(了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系)

1、(了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系)8.10 8.10 曲線與方程曲線與方程 在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數(shù)解的實數(shù)解 建立了如下關(guān)系：建立了如下關(guān)系： (1)曲線上的曲線上的 都是這個方程的解；都是這個方程的解；(純粹性純粹性) (2)以這個方程的解為以這個方程的解為 都在曲線上都在曲線上(完備性完備性) 那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線 1“曲線的方程曲線的方程”、“方程的曲線方程的曲線”的定義的

2、定義點的坐標(biāo)點的坐標(biāo)坐標(biāo)的點坐標(biāo)的點 根據(jù)已知條件求出表示平面曲線的方程；通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)這根據(jù)已知條件求出表示平面曲線的方程；通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)這 種通過研究方程的性質(zhì)，間接地來研究曲線性質(zhì)的方法叫做種通過研究方程的性質(zhì)，間接地來研究曲線性質(zhì)的方法叫做 (就是借助就是借助 于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法)2平面解析幾何研究的主要問題平面解析幾何研究的主要問題坐標(biāo)法坐標(biāo)法 (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； (2)寫出適合條件寫出適合條件P的點的點M的集合；的集合；

3、 (3)用坐標(biāo)表示條件用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程，列出方程f(x，y)0； (4)化方程化方程f(x，y)0為最簡形式；為最簡形式； (5)證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點 3求簡單的曲線方程的一般步驟求簡單的曲線方程的一般步驟 (1)定義法；定義法；(2)幾何法；幾何法；(3)代入法；代入法；(4)參數(shù)法參數(shù)法 4求簡單的曲線方程的主要方法求簡單的曲線方程的主要方法1方程方程y 表示的曲線是表示的曲線是() A拋物線的一部分拋物線的一部分 B雙曲線的一部分雙曲線的一部分 C圓圓 D半圓半圓 答案：答案：D 2已知已知ABC三邊

4、三邊AB、BC、CA的長成等差數(shù)列，且的長成等差數(shù)列，且|AB|CA|，點，點B、C的的 坐標(biāo)為坐標(biāo)為(1,0)、(1,0)，則動點，則動點A的軌跡方程是的軌跡方程是() 答案：答案：D 3過圓過圓x2y24上任意一點上任意一點P作作x軸的垂線軸的垂線PN，則線段，則線段PN中點中點M的軌跡方的軌跡方 程是程是_ 答案：答案： 4平面區(qū)域平面區(qū)域P：x2y212(|x|y|)的面積為的面積為_ 解析：解析：本題考查線性規(guī)劃知識的遷移應(yīng)用由已知得不等式表示的平面區(qū)本題考查線性規(guī)劃知識的遷移應(yīng)用由已知得不等式表示的平面區(qū)域成中心對稱當(dāng)域成中心對稱當(dāng)x0，y0時，原不等式等價于時，原不等式等價于(x

5、1)2(y1)21表示在表示在第一象限內(nèi)以第一象限內(nèi)以(1,1)為圓心以為圓心以1為半徑的圓面，故如右圖可得不等式表示的區(qū)為半徑的圓面，故如右圖可得不等式表示的區(qū)域，故其面積為域，故其面積為4124. 答案：答案：4如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面幾何知識推出等量如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面幾何知識推出等量關(guān)系，求軌跡方程時可用直接法求出方程后，可通過研究方程進(jìn)一步確定關(guān)系，求軌跡方程時可用直接法求出方程后，可通過研究方程進(jìn)一步確定曲線的類型、形狀和位置等曲線的類型、形狀和位置等 【例【例1】 如如圖，已知點圖，已知點A在在x軸上，點軸上，點B在在y軸上

6、，且軸上，且|AB|2，點點M分有向線段分有向線段AB的比為的比為，求點求點M的軌跡方程，并說明曲線是什么的軌跡方程，并說明曲線是什么 解答：解答：設(shè)設(shè)M點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為(x，y)，A、B兩點的坐標(biāo)分別為兩點的坐標(biāo)分別為(a,0)、(0，b)，則則a2b24，又又 (1)2x2 (1)若若1，則，則x2y21表示以原點為圓心半徑為表示以原點為圓心半徑為1的圓；的圓； (2)若若1，或，或1，則，則 1表示中心在原點，焦點在表示中心在原點，焦點在y軸上的橢圓；軸上的橢圓； (3)若若01或或10，則，則 表示中心在原點，表示中心在原點，焦點在焦點在x軸上的橢圓；軸上的橢圓；(4)當(dāng)當(dāng)0，則，則

7、又又2a2，即，即y0，2x2，則則M點的軌跡表示線段點的軌跡表示線段.1. 如果軌跡與動點如果軌跡與動點P(x，y)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)點可用的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)點可用 時，可先考慮將時，可先考慮將x、y用一個或幾個參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱用一個或幾個參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù)為參數(shù)法參數(shù)法中常選變角、變斜率等為參數(shù)2注意參數(shù)的取值范圍對方程的影響注意參數(shù)的取值范圍對方程的影響 【例【例2】 已已知拋物線知拋物線y22x，原點原點O為頂點為頂點，A、B為拋物線上兩動點，且滿足為拋物線上兩動點，且

8、滿足 OAOB，如果如果OMAB，垂足為垂足為M，求求M點的軌跡點的軌跡 解答：解答：解解法一法一：設(shè)直線設(shè)直線OA的方程為的方程為yk kx，則直線則直線OB的方程為的方程為y 得得k k2x22x，則則x0或或x A點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為 將將A點坐標(biāo)中的點坐標(biāo)中的k k換為換為 可得可得B點坐標(biāo)點坐標(biāo)(2k k2，2k k)，則直線，則直線AB的方程為的方程為y2k k (x2k k2)，即，即y 又直線又直線OM的方程為的方程為y x整理得整理得(x1)2y21(x0)，所求軌跡為以所求軌跡為以C(1,0)為圓心半徑為為圓心半徑為1的圓的圓(去掉原點去掉原點) 解法二：由解法一知，直線解法二

9、：由解法一知，直線AB過過N(2,0)點，因此點，因此OMN為直角三角形，為直角三角形，點點M在以在以O(shè)N為直徑的圓上運動，點為直徑的圓上運動，點M的軌跡方程為的軌跡方程為(x1)2y2(x0) 變式變式2.過過拋物線拋物線y22x的頂點作互相垂直的二弦的頂點作互相垂直的二弦OA、OB，試求試求AB中點中點M的軌跡方程的軌跡方程 解答：解答：設(shè)直線設(shè)直線OA方程為方程為yk kx，則直線，則直線OB的方程為的方程為y 由由 可求出可求出A點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為 則則B點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為(2k k2，2k k)，設(shè)設(shè)M點坐點坐 標(biāo)為標(biāo)為(x，y) 則消去則消去k k可得可得y2x2，即所求軌跡方程為即所

10、求軌跡方程為y2x2. 求軌跡方程的主要方法有定義法、直接法、代入法和參數(shù)法等，可求軌跡方程的主要方法有定義法、直接法、代入法和參數(shù)法等，可通過所求方程明確曲線的類型、形狀和位置，進(jìn)一步解決與曲線的通過所求方程明確曲線的類型、形狀和位置，進(jìn)一步解決與曲線的相關(guān)問題相關(guān)問題【例【例3】 定長為定長為3的線段的線段AB的端點的端點A、B在拋物線在拋物線y2x上移動上移動(1)求求AB中點中點M的軌跡方程；的軌跡方程；(2)求求AB中點中點M到到y(tǒng)軸的最短距離軸的最短距離 解答：解答：解解法一：法一：(1)設(shè)設(shè)M點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為(x，y)，A、B兩點的坐標(biāo)為兩點的坐標(biāo)為(y，y1)，(y，y2)

11、，根據(jù)已知條件根據(jù)已知條件 由由得得(y1y2)2(y1y2)219，即即(yy2y1y2)(y1y2)219222得得4y22x2y1y2 將將代入代入得得2x(4y22x)4y219， 整理得整理得x (2)x 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 4y21，即，即y 時等號成立，時等號成立，因此因此M點到點到y(tǒng)軸的最短距離為軸的最短距離為 解法二：解法二：(1)設(shè)直線設(shè)直線AB的方程為的方程為yk kxb，A、B兩點的坐標(biāo)為兩點的坐標(biāo)為(x1，y1)、(x2，y2)，A、B中點中點M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x，y)，將將yk kxb代入代入y2x整理得整理得k k2x(2k kb1)xb20，由已知條件：由已知條

12、件：k k20，(2k kb1)24k k2b214k kb0， x yk k 又又|AB|3，即，即 由由得得2k kb12k k2x 由由得得k k 將將代入代入消去消去k k、b得得 整理得整理得x (2)同解法一同解法一 變式變式3.已已知知F為拋物線為拋物線x22py(p0)的焦點，過的焦點，過F作直線與拋物線交于作直線與拋物線交于A、B兩兩 點，以點，以A、B為切點分別作拋物線的切線為切點分別作拋物線的切線L1、L2，若若L1與與L2交于點交于點P，求：求：(1)點點P的軌跡方程；的軌跡方程；(2)若若PAB的面積的最小值為的面積的最小值為16，求拋物線的方程求拋物線的方程 解答：

13、解答：(1)F 設(shè)設(shè)直線直線AB的方程為的方程為y k kx 得得x22pk kxp20.設(shè)設(shè)A則則x1x22pk k，x1x2p2，由由y 所以以所以以A為切點的切線為切點的切線L1方程為方程為y 以以B為切點的切線為切點的切線L2方程為方程為y 設(shè)交點設(shè)交點P(x，y)，則可解得，則可解得 所以點所以點P的軌跡方程為的軌跡方程為y (2)|AB| 點點P到直線到直線AB的距離的距離h 所以所以SPAB |AB|hp2 (1k k2)的最小值為的最小值為p2，所以，所以p216，又又p0，p4.拋物線方程為拋物線方程為x28y. 【方法規(guī)律方法規(guī)律】求動點的軌跡問題是解析幾何中的一類重要問題

14、，求動點的軌跡和圓錐曲線的求動點的軌跡問題是解析幾何中的一類重要問題，求動點的軌跡和圓錐曲線的定義和性質(zhì)有密切的聯(lián)系另外在求軌跡時經(jīng)常采用的方法有直接法、定義法、定義和性質(zhì)有密切的聯(lián)系另外在求軌跡時經(jīng)常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法等代入法、參數(shù)法等(1)直接法：直接法是求軌跡方程最基本的方法直接通過建立直接法：直接法是求軌跡方程最基本的方法直接通過建立x、y之間的關(guān)系，之間的關(guān)系，構(gòu)成構(gòu)成F(x，y)0即是其具體步驟如下：即是其具體步驟如下：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x，y)表示曲線上任意一點表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；寫出適合條件寫出適合條件P的

15、點的點M的集合的集合PM|P(M)；用坐標(biāo)表示條件用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程，列出方程f(x，y)0；化方程化方程f(x，y)0為最簡形式；為最簡形式；證明化簡后的方程是所求曲線的方程證明化簡后的方程是所求曲線的方程除個別情況外，化簡過程都是同解變形過程，步驟除個別情況外，化簡過程都是同解變形過程，步驟可以不寫，如有特殊可以不寫，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明，步驟情況，可適當(dāng)予以說明，步驟可省略可省略 (2)定義法：圓錐曲線定義所包含的幾何意義十分重要，應(yīng)特別重視利用圓定義法：圓錐曲線定義所包含的幾何意義十分重要，應(yīng)特別重視利用圓錐曲線的定義判斷所求軌跡的類型、位置和形狀，可借助于圓錐曲

16、線的標(biāo)錐曲線的定義判斷所求軌跡的類型、位置和形狀，可借助于圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，最大限度地減少直接法中化簡和整理方程的運算量準(zhǔn)方程，最大限度地減少直接法中化簡和整理方程的運算量(3)代入法：又稱相關(guān)點法，其特點是，動點代入法：又稱相關(guān)點法，其特點是，動點M(x，y)的坐標(biāo)取決于已知曲線的坐標(biāo)取決于已知曲線C上的上的點點(x，y)的坐標(biāo)，可先用的坐標(biāo)，可先用x，y來表示來表示x，y，再代入曲線，再代入曲線C的方程即得點的方程即得點M的軌跡方程的軌跡方程(4)參數(shù)法：選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，分別用參數(shù)表示動點坐標(biāo)參數(shù)法：選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，分別用參數(shù)表示動點坐標(biāo)x，y.得出軌跡的參數(shù)方程，得出軌跡的參數(shù)方程，消

17、去參數(shù)，即得其普通方程選參數(shù)時必須首先充分考慮到制約動點的各種因素，消去參數(shù)，即得其普通方程選參數(shù)時必須首先充分考慮到制約動點的各種因素，然后再選取合適的參數(shù)，因為參數(shù)不同，會導(dǎo)致運算量的不同，常見的參數(shù)有角然后再選取合適的參數(shù)，因為參數(shù)不同，會導(dǎo)致運算量的不同，常見的參數(shù)有角度，直線的斜率、點的橫縱坐標(biāo)、線段長度等而代入法也是參數(shù)法的特殊情況，度，直線的斜率、點的橫縱坐標(biāo)、線段長度等而代入法也是參數(shù)法的特殊情況，利用參數(shù)法求軌跡方程的關(guān)鍵是要把握消參的時機和消參的方法，可通過例利用參數(shù)法求軌跡方程的關(guān)鍵是要把握消參的時機和消參的方法，可通過例2、例、例3及變式和一些練習(xí)去體會和把握及變式和一

18、些練習(xí)去體會和把握. (本小題滿分本小題滿分12分分)在平面直線坐標(biāo)系在平面直線坐標(biāo)系xOy中中，有一個以有一個以F1(0， )和和F2(0， )為焦點為焦點，離心率為離心率為 的橢圓的橢圓設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點動點P在在C上上，C在點在點P處的切線與處的切線與x、y軸的交點分別為軸的交點分別為A、B，且向量且向量OMOAOB.求求：(1)點點M的軌跡方程的軌跡方程；(2)|OM|的最小值的最小值【答題模板答題模板】解答：解答：(1)橢橢圓方程可寫為圓方程可寫為其中其中ab0， 得得a24，b21.曲線曲線C的方程為的方程為x2 y2 (0 x1)，y 設(shè)設(shè)P(x0，y0)，因，因P在在C上，有上，有0 x01時，上式取等號時，上式取等號故故|OM|的最小值為的最小值為3. 【分析點評分析點評】由已知條件求軌跡方程，通過對方程的研究，明確曲線的位置、形狀以及性質(zhì)是由已知條件求軌跡方程，通過對方程的研究，明確曲線的位置、形狀以及性質(zhì)是解析幾何需要完成的兩大任務(wù)，是解析幾何的核心問題，也是高考的熱點之一解析幾何需要完成的兩大任務(wù)，是解析幾何的核心問題，也是高考的熱點之一考查了求軌跡方