、選擇題1、A 解：利用平行向量對應(yīng)的坐標(biāo)成比例，設(shè)，又因2、C 解：將代入得到，此時圖形為圓。 3、D 解：用極坐標(biāo)計算方便，4、A 解：利用曲線積分的性質(zhì)，則 5、B 解：由萊布尼茲判別法可得到級數(shù) 收斂，但 發(fā)散 ，所以 是條件收斂。 6、D 解：二重積分定義式中的是分割細度，代表的是n個小閉區(qū)域直徑中的最大值。 7、B 解：畫出積分區(qū)域，確定每個變量的上下限，交換積分次序以后，得8、A 解：在三維空間里表示的

9、是拋物面。 9、B 解：在點可微一定能推出偏導(dǎo)數(shù)存在，所以是充分條件。10、C 解：利用曲線積分的性質(zhì)，則沿著下半圓周的曲線積分11、B 解：若級數(shù)收斂，由收斂的性質(zhì)A,C,D三個選項依然是收斂的，而未必收斂，或者排除法選擇B。 12、C 解：二重積分的值與函數(shù)有關(guān)，與積分區(qū)域有關(guān)，而與積分變量的字母表達沒關(guān)系。 13、B 解：利用平行向量對應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則x=2 14、B 解：將代入得到代表的圖形為雙曲線。15、B 解：對y求偏導(dǎo)時，x看作常數(shù)，則= 16、A 解：畫出積分區(qū)域，確定每個變量的上下限，交換積分次序以后，得17、C 解：利用級數(shù)收斂的定義可得 18、D 解：利用曲線積分的性質(zhì)

10、，被積函數(shù)關(guān)于x是奇函數(shù)，由對稱性，可得則曲線積分19、A解：直線方程為 ，則原點坐標(biāo)滿足方程，該直線必過原點，直線的方向向量為 ，x軸的方向向量為，又因為，所以直線過原點且軸。 20、C 解：將直線方程寫成參數(shù)式，代入平面方程求交點坐標(biāo)，或者代入法驗證也可。代入得交點坐標(biāo)為（1，2，2）21、A 解：熟悉二元函數(shù)的概念之間的聯(lián)系，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微連續(xù)；或者偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在22、B 解：絕對收斂。23、B 解：對y求偏導(dǎo)時，x看作常數(shù)，代入點的坐標(biāo)24、C 解：級數(shù)絕對收斂。 25、B 解：級數(shù)條件收斂26、C 解：交換積分次序后計算簡單二、填空題1、 2 解：第一步分母有理化，第二步分

11、母利用平方差公式，第三步分子分母約去公因子，第四步利用連續(xù)性求解極限。2、 解：對x求偏導(dǎo)時，y看作常數(shù)，3、 解：用極坐標(biāo)求解簡單4、 0 解： 兩個向量垂直，則點積為0 5、 解：畫出積分域，再確定積分限6、 解：7、 解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母約去公因子，第四步利用連續(xù)性求解極限。8、 解：對y求偏導(dǎo)時，x看作常數(shù)，9、 解：畫出積分域，再確定積分限10、 0 解：利用曲線積分的性質(zhì)，奇函數(shù)在對稱區(qū)域上的積分為011、 -1 解：收斂12、 解：設(shè) 13、 解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母約去公因子，第四步利用連續(xù)性求解極

12、限。14、 3 解： 兩個向量垂直，則點積為015、 解：考查全微分的概念，先求兩個偏導(dǎo)，求全微分，再代入定點又因為16、 解：畫出積分域，再確定積分限17、 解：18、 0 解：利用曲線積分的性質(zhì)，奇函數(shù)在對稱區(qū)域上的積分為0，則19、 解：本題用到了連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，等價無窮小的替代，20、 解：本題用到向量積的求解方法, 則 21、 解：22、 解：，又，23、 解：為連接與兩點的直線段，此線段的方程是，此線段的長度是，24、 2 解：第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母約去公因子，第四步利用連續(xù)性求解極限。25、解：利用向量積的模的求解方法 26、解：利用向量積的模

13、的幾何意義，三角形的面積27、 解：利用兩點間的距離公式28、 3 解：利用點積公式29、 解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式，第三步分子分母約去公因子，第四步利用連續(xù)性求解極限。30、 解：對x求偏導(dǎo)時，y看作常數(shù)，求完偏導(dǎo)以后代入已知點的坐標(biāo)代入點的坐標(biāo) 三、解答題1、（本題滿分12分）解：設(shè) 則 ， ， 對應(yīng)的切平面法向量 代入（1，2，0）可得法向量：（4，2，0） 則切平面方程： 或 2、（本題滿分12分）解 ： 3、（本題滿分12分）解：因為 ， ， 所以 4、（本題滿分12分）解： 同理 所以函數(shù)在（0，0）點兩個偏導(dǎo)數(shù)存在。 不存在 因此函數(shù)在（0，0）點不連續(xù) 5

14、、（本題滿分10分）解： ， 而 是收斂的等比級數(shù) 原級數(shù)收斂 6、（本題滿分12分）解：設(shè) 則 ， ， 對應(yīng)的法向量 代入可得法向量：（2，4，6） 則法線方程： 7、（本題滿分12分）解： 8、（本題滿分12分）9、（本題滿分12分）， 10、（本題滿分10分）解： 所以級數(shù)的和為111、（本題滿分12分）解：設(shè) 則 ， ， 對應(yīng)的切平面法向量 代入可得法向量：（2，4，6） 則切平面方程： 或 12、（本題滿分12分）解：因為 所以 13、（本題滿分12分）解：令，則，所以 14、（本題滿分12分）15、（本題滿分10分）解： 設(shè) 于是 故發(fā)散。16、（本題滿分20分）解：直線的參數(shù)方程為 所求直線的方向向量為與平面的法向量垂直，即得 所求直線為 17、（本題滿分20分）解：設(shè)點為所求的點，則橢球面在點處的法向量，切平面的方程為直線的方向向量，由已知條件得，即而直線上的點必在切平面上，因此，而點在橢球面上，即 解得 和 ，即點為