電磁場(chǎng)與電磁波答案習(xí)題4章

1、第四章靜電場(chǎng)重點(diǎn)和難點(diǎn)主要介紹電流的種類，理想導(dǎo)體和理想介質(zhì)，電動(dòng)勢(shì)，電流連續(xù)性原理以及能量損耗等。關(guān)于恒定電流場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬可以略去。重要公式在無外源的導(dǎo)電媒質(zhì)中，恒定電流場(chǎng)方程：積分形式：微分形式： Vx'、J = 013在均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，恒定電流場(chǎng)方程：積分形式：J dl =0J dS =0J。微分形式：恒定電流場(chǎng)邊界條件：J1t=J2tJin=J2n二1二2恒定電場(chǎng)邊界條件：Eit=E2t%Em=仃2£2n恒定電流場(chǎng)的能量損耗：pl=EJ4-1已知一根長(zhǎng)直導(dǎo)線的長(zhǎng)度為1km,半徑為0.5mm,當(dāng)兩端外加電壓6V時(shí)，線中產(chǎn)生的電流為1A,試求：導(dǎo)線的電導(dǎo)率；導(dǎo)線中的電

2、場(chǎng)強(qiáng)度；導(dǎo)線中的損耗功率。解(1)由V=IR,求得R=_6_=36g)1/6由R=，求得導(dǎo)線的電導(dǎo)率為二S1037_二=233.54107SmRS36二0.510多(2) 導(dǎo)線中的電場(chǎng)強(qiáng)度為V63.E=16610Vm103(3) 單位體積中的損耗功率R=oE2,那么，導(dǎo)線的損耗功率為P=cE2二r2L=1W4-2設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b,填充媒質(zhì)的電導(dǎo)率為仃。根據(jù)恒定電流場(chǎng)方程，計(jì)算單位長(zhǎng)度內(nèi)同軸線的漏電導(dǎo)。解設(shè)r=a時(shí)，9=V;r=b時(shí)，邛=0。建立圓柱坐標(biāo)系，則電位應(yīng)滿足的拉普拉斯方程為2:求得同軸線中的電位中及電場(chǎng)強(qiáng)度E分別為rlnJ = : E = -r ln1二Ve

3、r單位長(zhǎng)度內(nèi)通過內(nèi)半徑的圓柱面流進(jìn)同軸線的電流為I=Jds=2-VSlniab那么，單位長(zhǎng)度內(nèi)同軸線的漏電導(dǎo)為4-3設(shè)雙導(dǎo)線的半徑a,軸線間距為D,導(dǎo)線之間的媒質(zhì)電導(dǎo)率為仃，根據(jù)電流場(chǎng)方程，計(jì)算單位長(zhǎng)度內(nèi)雙導(dǎo)線之間的漏電導(dǎo)。解設(shè)雙導(dǎo)線的兩根導(dǎo)線上線電荷密度分別為+P和-P,利用疊加原理和高斯定理可求得兩導(dǎo)線之間垂直連線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，1，2二；rD-r那么，兩導(dǎo)線之間的電位差為d乂PD-aV=Edr=Ina二；a單位長(zhǎng)度內(nèi)兩導(dǎo)線之間的電流大小為則單位長(zhǎng)度內(nèi)兩導(dǎo)線之間的漏電導(dǎo)為G =1二二 DD - a ln若D»a則單位長(zhǎng)度內(nèi)雙導(dǎo)線之間的漏電導(dǎo)為JICT.G=TD,Sm)

4、ln一<aJ4-4已知圓柱電容器的長(zhǎng)度為L(zhǎng),內(nèi)外電極半徑分別為a及b,填充的介質(zhì)分為兩層，界面半徑為c。在a<r<c區(qū)域中，填充媒質(zhì)的參數(shù)為和叫；在c<r<bK域中，媒質(zhì)參數(shù)為與三。若接上電動(dòng)勢(shì)為e的電源，試求：各區(qū)域中的電流密度；內(nèi)外導(dǎo)體表面上以及介質(zhì)表面上的駐立電荷密度。解（1）建立圓柱坐標(biāo)系，則電位應(yīng)滿足的拉普拉斯方程1drd中、八ri=0忽略邊緣效應(yīng)，設(shè)媒質(zhì)和媒質(zhì)內(nèi)的電位分別為、和rd=0=%=Cilnr+C2drdrJd'd%ir±±i=0=%=C3Inr+C4dr<dr!根據(jù)邊界條件，得知中i(a)=e=Cilna+C

5、2;528)=0=C3lnb+C4C1IncC2=C31ncC4d dr rd ；2drr =c聯(lián)立上式，求得CiC2In aC3Inb 二2C4In1n-aIn bIne1nb cb 二2 1n代入上式，得In rIn ac ；In Ina 2In c aeInb cIn rIn bInb .二2c 二 1In c aIn二 22 In二 i二 2e二 2N融 rLa cer r = a表面上面電荷密度為；i 二 2e二 2a cr = b表面上面電荷密度為sb = ；2E2n；2 二 iec；一 2 ln - 1 lnabbLr = c表面上面電荷密度為Ein一 ；1 二 2；20 1 e

6、2ln« mlnbcLa c4-5已知環(huán)形導(dǎo)體塊尺寸如習(xí)題圖4-5所示。試求r=a與r4兩個(gè)表面之間的電阻。解建立圓柱坐標(biāo)系，則電位應(yīng)滿足的拉普拉斯方程為V2m1d''d中、_V中=r1=0rdr<drJ該方程的解為中(r)=GInr+C2令a=V°,:b=0,求得常數(shù)CiVolnb a那么,電場(chǎng)強(qiáng)度為Vo erdr b r In a電流密度為J E e r,b r In a電流強(qiáng)度為二 d d S = _2 一adda In二 d；二V02月2lni由此求得兩個(gè)表面之間的電阻為R=幺=一I二d。4-6若兩個(gè)同心的球形金屬殼的半徑為1及2（1<2

7、）,球、，一一rk、冗之間填充媒質(zhì)的電導(dǎo)率仃=。01+-1,試求兩球冗之間<r）的電阻解對(duì)于恒定電流場(chǎng)，因V父代入vJ=0建立球坐標(biāo)系，上式展開為r2 d r |Gk'd州1+一<dr該方程的解為r= CiInC2r k那么，求得電流密度為J = YTC1 k0 0Cik=- er r k r兩球殼之間的電流為I = J d s = 4二：0C1k兩球殼之間的恒定電場(chǎng)為Cik；- er r r k兩球殼之間的電位差為2 rikri2kr2C1k=Edl=1dr=C1Inr1rrk求得兩球殼之間的電阻為U1上ikr二一二inI4；okri2k4-7已知截?cái)嗟那蛐螆A錐尺寸范圍為

8、riErW2,0日E3,電導(dǎo)率為仃，試求r=及r=2兩個(gè)球形端面之間的電阻c解由于兩個(gè)球形端面之間的導(dǎo)電媒質(zhì)是均勻的，因此由上例獲知'2二=0那么d:八.Ci八1=0=邛=+C2；Ci 干erdrrC.求得電流密度Jer；電場(chǎng)強(qiáng)度r那么，電流I=fJds=ffQC2-xri2sin0d6d*=2c（i-cos90Cis002i電位差U=Edl=02dr=勒i-i"or仃Inr2因此電阻R=U=i1 2g（i-cose。）&r2J4-8若上題中電導(dǎo)率仃=仃。乜，再求兩球面之間的電阻r解由于媒質(zhì)是非均勻的，那么由求得中=C1lnr+C2電流密度J=-oV中=ytCi父互=

9、喀11errr電場(chǎng)強(qiáng)度E=-er二r電流2 二R。0c1rl2_I=Jds=gg2父r1sin8d8d6=2兀（1-cos60p0C1rlsri電位差U=fEdl=C11n包ri因此電阻R=U=1In巨I2二1-cos1000rlr14-9若兩個(gè)半徑為a及a2的理想導(dǎo)體球埋入無限大的導(dǎo)電媒質(zhì)中，媒質(zhì)的電參數(shù)為名及仃，兩個(gè)球心間距為d,且d»a1,d»a2,試求兩導(dǎo)體球之間的電阻。解設(shè)兩球攜帶的電荷分別為Q和-Q,考慮到兩球相距很遠(yuǎn)，d»a1,d»a2,兩球表面電荷分布可視為均勻。因此，兩球的電位分別為中1JLQQ_Q_中1JL'zQ+Q1,.，2

10、.4n名1ald-a-4n名（a2d-a2；則兩球之間的電位差為1+1_1_1,ka1a2d-a1d-a2J那么，兩球之間的電容根據(jù)靜電比擬，兩球之間的電阻應(yīng)為C4二：4-10知半徑為25mm的半球形導(dǎo)體球埋入地中，如習(xí)題圖4-10所示。若土壤的電導(dǎo)率仃=10£(S/m),試求導(dǎo)體球的接地電阻(即導(dǎo)體球與無限遠(yuǎn)處之間的電阻)。習(xí)題圖4-10解已知半徑為a的孤立導(dǎo)體球與無限遠(yuǎn)處之間的電容為C=4n&a,那么根據(jù)靜電比擬，埋地導(dǎo)體球的電阻R為1RC一一R=二C。4二二a對(duì)于埋地的導(dǎo)體半球，表面面積減了一半，故電阻加倍，即_16R=6.36106112二二a4-11恒定電流通過無限

11、大的非均勻電媒質(zhì)時(shí)，試證任意一點(diǎn)的電荷密度可以表示為(z)1P=E，忖君一機(jī)仃131解已知恒定電流場(chǎng)是無散的，即4=0,那么二E-；:'、EE'-0又由于介質(zhì)中電通密度在某點(diǎn)的散度等于該點(diǎn)自由電荷的體密度，即DE-eE.E-；=口由上兩式求得P=EJ；-，二-：4-12若一張矩形導(dǎo)電紙的電導(dǎo)率為仃，面積為aMb,四周電位如習(xí)題圖4-12所示。試求：導(dǎo)電紙中電位分布;導(dǎo)電紙中電流密度解(1)建立直角坐標(biāo)，根據(jù)給定的邊界條件，得=0,=0(0<x<a)利y田6yy=b0,y=0,:a,y=V00二y:二b導(dǎo)電紙區(qū)域中電位的通解為x,y=A0XB0C°yD000

12、/AnshknXBnchknX】CnsinknyDncoskny1n1由邊界條件二 y=0得y出od,A0X-B0C0八.AshknXBnchknXCnkn=。n工00A0xB0C0二knAnshknX廠BnchknX】Cncosknb-DnsinknbI二0nd由此求得常數(shù)：Cn=0,其中n=0,1,2,n二,kn=,其中n=1,2代入上式，得°°-x,y=AxB0'、AshnJIxBn chbJcos bA°aB0 ' An 4 |nsh a Bn ch ba cos - y =V b . b由邊界條件q(0,y)=0,甲(a,y)=V0,得B

13、o-二Bncosny00n=1,b由此求得常數(shù)：B；=0,其中n=0,1,2,3,A0=-0,An*=0,其中n=1,2,3,a那么，導(dǎo)電紙中的電位分布為：x,y=V0xa由E=-V=x-ex,求得導(dǎo)電紙中電流密度為aV0Jx,y=cE=ea4-13已知電導(dǎo)率為仃的無限大的導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻電流密度J=exJ。若沿Z軸方向挖出半徑為a的無限長(zhǎng)圓柱孔，如習(xí)題圖4-13所示。試求導(dǎo)電媒質(zhì)中的電位分布。(提示：當(dāng)rT8時(shí)，電位甲TJrcose)a解由于所討論的空間是無源的，故電位應(yīng)滿足拉普拉斯方程V2中=0。取圓柱坐標(biāo)系，則其通解可表示為二r,z=C°lnrDooO“rnAnsinnBncosn；r"An'sinnBncosntJn丑在t笛區(qū)域中，圓柱孔的影響可以忽略，則J0=oE0,7又E0=4e=-ex,得；:xJ0=_；二-二-x-0rcos:x；二；二可見，當(dāng)rT°o時(shí)，電位函數(shù)為cosd的函數(shù)，因此中(r,%z)表達(dá)式中系數(shù)C0,D0,An,An均應(yīng)為零，且n=1。那么J 0cr:r,z=rB1cos1B1cos=rB11B1cosr.r當(dāng)t8