1.2多元極限與連續(xù)ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù),),(),(0時(shí)時(shí)PUDyxP (也稱(chēng)為二重極限也稱(chēng)為二重極限),)(lim0APfPP 記記作作當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)則稱(chēng)則稱(chēng) A 為函數(shù)為函數(shù)，時(shí)時(shí)的的極極限限當(dāng)當(dāng)),(),(),(00yxyxyxfz ,),(lim00Ayxfyyxx 或或,成成立立-),( Ayxf都有都有若存在常數(shù)若存在常數(shù) A , 對(duì)任意正數(shù)對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù)總存在正數(shù) ,Ayxfyxyx ),(lim),(),(00或或定義定義2. 1 設(shè)設(shè) ,),(, ),(Dyxyxfz 的聚點(diǎn)，的聚點(diǎn)，是是 DyxP),(00的的充充分分必必要要條條件件為為：APfPP

2、)(lim0.),(),(000AyxPyxP時(shí)時(shí)的的極極限限都都是是以以任任何何方方式式趨趨于于點(diǎn)點(diǎn)一、二元函數(shù)的極限一、二元函數(shù)的極限多元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限有很多共性：多元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限有很多共性：“” 運(yùn)算；運(yùn)算；極限的變量代換；極限的變量代換； 夾逼準(zhǔn)則。夾逼準(zhǔn)則。有界變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.初等函數(shù)的極限；初等函數(shù)的極限；.01sin)(lim222200 yxyxyx 0sinsinlim1100 xyyxyx1sin3sin)1(lim21 xxyyx 若當(dāng)點(diǎn)),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，趨于不同值或有的極限不存在，解解:

3、設(shè)設(shè) P(x , y) 沿直線沿直線 y = k x 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點(diǎn)在點(diǎn) (0, 0) 的極限的極限.),(yxf故故則可以斷定函數(shù)極限則可以斷定函數(shù)極限則有則有21kkk 值不同值不同,自變量趨于原點(diǎn)的路徑也不同，極限也不同自變量趨于原點(diǎn)的路徑也不同，極限也不同 !在在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于以不同方式趨于,),(000時(shí)時(shí)yxP不存在不存在 .例例2.2 討論函數(shù)討論函數(shù)函數(shù)函數(shù)例例 求：求：解解: :這里這里2lim1lim1lim20)2,0(),( yx

4、yexeyxyxyxyyx的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈=(x , y)| x0, yR點(diǎn)點(diǎn)P0(0,2)為為D的聚的聚點(diǎn)點(diǎn)由極限運(yùn)算法則得由極限運(yùn)算法則得xeyxfxy1),( xexyyx1lim)2,0(),( 11lim1lim00 uexyeuuxyuxyxy因因21lim)2,0(),( xexyyx所所以以二、二、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義2 .2 設(shè)設(shè) n 元函數(shù)元函數(shù))(Pf定義在定義在 D 上上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在點(diǎn)如果函數(shù)在如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù)上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱(chēng)此函數(shù)在則稱(chēng)此函數(shù)在 D 上上,0DP 聚聚點(diǎn)點(diǎn)如果存在如果存

5、在否則稱(chēng)為不連續(xù)否則稱(chēng)為不連續(xù),0P此時(shí)此時(shí)稱(chēng)為間斷點(diǎn)稱(chēng)為間斷點(diǎn) .則稱(chēng)則稱(chēng) n 元函數(shù)元函數(shù)連續(xù)連續(xù).連續(xù)連續(xù), 例如例如, 函數(shù)函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在極限不存在, 又如又如, 函數(shù)函數(shù)11),(22yxyxf上間斷上間斷.122 yx 故故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn)為其間斷點(diǎn).在圓周在圓周結(jié)論結(jié)論: 初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).252141lim22)2, 1(),(xyyxyx例例如如定理定理2.2 （最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理） 一點(diǎn)一點(diǎn)P2，使得，使得f (P1)為最大值而為最大值

6、而f( P2)為最小值，即對(duì)為最小值，即對(duì)于于)()()(12PfPfPf 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D上的連續(xù)函數(shù)，在上的連續(xù)函數(shù)，在 D上一定有上一定有最大值和最小值這就是說(shuō)，在最大值和最小值這就是說(shuō)，在 D上至少有一點(diǎn)上至少有一點(diǎn)P1及及一切一切PD, 有有定理定理2.3介值定理）介值定理）在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必取得介于上的多元連續(xù)函數(shù)，必取得介于最大值和最小值之間的任何值最大值和最小值之間的任何值推論推論 有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域 D上的連續(xù)函數(shù)一定有界上的連續(xù)函數(shù)一定有界內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)例例6 求求xyyxyx 2)2, 1(),(lim23)3 , 1(lim2)2, 1(),( fxyyxyx解解: :函數(shù)函數(shù) 是初等函數(shù)，是初等函數(shù)，xyyxyxf 2),(是是其其定定義義域域中中的的點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn))2, 1(0P.11lim00yxyxyx 解解: 原式原式) 11(1) 1(lim200