高等數(shù)學等價替換公式泰勒公式

1、應用高等數(shù)學等價替換公式1、無窮小量：設*1）若，f（x）是g（x）的 高階 無窮小*2）若，f（x）是g（x）的 低階 無窮小*3）若，f（x）是g（x）的 同階 無窮小*4）若，f（x）是g（x）的 等價 無窮小*5）若，f（x）是g（x）的 k階 無窮小2、等價替換：若xx0，f（x） f1（x），g（x） g1（x）則 6、常用等價形式：當f（x）0時*1）sinf（x） f（x）*2）arc sinf（x） f（x）*3）tanf（x） f（x）*4）arc tanf（x） f（x）*5）In（1+f（x） f（x）*6）ef（x）-1 f（x）*7）1-cosf（x） *8）（1+

2、f（x）-1 f（x）二、函數(shù)的連續(xù)：1、間斷點：*1）第一類間斷點：f-（x0）、f+（x0）均 存在的 間斷點跳躍間斷點： f-（x0）f+（x0）可去間斷點： f-（x0）=f+（x0）*2）第二類間斷點：f-（x0）、f+（x0）至少有一個 不存在的 間斷點無窮間斷點： f-（x0）、f+（x0）中至少有一個為 振蕩間斷點： f-（x0）、f+（x0）中至少有一個 振蕩不存在三、導數(shù)：1、定義：= 2、導數(shù)的常見形式：*1） *2） *3） 3、切線方程：若曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0），則 y-y0=（x-x0）注：*1）如果=，則 x=x0*2）如果=0，則 y=y04、

3、法線方程：若直線過點P（x0，f（x0），則 y-y0=（x-x0）5、基本公式：*1） 0*2）*3）*4）*5）*6）*7）*8）*9）*10）*11）*12）*13）*14）*15）*16）6、四則運算：都有導數(shù)*1）*2）*3）*4）推論：*1）*2）*3）7、反函數(shù)求導法則：設y=f（x）與x=（y）（y）0）則 或= 8、n次導的常見公式：*1）= *2）*3）= 9、參數(shù)方程求導：設函數(shù)都可導，其中x=0，則函數(shù)的導數(shù)10、復合函數(shù)求導：若y=f（u），u=（x），且f（u）及（x）都可導，則復合函數(shù)y=f（x）的導數(shù)11、隱函數(shù)求導：*1）方程F（x，y）=0兩邊求導，解出*2

4、）公式法：由F（x，y）=0，則*3）利用微分形式的不變性，方程兩邊求微分，然后解出注：y是x的函數(shù)12、對數(shù)求導：將函數(shù)關(guān)系式兩邊取自然對數(shù)（成為隱函數(shù)形式），化簡，然后兩邊兩邊求導，最后兩邊乘以y（x）注：適用于多個因式的乘、除、乘冪構(gòu)成或冪指函數(shù)（y=u（x）v（x）13、高階導數(shù)：*1）二階導數(shù)：*2）三階導數(shù)：*4）n階導數(shù)：14、中值定理：*1）拉格朗日定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點，使得推論1：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)任意一點的導數(shù)都等于零，你們函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)是一個常數(shù)推論2：如果函數(shù)f（x）

5、與g（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點的導數(shù)與都相等，則這兩個函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)至多相差一個常數(shù)，即：f（x）= g（x）+C，x（a，b）*2）羅爾定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，且f（a）=f（b），則在（a，b）內(nèi)至少存在一點，使得 0*3）柯西定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，且，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點，使得= 15、洛必達法則：*1）型：設函數(shù)f（x）、g（x）滿足： 0在點x0的某去心鄰域內(nèi) 都存在 ，且 0 存在或為無窮有：= *2）型：設函數(shù)f（x）、g（x）滿足：在點x0=的某去心鄰域內(nèi) 都存在 ，且

6、 0 存在或為無窮有：= *3）其他未定型：0·型：f（x）·g（x）轉(zhuǎn)化成 ，一般將In、arc留在分子上-型：通過通分、分子有理化、倒數(shù)代換或代數(shù)、三角恒等變形化為型或型型：f（x）g（x）= eg（x）Inf（x） = 16、函數(shù)單調(diào)性判定：設函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導*1）如果函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)，則函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞 增 ；*2）如果函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)，則函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞 減 ；17、函數(shù)的極值：*1）如果函數(shù)y=f（x）在點x0及其左右近旁有定義，且對于x0近旁的任何一點x（xx0）的函數(shù)

7、值f（x）均有：f（x）<f（x0）,則f（x0）稱為函數(shù)y=f（x）的 極大值 ，點x0稱為函數(shù)y=f（x）的 極大值點f（x）>f（x0）,則f（x0）稱為函數(shù)y=f（x）的 極小值 ，點x0稱為函數(shù)y=f（x）的 極小值點*2）駐點： 0 的點*3）極值第一充分條件：設點x0是f（x）可能的極值點（或不存在）當；,則x0為極大值點當；,則x0為極小值點當， 同號 ，則x0不是極值點*4）極值的第二充分條件：設y=f（x）在點x0處有一、二階導數(shù)，且= 0如果 > 0，則函數(shù)y=f（x）在點x0處取得最小值f（x0）如果 < 0，則函數(shù)y=f（x）在點x0處取得最大

8、值f（x0）18、曲線凹凸性：*1）若對于x（a，b）時，則曲線在（a，b）上為 凹 ，用符號“ ” 表示*2）若對于x（a，b）時，則曲線在（a，b）上為 凸 ，用符號“ ” 表示6、曲線拐點：設f（x）在x0的某個鄰域內(nèi)二階可導，且 0 ，若x0兩側(cè) 改變 符號，則 （x0，f（x0） 為曲線的拐點19、曲線的漸近線：*1）水平漸近線：如果函數(shù)y=f（x）的定義域是無窮區(qū)間，且，則y= b*2）垂直漸近線：如果函數(shù)y=f（x）在x=x0處間斷，且，則x= x0*3）斜漸近線：如果函數(shù)y=f（x）定義在無窮區(qū)間，且，則y= ax+b20、經(jīng)濟學與導數(shù)：*1）利潤：L（Q）= R（Q）-C(Q

9、) *2）邊際利潤：*3）函數(shù)彈性：*4）需求彈性（供給函數(shù)）：注：當| < 1時，為低彈性，此時需求變動幅度 小于 價格變動幅度。且 > 0，收益R（p）單調(diào) 遞增 ，即價格隨總收益的增加而增加當| > 1時，為高彈性，此時需求變動幅度 大于 價格變動幅度。且 < 0，收益R（p）單調(diào) 遞減 ，即價格隨總收益的增加而減少當| = 1時，為單位彈性，此時需求變動幅度 等于 價格變動幅度。且 = 0，收益R（p）取得 最大值 四、微分：1、定義：dy= 2、基本公式：*1）d（c）= 0*2）*3）*4）*5）*6）*7）*8）*9）*10）*11）*12）*13）*14

10、）*15）*16）3、四則混合都有微分*1）*2）*3）*4）5、應用：*1）計算函數(shù)改變量的近似值：ydy= *2）計算函數(shù)值的近似值：f（x0+x） f（x0）+*3）當x0=0時，|x|很小時，有f（x） f（0）+注：|x|相對于x0很?。ㄔ叫≡胶茫┩普摚篹x 1+xIn（1+x） xsinx x （x用弧度制表示）tanx x （x用弧度制表示）五、不定積分：1、定義：2、基本公式：*1）*2） （k為常數(shù)）*3）*4）*5） （a>0且a1）*6）*7）*8）*9）*10）*11）*12）*13）*14）*15）*16）*17）*18）*19） （a>0）*20） （a

11、0）*21） （a0）*22） （a>0）3、性質(zhì)：*1）*2）*3）*4）*5） （k0）*6）4、換元積分法：*1）第一類換元積分法（湊微分法）：= F（x）+C*2）常見形式： （a0） （a0） （a0）*3）第二類換元積分法：*4）無理代換（根式代換）：當被積函數(shù)中含時，令x= tn （t>0）當被積函數(shù)中含和時，令x=tp（t>0），p是m和n的 最小公倍數(shù)當被積函數(shù)中含（a、b為常數(shù)且a0）時，令ax+b= tn （t>0）*5）三角代換：若被不定積分f（x）含時，令x= |a|sint若被不定積分f（x）含時，令x= |a|sect若被不定積分f（x）含

12、時，令x= |a|tant注：并且需要回代 *6）分部積分法： 或六、基本積分表：1、含有a+bx的積分：*1）*2）*3）*4）*5）*6）*7）*8）*9）2、含有的積分：*1）*2）*3）*4）*5）*6）*7）*8）3、含有的積分：*1）*2）*3） （|x|<a）*4） （|x|>a）4、含有abx2的積分：*1）*2） （a>0，b>0）*3）*4）*5）*6）*7）5、含有的積分：*1）*2）*3）*4）*5）*6）*7）*8）*9）*10）*11）*12）*13）6、含有的積分：*1）*2）*3）*4）*5）*6）*7）*8）*9）*10）*11）*12

13、）*13）*14）7、含有的積分：*1）*2）*3）*4）*5）*6）*7）*8）*9）*10）*11）*12）*13）*14）*15）8、含有的積分：*1）*2）9、含有的積分：*1）*2）*3）*4）*5）*6）10、含有的積分：*1）*2）*3）*4）11、含有三角函數(shù)的積分：一部分見上*1）*2）*3）*4）*5）*6）*7）*8）*9） = *10）*11）*12）*13）*14）*15）*16）*17）*18）12、含有反三角函數(shù)的積分：*1）*2）*3）*4）*5）*6）*7）*8）*9）13、含有指數(shù)函數(shù)的積分：*1）*2）*3）*4）*5）*6）*7）*8）*9）14、含有對數(shù)函數(shù)的積分：*1）*2）*3）*4）七、定積分：1、定義：2、上下限交換： 3、上下限相等（即a=b）：= 04、性質(zhì)：設f（x）、g（x）在a，b上可積，*1） k （k為常數(shù)）注： b-a k（b-a）*2） *3）積分區(qū)間的可加性： +*4）傳遞性： （在a，b上f（x）g（x）注：當f（x）0時，則 0當|f（x）|可積時， *5）估值性：n（b-a） m（b-a） （m和n分別是f（x）在a，b上的最大值和最小值）*6）中值性：= f（）（b-a） （ab）*7）均值性：= 5、計算方法：1、微積分基本定理（牛頓-萊布尼茲公式）：= = F（b）-F（a） （F（x）是f（x