第十章-函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).

1、第十章函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§ 1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性(1)一、本次課主要內(nèi)容點(diǎn)態(tài)收斂，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的一般問(wèn)題。二、教學(xué)目的與要求使學(xué)生理解怎樣用函數(shù)列（或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）來(lái)定義一個(gè)函數(shù)，掌握如何利用函數(shù)列（或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）來(lái)研究被它表示的函數(shù)的性質(zhì)。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)函數(shù)列一致收斂的概念、性質(zhì)四、教學(xué)方法和手段課堂講授、提問(wèn)、討論；使用多媒體教學(xué)方式。五、作業(yè)與習(xí)題布置P68 1 （5）（7）一函數(shù)列及極限函數(shù)： 對(duì)定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)列，介紹概念：收斂點(diǎn)，收斂域（注意定義域與收斂域的區(qū)別），極限函數(shù)等概念 .1. 逐點(diǎn)收斂 ( 或稱(chēng)為“點(diǎn)態(tài)收斂” ) 的“”定義 .例 1對(duì)定義在內(nèi)的等比函數(shù)

2、列, 用“”定義驗(yàn)證其收斂域?yàn)?且例 2. 用“”定義驗(yàn)證在內(nèi).例 3考查以下函數(shù)列的收斂域與極限函數(shù) :.（ 1）.（ 2）.（ 3） 設(shè)為區(qū)間上的全體有理數(shù)所成數(shù)列.令,.（4）.,.（5）有,.（注意.）二 .函數(shù)列的一致收斂性 :問(wèn)題 :若在數(shù)集D 上,.試問(wèn) :通項(xiàng)的解析性質(zhì)是否必遺傳給極限函數(shù)?答案是否定的.上述例1、例3說(shuō)明連續(xù)性未能遺傳 , 而例3說(shuō)明可積性未能遺傳.例 3說(shuō)明雖然可積性得到遺傳,但.用函數(shù)列的極限表示函數(shù)是函數(shù)表達(dá)的一種重要手段.特別是表達(dá)非初等函數(shù)的一種手段 . 對(duì)這種函數(shù) , 就是其表達(dá)式 . 于是 , 由通項(xiàng)函數(shù)的解析性質(zhì)研究極限函數(shù)的解析性質(zhì)就顯得十分

3、重要 . 那末 , 在什么條件下通項(xiàng)函數(shù)的解析性質(zhì)能遺傳給極限函數(shù)呢 ? 一個(gè)充分條件就是所謂“一致收斂” . 一致收斂是把逐點(diǎn)收斂加強(qiáng)為所謂“整體收斂”的結(jié)果 .定義(一致收斂)一致收斂的幾何意義.Th1(一致收斂的Cauchy 準(zhǔn)則)函數(shù)列在數(shù)集D 上一致收斂,.(介紹另一種形式.)證(利用式)易見(jiàn)逐點(diǎn)收斂.設(shè), 有.令,對(duì)D成立 ,即,，D.推論1在 D上,，.推論2設(shè)在數(shù)集D上,.若存在數(shù)列D ,使,則函數(shù)列在數(shù)集D上非一致收斂.應(yīng)用系2判斷函數(shù)列在數(shù)集D 上非一致收斂時(shí),常選為函數(shù)在數(shù)集D 上的最值點(diǎn).驗(yàn)證函數(shù)一致收斂性 :例 4.證明函數(shù)列在 R內(nèi)一致收斂 .例 5證顯然有,.證明

4、在R 內(nèi),在點(diǎn)但不一致收斂 .處取得極大值,.由系2 ,不一致收斂.例 6.證明在內(nèi),.證易見(jiàn)而在內(nèi)成立 .由系1 ,例 7對(duì)定義在區(qū)間上的函數(shù)列證明 :證,時(shí) ,但在只要上不一致收斂,就有.P38. 39 因此 ,例 在3,參圖 13-4.上有.,.于是,在上有此,該函數(shù)列在例 8.但由于上不一致收斂 .考查函數(shù)列,在下列區(qū)間上的一致收斂性因:;.例 9考查級(jí)數(shù)從開(kāi)頭每?jī)身?xiàng)加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)的斂散性 .該例的結(jié)果說(shuō)明什么問(wèn)題?教學(xué)后記：第十章函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§ 1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性（2）一、本次課主要內(nèi)容函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性。二、教學(xué)目的與要求使學(xué)生理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性概念。掌握函

5、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判斷。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)函數(shù)序列一致收斂性的判別方法。四、教學(xué)方法和手段課堂講授、提問(wèn)、討論；使用多媒體教學(xué)方式。五、作業(yè)與習(xí)題布置P68 1（9）（11），P69 5一 .函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性:1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其和函數(shù)：, 前項(xiàng)部分和函數(shù)列，收斂點(diǎn)，收斂域例 1, 和函數(shù),定義在余項(xiàng) .內(nèi)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(稱(chēng)為幾何級(jí)數(shù))的部分和函數(shù)列為,收斂域?yàn)?2. 一致收斂性 : 定義一致收斂性 .Th2(Cauchy準(zhǔn)則 ) 級(jí)數(shù)在區(qū)間 D上一致收斂 ,對(duì)D成立.推論Th3級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間 D上一致收斂在區(qū)間 D上一致收斂 ,.例證2證明級(jí)數(shù)令=在 R內(nèi)一致收斂 .,則時(shí)對(duì)R成立.例

6、3幾何級(jí)數(shù)一致收斂 .證在區(qū)間在區(qū)間上 ,有上一致收斂；但在內(nèi)非,.一致收斂 ;而在區(qū)間內(nèi),取,有,.非一致收斂 .(亦可由通項(xiàng)在區(qū)間內(nèi)非一致收斂于零,非一致收斂.)幾何級(jí)數(shù)雖然在區(qū)間內(nèi)非一致收斂 ,但在包含于何閉區(qū)間上卻一致收斂.我們稱(chēng)這種情況為“閉一致收斂”.因此級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 .,內(nèi)的任我們說(shuō)幾何二.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法:1.M- 判別法:Th 4 (Weierstrass判別法 )設(shè)級(jí)數(shù)定義在區(qū)間 D 上,是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù) . 若當(dāng)充分大時(shí) ,對(duì)D有|,則在 D上一致收斂 .證然后用 Cauchy 準(zhǔn)則 .亦稱(chēng)此判別法為優(yōu)級(jí)數(shù)判別法.稱(chēng)滿(mǎn)足該定理?xiàng)l件的正項(xiàng)級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)的一個(gè)優(yōu)

7、級(jí)數(shù) . 于是 Th 4 可以敘述為 : 若級(jí)數(shù)在區(qū)間 D 上存在優(yōu)級(jí)數(shù) ,則級(jí)數(shù)在區(qū)間 D 上一致收斂 .應(yīng)用時(shí) ,?？稍嚾? 但應(yīng)注意 ,級(jí)數(shù)在區(qū)間 D 上不存在優(yōu)級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)在區(qū)間 D 上非一致收斂 .注意區(qū)分用這種控制方法判別函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的區(qū)別所在.例 3判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和在 R內(nèi)的一致收斂性.例 4設(shè)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù) .試證明 :若級(jí)數(shù)與都絕對(duì)收斂 ,則級(jí)數(shù)在區(qū)間上絕對(duì)并一致收斂 .簡(jiǎn)證 ,留為作業(yè).2. Abel 判別法 :Th 5設(shè) > 級(jí)數(shù)在區(qū)間上收斂 ;>對(duì)每個(gè),數(shù)列單調(diào);>函數(shù)列在上一致有界, 即, 使對(duì)和,有.則級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂 .(

8、1P43 )3. Dirichlet 判別法 :Th 6設(shè) > 級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界 ;>對(duì)于每一個(gè),數(shù)列單調(diào) ;>在區(qū)間上函數(shù)列一致收斂于零 .則級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂 .例 5判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上的一致收斂性 .解記.則有> 級(jí)數(shù)收斂;> 對(duì)每個(gè),；>對(duì)和成立 .由 Abel 判別法 ,在區(qū)間上一致收斂 .例 6設(shè)數(shù)列單調(diào)收斂于零 .試證明 :級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂 .證在上有.可見(jiàn)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界 .取,.就有級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間上一致有界 ,而函數(shù)列對(duì)每一個(gè)單調(diào)且一致收斂于零 . 由 Dirichlet判別法 , 級(jí)

9、數(shù)在區(qū)間上一致收斂 .其實(shí) ,在數(shù)列單調(diào)收斂于零的條件下 ,級(jí)數(shù)在不包含的任何區(qū)間上都一致收斂.習(xí)題課例 1設(shè),.且,.若對(duì)每個(gè)自然數(shù)有 |對(duì)成立 ,則函數(shù)列 在上一致收斂于函數(shù).例 2證明函數(shù)列在區(qū)間上非一致收斂 .例 3,.討論函數(shù)列 的一致收斂性 .解0,.|0|.可求得.函數(shù)列 在區(qū)間上非一致收斂 .例4設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).定義.試證明函數(shù)列 在區(qū)間上一致收斂于零 .證法一由有界.設(shè)在區(qū)間上|.|;|;|.注意到對(duì),.0,.證法二.有界.設(shè)在區(qū)間上|. 把函數(shù)在點(diǎn)展開(kāi)成具 Lagrange 型余項(xiàng)的階 Taylor 公式 ,注意到,就有,.所以,0,.例5設(shè).且,.令,.試證明 :若對(duì)

10、和,有,則函數(shù)列 在區(qū)間上一致收斂.證對(duì)取,使時(shí) ,有.于是對(duì)任何自然數(shù)和,有.由 Cauchy 收斂準(zhǔn)則,函數(shù)列 在區(qū)間上一致收斂.在數(shù)集例 6設(shè)在數(shù)集上函數(shù)列 上有界 ,則函數(shù)列 一致收斂于函數(shù) 在數(shù)集 上一致有界.若每個(gè)證(先證函數(shù)在數(shù)集上有界)設(shè)在上有 |.對(duì), 由函數(shù)列 在數(shù)集上一致收斂, 當(dāng)時(shí),對(duì), 有|,|<.即函數(shù)在數(shù)集上有界.( 次證函數(shù)列 在數(shù)集上一致有界 )時(shí),對(duì), 有|<,|.取即函數(shù)列 在數(shù)集易見(jiàn)對(duì)上一致有界 .和有|.教學(xué)后記：第十章函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§ 2一致收斂級(jí)數(shù)的判別與性質(zhì)（1）一、本次課主要內(nèi)容函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂的柯西收斂準(zhǔn)則和一致收斂級(jí)數(shù)

11、的性質(zhì)。二、教學(xué)目的與要求使學(xué)生掌握判別函數(shù)的一致收斂性。深刻理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別方法。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別方法的選擇與使用。四、教學(xué)方法和手段課堂講授、提問(wèn)、討論；使用多媒體教學(xué)方式。五、作業(yè)與習(xí)題布置P82 1 （4）（6）（8）（10）一.一致收斂函數(shù)列極限函數(shù)的解析性質(zhì):1. 連續(xù)性 :Th 1設(shè)在上, 且對(duì), 函數(shù)在上連續(xù) ,在上連續(xù) .證(要證:對(duì),在點(diǎn)連續(xù).即證:對(duì),當(dāng)|時(shí),.).估計(jì)上式右端三項(xiàng) . 由一致收斂 ,第一、三兩項(xiàng)可以任意小; 而由函數(shù)在點(diǎn)連續(xù) ,第二項(xiàng)也可以任意小 .推論設(shè)在上. 若在上間斷，則函數(shù)列在上一致收斂和所有在上連續(xù)不能同時(shí)成

12、立 .註Th1表明 :對(duì)于各項(xiàng)都連續(xù)且一致收斂的函數(shù)列,有.即極限次序可換.2. 可積性 :Th 2若在區(qū)間上函數(shù)列 一致收斂 ,且每個(gè)在上連續(xù).則有.證設(shè)在上,由 Th1, 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) ,因此可積 .我們要證.注意到,可見(jiàn)只要在上成立 .Th2 的條件可減弱為 : 用條件“在上( R ) 可積” 代替條件 “在上連續(xù)” .關(guān)于函數(shù)列逐項(xiàng)積分條件的減弱有一系列的工作.其中之一是 :Th設(shè) 是定義在區(qū)間上的函數(shù)列 .若 在上收斂且一致可積 ,則其極限函數(shù)在上( R) 可積 ,且有.3. 可微性：Th 3設(shè)函數(shù)列 定義在區(qū)間上 , 在某個(gè)點(diǎn)收斂 . 對(duì),在上連續(xù)可導(dǎo) ,且由導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)列

13、 在上一致收斂 ,則函數(shù)列 在區(qū)間上收斂 ,且有.證設(shè)，.,.對(duì),注意到函數(shù)連續(xù)和+,就有+（ 對(duì)第二項(xiàng)交換極限與積分次序）+.估計(jì)|+|+|,可證得.即.亦即求導(dǎo)運(yùn)算與極限運(yùn)算次序可換.教學(xué)后記：第十章函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§ 2一致收斂級(jí)數(shù)的判別與性質(zhì)（2）一、本次課主要內(nèi)容函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂的連續(xù)性定理，逐項(xiàng)積分定理和DiNi 定理二、教學(xué)目的與要求使學(xué)生理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)函數(shù)像級(jí)數(shù)一致收斂的性質(zhì)的使用。四、教學(xué)方法和手段課堂講授、提問(wèn)、討論；使用多媒體教學(xué)方式。五、作業(yè)與習(xí)題布置P83 8二.一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的解析性質(zhì):例1P40例3例 2證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連

14、續(xù) .證(先證在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂.)對(duì)，有，；又，在一致收斂 .論,(次證對(duì)在區(qū)間,在點(diǎn)上一致收斂;連續(xù) ) 又函數(shù)對(duì)連續(xù) , 由上段討在區(qū)間上連續(xù) ,在點(diǎn)連續(xù) .由點(diǎn)的任意性 ,在區(qū)間內(nèi)連續(xù) .例3,.計(jì)算積分.可見(jiàn)時(shí),級(jí)數(shù)的部分和有界.由Dirichlet判別法推得級(jí)數(shù)收斂 .同理可得級(jí)數(shù)數(shù)收斂 .教學(xué)后記：第十章函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§3冪級(jí)數(shù)一、本次課主要內(nèi)容冪級(jí)數(shù)概念收斂半徑以及性質(zhì)。二、教學(xué)目的與要求使學(xué)生理解掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑了解冪級(jí)數(shù)在收斂半徑內(nèi)的性質(zhì)與使用。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)四、教學(xué)方法和手段課堂講授、提問(wèn)、討論；使用多媒體教學(xué)方式。五、作業(yè)與習(xí)題布置P92 1（6

15、）（7）（8）（9），P93 4 （1）冪級(jí)數(shù)的一般概念 .型如和的冪級(jí)數(shù) .冪級(jí)數(shù)由系數(shù)數(shù)列唯一確定 .冪級(jí)數(shù)至少有一個(gè)收斂點(diǎn).以下只討論型如的冪級(jí)數(shù) . 冪級(jí)數(shù)是最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之一.一.冪級(jí)數(shù)的收斂域 :1. 收斂半徑 、收斂區(qū)間和收斂域：Th 1（ Abel） 若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂 ， 則對(duì)滿(mǎn)足不等式的任何，冪級(jí)數(shù)收斂而且絕對(duì)收斂；若在點(diǎn)發(fā)散 ，則對(duì)滿(mǎn)足不等式的任何，冪級(jí)數(shù)發(fā)散 .證收斂,有界.設(shè)|,有|,其中.2. 收斂半徑 R 的求法 .Th 2對(duì)于冪級(jí)數(shù),若,則>時(shí),;>時(shí);>時(shí).證, (強(qiáng)調(diào)開(kāi)方次數(shù)與的次數(shù)是一致的).由于,因此亦可用比值法求收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收

16、斂區(qū)間 :.冪級(jí)數(shù)的收斂域 : 一般來(lái)說(shuō) ,收斂區(qū)間收斂域 . 冪級(jí)數(shù)的收斂域是區(qū)間、或之一.例 1求冪級(jí)數(shù)的收斂域 .例 2求冪級(jí)數(shù)的收斂域 .例 3求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域 :;.2.復(fù)合冪級(jí)數(shù): 令, 則化為冪級(jí)數(shù). 設(shè)該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為，則級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間由不等式確定. 可相應(yīng)考慮收斂域 .特稱(chēng)冪級(jí)數(shù)為正整數(shù) ) 為缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù) . 其中.應(yīng)注意為第項(xiàng)的系數(shù) .并應(yīng)注意缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)并不是復(fù)合冪級(jí)數(shù),該級(jí)數(shù)中,為第項(xiàng)的系數(shù) .例 4求冪級(jí)數(shù)的收斂域 .解是缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù) .收斂區(qū)間為.時(shí),通項(xiàng).因此 ,該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?例 5求級(jí)數(shù)的收斂域 .解令,所論級(jí)數(shù)成為冪級(jí)數(shù). 由幾何級(jí)數(shù)的斂散性結(jié)果 ,

17、 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂 . 因此當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)級(jí)數(shù)收斂 .所以所論級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?例 6求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 .解.二冪級(jí)數(shù)的一致收斂性：Th 3若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則該冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 .證,設(shè),則對(duì),有,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 ,由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法 ,冪級(jí)數(shù)在上一致收斂 .因此 ,冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 .Th 4設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為, 且在點(diǎn)(或)收斂 , 則冪級(jí)數(shù)在區(qū)間( 或) 上一致收斂 .證.收斂,函數(shù)列在區(qū)間上遞減且一致有界 , 由 Abel 判別法 , 冪級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂 .易見(jiàn) ,當(dāng)冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?時(shí) ,該冪級(jí)數(shù)即在區(qū)間上一致收斂 .三 .冪級(jí)數(shù)的性質(zhì) :1. 逐項(xiàng)求導(dǎo)和積分

18、后的級(jí)數(shù) :設(shè),*)和 *)仍為冪級(jí)數(shù) .我們有命題 1*)和 *)與有相同的收斂半徑.(簡(jiǎn)證 )值得注意的是， *)和 *) 與雖有相同的收斂半徑（因而有相同的收斂區(qū)間），但未必有相同的收斂域， 例如級(jí)數(shù).2. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) :定義兩個(gè)冪級(jí)數(shù)和在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)相等是指：它們?cè)谠撪徲騼?nèi)收斂且有相同的和函數(shù).命題 2,.( 由以下命題 4系 2)命題 3設(shè)冪級(jí)數(shù)和的收斂半徑分別為和,則>, Const，.>+,.>()(),.3. 和函數(shù)的性質(zhì) :命題4設(shè)在(內(nèi).則>在內(nèi)連續(xù);>若級(jí)數(shù)或收斂,則在點(diǎn)(或)是左(或右 ) 連續(xù)的;>對(duì),在點(diǎn)可微且有;>對(duì)

19、,在區(qū)間上可積,且.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí) ,無(wú)論級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂與否 , 均有.這是因?yàn)?:由級(jí)數(shù)收斂 ,得函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù) ,因此有.推論 1和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任意次可導(dǎo) ,且有,.由系 1 可見(jiàn) ,是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的必要條件是任意次可導(dǎo) .推論2若,則有例 7驗(yàn)證函數(shù)滿(mǎn)足微分方程.驗(yàn)證所給冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,代入,.教學(xué)反思：第十章函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§ 4函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)（1）一、本次課主要內(nèi)容泰勒級(jí)數(shù)與余項(xiàng)公式。二、教學(xué)目的與要求使學(xué)生了解函數(shù)的泰勒公式。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)函數(shù)泰勒公式的記憶與使用。四、教學(xué)方法和手段課堂講授、提問(wèn)、討論；使用多媒體教學(xué)方式。五、作業(yè)與習(xí)題布置P 106 1 （5）（9）（

20、10），2,3一.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) :1.Taylor級(jí)數(shù) :設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù) .Taylor公式和 Maclaurin公式 .Taylor公式：.余項(xiàng)的形式 :Peano 型余項(xiàng) :,（ 只要求在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，存在 ）Lagrange 型余項(xiàng) :在與之間 .或.積分型余項(xiàng) :當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí) ,有.Cauchy 余項(xiàng) :在上述積分型余項(xiàng)的條件下,有 Cauchy 余項(xiàng).特別地，時(shí)， Cauchy余項(xiàng)為在與之間.Taylor 級(jí)數(shù) :Taylor 公式僅有有限項(xiàng) , 是用多項(xiàng)式逼近函數(shù) .項(xiàng)數(shù)無(wú)限增多時(shí),得,稱(chēng)此級(jí)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的 Taylor 級(jí)數(shù) .只要函數(shù)在

21、點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo),就可寫(xiě)出其 Taylor 級(jí)數(shù) .稱(chēng)=時(shí)的 Taylor 級(jí)數(shù)為 Maclaurin級(jí)數(shù) ,即級(jí)數(shù).自然會(huì)有以下問(wèn)題 :對(duì)于在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)的函數(shù),在的定義域內(nèi)或在點(diǎn)的某鄰域內(nèi) ,函數(shù)和其 Taylor 級(jí)數(shù)是否相等呢?2 函數(shù)與其 Taylor級(jí)數(shù)的關(guān)系：例 1函數(shù)在點(diǎn)無(wú)限次可微 .求得.其 Taylor級(jí)數(shù)為.該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?僅在區(qū)間內(nèi)有=.而在其他點(diǎn)并不相等 ,因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散 .那么 , 在 Taylor級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn) , 是否必有和其 Taylor 級(jí)數(shù)相等呢 ?回答也是否定的 .例 2函數(shù)在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)且有因此其 Taylor 級(jí)數(shù)，在內(nèi)處處收斂 .但除了點(diǎn)外 , 函數(shù)和

22、其 Taylor 級(jí)數(shù)并不相等 .另一方面 ,由本章§ 1 命題 4 推論 2（和函數(shù)的性質(zhì)）知：在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)倘有, 則在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)且級(jí)數(shù)必為函數(shù)在點(diǎn)的 Taylor 級(jí)數(shù) .綜上 ,我們有如下結(jié)論 :對(duì)于在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)的函數(shù), 其 Taylor 級(jí)數(shù)可能除點(diǎn)外均發(fā)散 ,即便在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)其 Taylor級(jí)數(shù)收斂 ,和函數(shù)也未必就是.由此可見(jiàn) ,不同的函數(shù)可能會(huì)有完全相同的Taylor級(jí)數(shù) .若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)收斂于函數(shù),則該冪級(jí)數(shù)就是函數(shù)在點(diǎn)的 Taylor 級(jí)數(shù) .于是 , 為把函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)表示為關(guān)于的冪級(jí)數(shù)，我們只能考慮其 Taylor 級(jí)數(shù) .3 函數(shù)的 Tay

23、lor 展開(kāi)式：若在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)函數(shù)的 Taylor 級(jí)數(shù)收斂且和恰為，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)可展開(kāi)成 Taylor 級(jí)數(shù) ( 自然要附帶展開(kāi)區(qū)間 . 稱(chēng)此時(shí)的 Taylor 級(jí)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的 Taylor 展開(kāi)式或冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 .簡(jiǎn)稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)可展為冪級(jí)數(shù) .當(dāng)= 0 時(shí),稱(chēng) Taylor 展開(kāi)式為 Maclaurin 展開(kāi)式 .通常多考慮的是 Maclaurin 展開(kāi)式 .4. 可展條件 :Th 1 (必要條件 )函數(shù)在點(diǎn)可展 ,在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù) .Th 2 (充要條件 )設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù) .則在區(qū)間內(nèi)等于其 Taylor 級(jí)數(shù) ( 即可展 ) 的充要條件是 :對(duì), 有.其中是 Taylor 公

24、式中的余項(xiàng) .證把函數(shù)展開(kāi)為階 Taylor 公式 ,有.Th 3 (充分條件 )設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù) ,且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列一致有界 ,則函數(shù)可展 .證利用 Lagrange 型余項(xiàng) ,設(shè),則有.例3展開(kāi)函數(shù)>按冪;>按冪.解,.所以, >.可見(jiàn) ,的多項(xiàng)式的Maclaurin展開(kāi)式就是其本身.>.教學(xué)反思：第十章函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§ 4函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)（2）一、本次課主要內(nèi)容任意連續(xù)函數(shù)的泰勒展開(kāi)二、教學(xué)目的與要求使學(xué)生了解初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)初等函數(shù)泰勒公式的記憶與使用。四、教學(xué)方法和手段課堂講授、提問(wèn)、討論；使用多媒體教學(xué)方式。五、作業(yè)與習(xí)題布

25、置P106 5一 . 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 （初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式才是其本質(zhì)上的解析表達(dá)式 ）.為得到初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式,或直接展開(kāi) ,或間接展開(kāi) .1.( 驗(yàn)證對(duì)R ，在區(qū)間( 或)上有界,得一致有界 .因此可展 ).2.,.,.可展是因?yàn)樵趦?nèi)一致有界 .3.二項(xiàng)式的展開(kāi)式 :為正整數(shù)時(shí) ,為多項(xiàng)式 ,展開(kāi)式為其自身 ;為不是正整數(shù)時(shí) ,可在區(qū)間內(nèi)展開(kāi)為對(duì)余項(xiàng)的討論可利用Cauchy 余項(xiàng) .具體討論參閱 1P56.時(shí),收斂域?yàn)?時(shí),收斂域?yàn)?時(shí),收斂域?yàn)?利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式 ,可得到很多函數(shù)的展開(kāi)式.例如取, 得，.時(shí),.間接展開(kāi) : 利用已知展開(kāi)式 , 進(jìn)行變量代換、四則運(yùn)算以及微積運(yùn)算 , 可得到一些函數(shù)的展開(kāi)式 . 利用微積運(yùn)算時(shí) , 要求一致收斂 . 冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 , 總可保證這些運(yùn)算暢通無(wú)阻 .4.事實(shí)上 ,利用上述的展開(kāi)式 ,兩端積分 ,就