同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

1、同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型同步電機(jī)的基本方程式及數(shù)學(xué)模型派克方程1.1 理想電機(jī)假設(shè)（ 1）電機(jī)磁鐵部分的磁導(dǎo)率為常數(shù)，因此可以忽略掉磁滯、磁飽和的影響，也不計(jì)渦流及集膚效應(yīng)作用等的影響；（2）定子的三個(gè)繞組的位置在空間互相相差120°電角度， 3 個(gè)繞組在結(jié)構(gòu)上完全相同。同時(shí)，他們均在氣隙中產(chǎn)生正弦分布的磁動(dòng)勢(shì)；（ 3）定子及轉(zhuǎn)子的槽及通風(fēng)溝等不影響電機(jī)定子及轉(zhuǎn)子的電感，因此認(rèn)為電機(jī)的定子及轉(zhuǎn)子具有光滑的表面；為了分析計(jì)算，還需要設(shè)定繞組電流、磁鏈正方向。1.2 abc 坐標(biāo)下的有名值方程同步電機(jī)共有 6 個(gè)繞組分別為：定子繞組 a,b,c，轉(zhuǎn)子勵(lì)磁繞組 f，轉(zhuǎn)子 d 軸阻尼繞組 D 以及轉(zhuǎn)

2、子 q 軸阻尼繞組 Q。需要求出每個(gè)繞組的電壓、電流和磁鏈未知數(shù)，因此一共需要18 個(gè)方程才能求解。電壓方程：uapara iaubpbrb ibucpcrc icu fpfr f i fuDpDrDi D0uQpQrQiQ0D 繞組與 Q 繞組均為無外接電源閉合繞組，因此電壓均為 0，從而上式中一共有8 個(gè)方程。磁鏈方程：aLaaLabLacLafLaDLaQiabLbaLbbLbcLbfLbDLbQibcLcaLcbLccLcfLcDLcQicfL faL fbL fcL ffL fDL fQi fDLDaLDbLDcLDfLDDLDQiDQLQaLQbLQcLQfLQDLQQiQL11(

3、33)L12(33)iabcL21(33)L22(33)i fDQ在電感矩陣中（針對(duì)凸極機(jī)），定子繞組自感和互感參數(shù)是隨轉(zhuǎn)子位置而變化的參數(shù)，而在轉(zhuǎn)子繞組中，轉(zhuǎn)子的自感和互感參數(shù)均為常數(shù)，而且D 軸與 Q 軸正交，則 D 軸繞組與Q 軸繞組互感為 0。定子與轉(zhuǎn)子之間的互感參數(shù)顯然是隨轉(zhuǎn)子位置變化的參數(shù)。1 / 8同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型功率、力矩及轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程：（1）電機(jī)輸出電功率的瞬時(shí)值Peuai aubibuci c輸出總電功率為三相繞組輸出電功率之和（2）電磁力矩瞬時(shí)值1TePp3Tabc011101i abc110利用磁鏈方程以及電感參數(shù)表達(dá)式代入發(fā)電機(jī)慣例電磁力矩瞬時(shí)值表達(dá)式即可得到。（3）

4、轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程（目的方程）1dJTmTePpdtddt式中,為電角度，電角速度小結(jié)利用電壓方程、磁鏈方程以及轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程，一共有16 個(gè)方程，但是需要求解的未知數(shù)有 21 個(gè)（ u, i , , Tm ），因此還需要五個(gè)方程，分別為：（ 1） u f 勵(lì)磁系統(tǒng)輸出電壓，設(shè)為已知；（ 2） Tm 原動(dòng)機(jī)輸出機(jī)械力矩，設(shè)為已知；（3）定子三相繞組與網(wǎng)絡(luò)接口對(duì)應(yīng)的3 個(gè)網(wǎng)絡(luò)方程因此，利用 21 個(gè)方程可以解出21 個(gè)未知數(shù)， 但是從方程形式上看，該方程組為非線性變微分方程， 處理難度比較大。 所以，有工程師提出了變換坐標(biāo)系的方法來將方程組簡化為非線性常微分方程， 這個(gè)變換成為派克變換 （劉取的書提出派

5、克變換是采用的前蘇聯(lián)學(xué)者物理解釋的方法，倪以信的書采用的是數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法）。1.3 派克變換為了解決同步電機(jī)方程中存在大量變化參數(shù)的問題，通常根據(jù)同步電機(jī)的雙反應(yīng)理論，把定子 abc 三相繞組經(jīng)過適當(dāng)變換而等值成 2 個(gè)分別固定在 d、 q 軸上，并與轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)的等值定子繞組，這種變換就稱為派克變換。經(jīng)過派克變換后所得的 dq0 坐標(biāo)下的同步電機(jī)方程中的電感參數(shù)均為定常值，有助于實(shí)用計(jì)算。經(jīng)典派克變換推導(dǎo)變換前后的等值條件，即空間磁動(dòng)勢(shì)相等：ff afbfcf dfq又 d， q 相互正交，則可以得出下式：2 / 8同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型fdcosfqsinaacossinbbcos sinf a

6、cf bcf c其中，fa,fb,fc,fd,f是相應(yīng)軸上的投影，a , b , c為d軸領(lǐng)先，軸的電角度，qa bc且 q 軸領(lǐng)先 d 軸 90°。穩(wěn)態(tài)對(duì)稱運(yùn)行時(shí)，f a , fb , fc 在時(shí)間上互差 120°相位，即：f aF cos tf bF cos( t120)f cF cos( t120)其中 F 為空間磁動(dòng)勢(shì)。當(dāng) d 軸與 a 軸重合，且電網(wǎng)角頻率與轉(zhuǎn)子電角速同步時(shí)，則有：abc聯(lián)立以上三式，可得：tt 120 t 120f d3 F2f q0為了消去系數(shù)3 ，于是在變換矩陣前再加上一個(gè)因子，取為2 。23fd2cosf3sinacossinbcossin

7、cfafbqabcfc計(jì)入零軸分量，完整派克變換取為：cosfd2sinfq31f02aacossin12bbcossin12c facfbfc經(jīng)典派克變換矩陣為：Dcos2sin3 12aacossin12bbcossin12cc派克變換小結(jié)派克變換的最大特點(diǎn)是通過在d 和 q 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)上觀察電機(jī)電磁量，能更好地與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)3 / 8同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型和凸極效應(yīng)問題相適應(yīng)。經(jīng)典派克變換也存在兩個(gè)缺點(diǎn)，其一，經(jīng)典派克變換在功率上不守恒，其二，利用派克變換將 abc 坐標(biāo)下的同步電機(jī)有名值方程轉(zhuǎn)換為 dq0 坐標(biāo)下的有名值方程時(shí)，對(duì)應(yīng)的 dq0 坐標(biāo)下有名值電感矩陣中有些互感不可逆。1.4 dq0

8、坐標(biāo)下的有名值方程D(33)0(33)，基本過程與 abc 坐標(biāo)下的有名值方程幾乎相同，將等式兩邊同時(shí)乘以I (30(33)3)會(huì)涉及相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，證明略去（見倪以信書）。電壓方程：udq0dq0Sdq 0rdq 00idq 0uabcp00rfDQi fDQabcq其中 Sdq 0d，為速度電動(dòng)勢(shì)。0磁鏈方程：dq0LSSLSRidq 0fDQLRSLRRi fDQ其中LSSLSR 為常數(shù)陣，但并不對(duì)稱。LRSLRR功率、力矩及轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程：功率方程Pe3 (ud iduq iq ) 3u0 i02電磁力矩方程TePp3 (d iqqid )2轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程1 J dTmTePpdtdd

9、t小結(jié)未知數(shù)以及方程數(shù)與 abc 坐標(biāo)有名值方程相同， 而不同的是互感矩陣中個(gè)元素變?yōu)槌?shù)，這就使得解該方程組成為可能。同步電機(jī)標(biāo)幺制2.1 標(biāo)幺值系統(tǒng)的選擇原則（1）標(biāo)幺基值的選取應(yīng)使各種電路或力學(xué)定律相應(yīng)的有名值方程和標(biāo)幺值方程形式相同，4 / 8同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型從而使同步電機(jī)標(biāo)幺值方程和有名值方程有相同的形式。（ 2）標(biāo)幺值方程中互感完全可逆，相應(yīng)電感矩陣為對(duì)稱陣（ 3）選取適當(dāng)基值，使傳統(tǒng)的標(biāo)幺電機(jī)參數(shù)保留在電機(jī)方程中一般采用 Xad 基值系統(tǒng)2.2 各繞組的基值公用基值f B50HzB2fB314.16rad / s1tBB定子繞組基值iaB2I R 即額定相電流的峰值uaB2U R

10、 即額定相電壓的峰值RaB ,aB 依照定義計(jì)算即可。勵(lì)磁繞組及阻尼繞組基值任選電壓、電流（u fB ,i fB ）作為基值，并依靠該基值計(jì)算出其他基值。阻尼繞組的確定方法類似。2.3 原則應(yīng)用（1）定子繞組與勵(lì)磁繞組標(biāo)幺值互感可逆的約束條件SfBSaB同理，定子繞組與阻尼繞組也滿足這樣的約束條件。則可以推得：LafB2 LaB LDB3L faB3LafB2定子繞組與阻尼繞組類似。（2）保留傳統(tǒng)的標(biāo)幺電機(jī)參數(shù)的約束B Ldf i fBX ad iaB （從定義推得的）阻尼繞組滿足類似的約束條件。2.4 dq0 坐標(biāo)下的標(biāo)幺值方程電壓方程與有名值電壓方程相同磁鏈方程電感矩陣變?yōu)閷?duì)稱陣，且矩陣中

11、的值與發(fā)電機(jī)電抗值相對(duì)應(yīng)。功率、力矩及轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程5 / 8同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型功率方程：Peudiduqiq2u0i0力矩方程： Ted iqqid以上兩方程僅與有名值方程有系數(shù)3/2 的區(qū)別。轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程TJ dTmTedtd1dt轉(zhuǎn)子加速度方程在速度變化不大的暫態(tài)過程中，可近似認(rèn)為TmTePmPe同步電機(jī)實(shí)用模型重要假設(shè)：（1）忽略定子繞組暫態(tài)，從而令定子電壓微分方程中pdpq0 ；（2）定子電壓方程中1；3.1 三階實(shí)用模型（忽略阻尼繞組D、Q）適用范圍： 精度要求不十分高，但仍需要計(jì)及勵(lì)磁系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析中，較適用于凸極機(jī)?；具^程： 為了消去轉(zhuǎn)子勵(lì)磁繞組變量，引入 3 個(gè)定子

12、側(cè)等效實(shí)用變量，然后再利用3 個(gè)磁鏈 方 程 消 去d軸 磁 鏈 ， q軸 磁 鏈 和 勵(lì)磁 電 流 ， 從 而 在 最 終 同 步 電 機(jī) 模 型 中 保 留udq , idq , E f , Eq ', , ,Tm 等 9 個(gè)變量，其中 Eq ', 為狀態(tài)量，電機(jī)方程由3 個(gè)電壓方程，2 個(gè)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程組成，當(dāng)E f , Tm 已知，并和網(wǎng)絡(luò)d 軸， q 軸方程聯(lián)立，從而求解。三階模型方程組：6 / 8同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型d 軸， q 軸網(wǎng)絡(luò)方程。七個(gè)方程即可解出七個(gè)未知數(shù)。3.2 五階實(shí)用模型適用范圍： 對(duì)電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析的精度要求較高，可忽略定子電磁暫態(tài)， 而計(jì)及轉(zhuǎn)子阻尼繞組作用的分析計(jì)算基本過程： 基本過程與三階模型推導(dǎo)過程基本類似，但是未知量變多了。 因?yàn)?uD uQ0 ，則所含變量為 udqf , idqfDQ ,dqfDQ ,Tm , , ，其中 u f用 E f 取代，再用 5 個(gè)磁鏈方程消去3 個(gè)轉(zhuǎn)子電流 i fDQ , dq ，而f , D , Q 則用 Eq ', Eq '', Ed '' 實(shí)用變量取代。五階模型方程組：d 軸， q 軸網(wǎng)絡(luò)方程。總共 9 個(gè)方程中一共有11 個(gè)未知數(shù)，而